対数微分法

対数微分法

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能であるとともに、正値をとるものとします。つまり、\begin{equation}\forall x\in X:f\left( x\right) >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。

自然対数関数の定義域は\(\mathbb{R} _{++}\)であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には関数\(f\)の自然対数をとることができます。具体的には、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}とおいた上で両辺の自然対数をとると、\begin{equation*}
\ln \left( y\right) =\ln \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。両辺とも変数\(x\)に関する関数であるため、両辺を\(x\)について微分することにより、\begin{equation}\frac{d}{dx}\ln \left( y\right) =\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right)
\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。具体的には、\(\left( 2\right) \)の左辺は、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\ln \left( y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=y\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}y\left( x\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=y\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}y\left( x\right) \\
&=&\frac{y^{\prime }\left( x\right) }{y\left( x\right) } \\
&=&\frac{y^{\prime }}{y}
\end{eqnarray*}である一方で、\(\left( 2\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) &=&\left. \frac{d}{dy}\ln
\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}f\left(
x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{y}\right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}ですが、\(\left( 2\right) \)より両者は一致するため、\begin{equation*}\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }=y\cdot \frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{equation*}を得ます。対数をとることにより微分を行うこのような手法を対数微分法（logarithmic differentiation）と呼びます。

対数微分法はどのような場面において有用なのでしょうか。いくつか具体例を提示します。

関数どうしの積として表される関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正値をとるとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、関数\(g,h\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =g\left( x\right) \cdot h\left( x\right)
\end{equation*}と表される状況を想定します。積の微分を使えば、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) +g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}として\(f\)を微分できますが、対数微分法を用いるとどうなるでしょうか。

両辺の自然対数をとると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln \left( g\left( x\right) \cdot
h\left( x\right) \right)
\end{equation*}となりますが、対数の性質を踏まえて右辺を変形すると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln g\left( x\right) +\ln \left(
h\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。その上で、両辺を微分すると、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\frac{d}{dx}\left[ \ln
g\left( x\right) +\ln \left( h\left( x\right) \right) \right] \end{equation*}となります。関数の和の微分を踏まえた上で右辺を変形すると、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\frac{d}{dx}\ln g\left(
x\right) +\frac{d}{dx}\ln \left( h\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。つまり、関数どうしの積として表される関数に対して対数微分法を利用すれば、積の微分を行う代わりに、個々の関数の微分に持ち込むことができるため計算が楽になります。ここでは関数\(f\)が2つの関数\(g,h\)の積として表されるケースを想定しましたが、3つ以上の関数の積として表される関数についても同様の議論が成り立ちます。

関数どうしの商として表される関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正値をとるとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、関数\(g,h\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表される状況を想定します。商の微分を使えば、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) -g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として\(f\)を微分できますが、対数微分法を用いるとどうなるでしょうか。

両辺の自然対数をとると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right)
\end{equation*}となりますが、対数の性質を踏まえて右辺を変形すると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln g\left( x\right) -\ln \left(
h\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。その上で、両辺を微分すると、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\frac{d}{dx}\left[ \ln
g\left( x\right) -\ln \left( h\left( x\right) \right) \right] \end{equation*}となります。関数の差の微分を踏まえた上で右辺を変形すると、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\frac{d}{dx}\ln g\left(
x\right) -\frac{d}{dx}\ln \left( h\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。つまり、関数どうしの商として表される関数に対して対数微分法を利用すれば、商の微分を行う代わりに、個々の関数の微分に持ち込むことができるため計算が楽になります。ここでは関数\(f\)が2つの関数\(g,h\)の商として表されるケースを想定しましたが、\(g\)や\(h\)がそれぞれ複数の関数の積として表される場合など、より複雑な場合についても同様の議論が成り立ちます。

関数どうしの累乗として表される関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が正値をとるとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、関数\(g,h\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =g\left( x\right) ^{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表される状況を想定します。両辺の自然対数をとると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =\ln \left( g\left( x\right) ^{h\left(
x\right) }\right)
\end{equation*}となりますが、対数の性質を踏まえた上で右辺を変形すると、\begin{equation*}
\ln \left( f\left( x\right) \right) =h\left( x\right) \cdot \ln \left(
g\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。その上で両辺を微分すると、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\ln \left( f\left( x\right) \right) =\frac{d}{dx}\left[ h\left(
x\right) \cdot \ln \left( g\left( x\right) \right) \right] \end{equation*}となります。右辺を計算する際には関数の積の微分を利用できます。つまり、関数どうしの累乗として表される関数に対して対数微分法を利用すれば、関数どうしの積の微分に持ち込むことができるということです。

関数が非ゼロ値をとる場合

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能である一方で、先とは異なり\(f\)は正値をとるとは限らず、非ゼロの値をとる状況を想定します。つまり、\begin{equation}\forall x\in X:f\left( x\right) \not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。

\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には関数\(f\)の絶対値をとることにより正値をとる関数が得られます。具体的には、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}とおいた上で両辺の絶対値をとると、\begin{equation*}
\left\vert y\right\vert =\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}となりますが、これは正値をとります。したがって両辺の自然対数をとることができ、その結果、\begin{equation}
\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) =\ln \left( \left\vert f\left(
x\right) \right\vert \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。

\(\left( 2\right) \)の左辺が変数\(x\)に関する関数であることを踏まえた上で微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( \left\vert z\right\vert \right) \right\vert _{z=y\left( x\right)
}\cdot \frac{d}{dx}y\left( x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=y\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}y\left( x\right) \\
&=&\frac{y^{\prime }\left( x\right) }{y\left( x\right) } \\
&=&\frac{y^{\prime }}{y}
\end{eqnarray*}となる一方で、\(\left( 2\right) \)の右辺を微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\ln \left( \left\vert f\left( x\right) \right\vert \right)
&=&\left. \frac{d}{dy}\ln \left( \left\vert y\right\vert \right) \right\vert
_{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{y}\right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
&=&\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}となります。\(\left( 2\right) \)より両者は一致するため、\begin{equation*}\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y^{\prime }=y\cdot \frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }
\end{equation*}を得ます。以上が、関数が非ゼロ値をとる場合の対数微分法です。

演習問題