極点と関数の挙動
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)上において連続であるものとします。加えて、区間\(I\)の内部には極点（極大点または極小点）が存在しないものとします。この場合、\(f\)は\(I\)上において狭義単調関数（狭義単調増加または狭義単調減少）になることが保証されます。
以上の命題を踏まえると以下が導かれます。
&&\left( b\right) \ a\text{が極大点ならば}f\text{は}\left[ a-\varepsilon ,a\right] \text{上で狭義単調増加かつ}\left[ a,a+\varepsilon \right] \text{上で狭義単調減少である}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(I\)上において\(C^{2}\)級であるものとします。また、点\(a\in I\)は極点であり、その周辺には他に極点は存在しないものとします。
まずは\(a\)が極小点である場合について考えます。この場合、先の命題より\(f\)は\(a\)より小さい周辺の\(x\)において狭義単調減少であり、\(a\)より大きい周辺の\(x\)において狭義単調増加であるため、以下の表
$$\begin{array}{cccc}
\hline
x & \cdots & a & \cdots \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & – & 0 & + \\ \hline
f\left( x\right) & \searrow & f\left( a\right) & \nearrow \\
\hline
\end{array}$$
が得られます。つまり、\(a\)が極小点であることが判明すれば、その周辺における\(f\left(x\right) \)の値の挙動が表のように明らかになります。
続いて\(a\)が極大点である場合について考えます。この場合、先の命題より\(f\)は\(a\)より小さい周辺の\(x\)において狭義単調増加であり、\(a\)より大きい周辺の\(x\)において狭義単調減少であるため、以下の表
$$\begin{array}{cccc}
\hline
x & \cdots & a & \cdots \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & + & 0 & – \\ \hline
f\left( x\right) & \nearrow & f\left( a\right) & \searrow \\
\hline
\end{array}$$
が得られます。つまり、\(a\)が極大点であることが判明すれば、その周辺における\(f\left(x\right) \)の値の挙動が表のように明らかになります。
以下もまた成り立ちます。
&&\left( b\right) \ a\text{が極大点ならば}b\text{は極小点であり}f\text{は}\left[ a,b\right] \text{上において狭義単調減少である}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(I\)上において\(C^{2}\)級であるものとします。また、点\(a,b\in I\)は隣り合う2つの異なる極点であるものとします。\(a<b\)としても一般性は失われません。
まずは\(a\)が極小点である場合について考えます。この場合、先の命題より\(b\)は極大点であるとともに\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において狭義単調増加であるため、以下の表
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
x & \cdots & a & \cdots & b & \cdots \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline
f\left( x\right) & \searrow & f\left( a\right) & \nearrow & f\left( b\right) & \searrow \\ \hline
\end{array}$$
が得られます。つまり、\(a\)が極小点であることが判明すれば、\(b\)が極大点であり、それらの周辺における\(f\left( x\right) \)の値の挙動が上のように明らかになります。
続いて\(a\)が極大点である場合について考えます。この場合、先の命題より\(b\)は極小点であるとともに\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において狭義単調減少であるため、以下の表
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
x & \cdots & a & \cdots & b & \cdots \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f\left( x\right) & \nearrow & f\left( a\right) & \searrow & f\left( b\right) & \nearrow \\ \hline
\end{array}$$
が得られます。つまり、\(a\)が極大点であることが判明すれば、\(b\)が極小点であり、それらの周辺における\(f\left( x\right) \)の値の挙動が上のように明らかになります。
微分を用いた方程式の実数解の個数判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)および実数\(k\in \mathbb{R} \)が与えられた状況において、以下の方程式\begin{equation*}f\left( x\right) =k
\end{equation*}を定義します。この方程式の解（root）とは、以下の条件\begin{equation*}
f\left( c\right) =k
\end{equation*}を満たす実数\(c\in I\)です。これは、関数\(y=f\left( x\right) \)のグラフと直線\(x=k\)の交点の\(x\)座標でもあります。
関数\(f\)が区間\(I\)上で\(C^{2}\)級である場合、微分を用いることにより\(f\)の極点を特定できます。極点が明らかになれば、先の諸命題より、それらの周辺における\(f\left( x\right) \)の値の挙動が判明するため、関数\(y=f\left( x\right) \)のグラフのおおよその形状が明らかになります。関数\(y=f\left( x\right) \)のグラフの形状が明らかになれば、それと直線\(x=k\)の交点の個数を数えることにより、方程式の実数解の個数が判明します。
x^{3}-3x^{2}+3=0
\end{equation*}の実数解の個数を特定します。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、与えられた方程式は、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。関数\(y=f\left(x\right) \)のグラフと\(x\)軸\(y=0\)の交点の個数を特定することが目標です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2}-6x
\end{equation*}を定めるため、局所最適化のための1階の必要条件は、\begin{equation*}
