テイラーの定理の一般化（ロッシュ-シュレミルヒの剰余項）

ラグランジュの剰余項を用いたテイラーの定理

テイラーの定理について復習します。

点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)において関数が定める値\(f\left( x\right) \)とテイラー近似多項式が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =f\left( x\right) -P_{n-1,a}\left( x\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、テイラーの定理より、\begin{equation*}
R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項（\(n\)th degree Lagrange remainder of \(f\) at \(a\)）と呼びます。剰余項を用いて改めてテイラーの定理の主張を言い換えると、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x\)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。

ロッシュ-シュレミルヒの剰余項を用いたテイラーの定理

テイラーの定理は以下の形で一般化可能です。

点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)において関数が定める値\(f\left( x\right) \)とテイラー近似多項式が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =f\left( x\right) -P_{n-1,a}\left( x\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、先の命題より、\(p\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{\left(
n-1\right) !p}\left( x-c\right) ^{n-p}\left( x-a\right) ^{p}
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)をロッシュ-シュレミルヒの剰余項（Roche-Schlömilch form of the remainder）と呼びます。

ロッシュ-シュレミルヒの剰余項において、\begin{equation*}
p=n
\end{equation*}とおけば、\begin{eqnarray*}
R_{n,a}\left( x\right) &=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{\left( n-1\right) !n}\left( x-c\right) ^{p-p}\left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}となりますが、これはラグランジュの剰余項に他なりません。したがって、ロッシュ-シュレミルヒの剰余項を用いたテイラーの定理は、ラグランジュの剰余項を用いたテイラーの定理の一般化であることが明らかになりました。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、ロッシュ-シュレミルヒラグランジュの剰余項を、\begin{eqnarray*}
R_{n,a}\left( x\right) &=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !p}\left( x-a-\theta \left(
x-a\right) \right) ^{n-p}\left( x-a\right) ^{p} \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !p}\left( \left( 1-\theta \right) \left( x-a\right)
\right) ^{n-p}\left( x-a\right) ^{p} \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !p}\left( 1-\theta \right) ^{n-p}\left( x-a\right)
^{n-p}\left( x-a\right) ^{p} \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !p}\left( 1-\theta \right) ^{n-p}\left( x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。

コーシーの剰余項を用いたテイラーの定理

ロッシュ-シュレミルヒの剰余項を用いたテイラーの定理から以下が導かれます。

点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)において関数が定める値\(f\left( x\right) \)とテイラー近似多項式が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =f\left( x\right) -P_{n-1,a}\left( x\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、先の命題より、\begin{equation*}
R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{\left(
n-1\right) !}\left( x-c\right) ^{n-1}\left( x-a\right)
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)をコーシーの剰余項（Cauchy form of the remainder）と呼びます。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、コーシーの剰余項を、\begin{eqnarray*}
R_{n,a}\left( x\right) &=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !}\left( x-a-\theta \left( x-a\right)
\right) ^{n-1}\left( x-a\right) \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !}\left( \left( 1-\theta \right) \left( x-a\right) \right)
^{n-1}\left( x-a\right) \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !}\left( 1-\theta \right) ^{n-1}\left( x-a\right)
^{n-1}\left( x-a\right) \\
&=&\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{\left( n-1\right) !}\left( 1-\theta \right) ^{n-1}\left( x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。