3x^{2}-6x=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
3x\left( x-2\right) =0
\end{equation*}であるため、極大点または極小点の候補は、\begin{equation*}
x=0,2
\end{equation*}です。2階導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =6x-6
\end{equation*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime \prime }\left( 0\right) &=&-6<0 \\
f^{\prime \prime }\left( 2\right) &=&6>0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって\(0\)は\(f\)の極大点であり、\(2\)は\(f\)の極小点です。増減表は以下の通りです。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline
f\left( x\right) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow
\\ \hline
\end{array}$$
したがって、関数\(f\)のグラフと\(x\)軸の交点は3個存在するため、与えられた方程式は3個の実数解を持つことが明らかになりました。
\ln \left( x\right) =kx
\end{equation*}の実数解の個数を特定します。ただし、\(k\in \mathbb{R} \)は定数です。対数関数\(\ln \left( x\right) \)の定義域が\(\mathbb{R} _{++}\)であることを踏まえた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、与えられた方程式は、\begin{equation*}f\left( x\right) =k
\end{equation*}となります。関数\(y=f\left(x\right) \)のグラフと直線\(y=k\)の交点の個数を特定することが目標です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\ln \left( x\right) }{x} \\
&=&\frac{x\frac{d}{dx}\ln \left( x\right) -\ln \left( x\right) \frac{d}{dx}x}{x^{2}} \\
&=&\frac{1-\ln \left( x\right) }{x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めるため、局所最適化のための1階の必要条件は、\begin{equation*}
\frac{1-\ln \left( x\right) }{x^{2}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\ln \left( x\right) =1
\end{equation*}であるため、極大点または極小点の候補は、\begin{equation*}
x=e
\end{equation*}です。2階導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{1-\ln \left(
x\right) }{x^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}\frac{d}{dx}\left[ 1-\ln \left( x\right) \right] -\left[ 1-\ln
\left( x\right) \right] \frac{d}{dx}x^{2}}{x^{4}} \\
&=&\frac{x^{2}\left( -\frac{1}{x}\right) -\left[ 1-\ln \left( x\right) \right] 2x}{x^{4}} \\
&=&\frac{-x-\left[ 1-\ln \left( x\right) \right] 2x}{x^{4}} \\
&=&\frac{-1-2+2\ln \left( x\right) }{x^{3}}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime \prime }\left( e\right) &=&\frac{-1-2+2\ln \left( e\right) }{e^{3}} \\
&=&-\frac{1}{e^{3}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}を得ます。したがって\(e\)は\(f\)の極大点です。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\ln \left( x\right) }{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{d}{dx}\ln \left( x\right) }{\frac{d}{dx}x}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{x}}{1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\ln
\left( x\right) }{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}であるため、増減表は以下の通りです。
$$\begin{array}{cccccc}
\hline
x & 0 & \cdots & e & \cdots & +\infty \\ \hline
f^{\prime }\left( x\right) & & + & 0 & – & \\ \hline
f\left( x\right) & -\infty & \nearrow & \frac{1}{e} & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}$$
したがって、\(k>\frac{1}{e}\)の場合には交点は存在せず、\(k=\frac{1}{e}\)の場合には交点は1個であり、\(0<k<\frac{1}{e}\)の場合には交点は2個であり、\(k\leq 0\)の場合には交点は1個です。結果をまとめると、方程式の実数解の個数は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ k>\frac{1}{e}\right) \\
1 & \left( if\ k=\frac{1}{e}\vee e\leq 0\right) \\
2 & \left( if\ 0<k<\frac{1}{e}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
演習問題
e^{x}-x-k=0
\end{equation*}の実数解の個数を特定してください。ただし、\(k\in \mathbb{R} \)は定数です。
kx^{3}-3kx^{2}+1-k=0
\end{equation*}の実数解の個数を特定してください。ただし、\(k\in \mathbb{R} \)は定数です。
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