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1変数関数の微分

実数ベキ関数の高階微分とテイラー展開(マクローリン展開)

目次

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実数ベキ関数の高階微分

実数ベキ関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるということです。

実数ベキ関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \quad \because
f^{\prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}x^{p}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&px^{p-1}\quad \because \text{実数ベキ関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

導関数\(f^{\prime }\)は実数ベキ関数の定数倍であるため微分可能であり、2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\quad \because f^{\prime \prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}px^{p-1}\quad \because f^{\prime }\left( x\right) =px^{p-1} \\
&=&p\frac{d}{dx}x^{p-1} \\
&=&p\left( p-1\right) x^{p-2}
\end{eqnarray*}を定めます。

2階の導関数\(f^{\prime \prime }\)は実数ベキ関数の定数倍であるため微分可能であり、3階の導関数\(f^{\left( 3\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left(
x\right) \quad \because f^{\left( 3\right) }\text{の定義}
\\
&=&\frac{d}{dx}p\left( p-1\right) x^{p-2}\quad \because f^{\prime \prime
}\left( x\right) =p\left( p-1\right) x^{p-2} \\
&=&p\left( p-1\right) \frac{d}{dx}x^{p-2} \\
&=&p\left( p-1\right) \left( p-2\right) x^{p-3}
\end{eqnarray*}を定めます。

同様の議論を繰り返すことにより以下を得ます。

命題(実数ベキ関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =p\left( p-1\right) \left( p-2\right)
\times \cdots \times \left( p-n+1\right) x^{p-n}
\end{equation*}を定める。

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実数ベキ関数\(x^{p}\)は点\(0\)において定義されないため、マクローリンの定理やマクローリン展開を適用できる可能性はありません。このような事情を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \left( -1,+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。これは自然数ベキ関数\(x^{p}\)と多項式関数\(x+1\)の合成関数であるため\(C^{\infty }\)級であり、なおかつ点\(0\)はこの関数\(f\)の定義域\(\left( -1,+\infty \right) \)の内点です。この関数の高階導関数および点\(0\)における高階微分係数は以下の通りです。

命題(実数ベキ関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =p\left( p-1\right) \left( p-2\right)
\times \cdots \times \left( p-n+1\right) \left( x+1\right) ^{p-n}
\end{equation*}を定める。したがって、点\(0\)における\(n\)階の微分係数は、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( 0\right) =p\left( p-1\right) \left( p-2\right)
\times \cdots \times \left( p-n+1\right)
\end{equation*}である。

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実数ベキ関数のテイラー近似多項式(マクローリン近似多項式)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能である場合、点\(a\)における関数\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\cdot
\left( x-a\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}が定義可能です。

先に明らかになったように実数ベキ関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(C^{\infty }\)級であるためテイラー近似多項式が定義可能ですが、具体的には以下のようになります。

命題(実数ベキ関数のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)の点\(a\)における\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&a^{p}+\tbinom{p}{1}\cdot a^{p-1}\cdot \left(
x-a\right) +\tbinom{p}{2}\cdot a^{p-2}\cdot \left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n}\cdot a^{p-n}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] \end{eqnarray*}となる。ただし、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

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例(実数ベキ関数のテイラー近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、この関数\(f\)の点\(1\)における\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,1}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{\pi }{k}\cdot
1^{p-k}\cdot \left( x-1\right) ^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{\pi }{k}\cdot \left( x-1\right) ^{k}\right] \\
&=&\tbinom{\pi }{0}\cdot \left( x-1\right) ^{0}+\tbinom{\pi }{1}\cdot \left(
x-1\right) ^{1}+\tbinom{\pi }{2}\cdot \left( x-1\right) ^{2}+\cdots +\tbinom{\pi }{n}\cdot \left( x-1\right) ^{n} \\
&=&1+\pi \left( x-1\right) +\frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}\left(
x-1\right) ^{2}+\cdots +\frac{\pi \left( \pi -1\right) \times \cdots \times
\left( \pi -n+1\right) }{n!}\left( x-1\right) ^{n}
\end{eqnarray*}となります。

実数ベキ関数\(x^{p}\)は点\(0\)において定義されないため、点\(0\)におけるテイラー近似多項式、すなわちマクローリン近似多項式は存在しません。一方、先に定義された関数\(\left( x+1\right) ^{p}\)は点\(0\)において定義されているためマクローリン近似多項式が存在します。具体的には以下の通りです。

命題(実数ベキ関数のマクローリン近似多項式)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の点\(0\)における\(n\)次のテイラー近似多項式、すなわちマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\tbinom{p}{0}\cdot x^{0}+\tbinom{p}{1}\cdot x+\tbinom{p}{2}\cdot x^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n}\cdot x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}となる。ただし、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

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実数ベキ関数に関するテイラーの定理(マクローリンの定理)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合にはテイラーの定理が成立するため、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式です。

先に明らかになったように実数ベキ関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(C^{\infty }\)級であるためテイラーの定理が要求する条件を満たします。したがって以下を得ます。

命題(実数ベキ関数に関するテイラーの定理)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)およびそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\tbinom{p}{n}\cdot \left[
a+\theta \left( x-a\right) \right] ^{p-n}\cdot \left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n-1,a}\left( x\right) &=&a^{p}+\tbinom{p}{1}\cdot a^{p-1}\cdot \left(
x-a\right) +\tbinom{p}{2}\cdot a^{p-2}\cdot \left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n-1}\cdot a^{p-n-1}\cdot \left( x-a\right) ^{n-1} \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] \end{eqnarray*}である。また、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

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以上の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{p}\approx \sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot \left(
x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。

実数ベキ関数\(x^{p}\)は点\(0\)において定義されないため、実数ベキ関数にマクローリンの定理を適用できません。代わりに、先ほど導入した関数\(\left( x+1\right)^{p}\)にマクローリンの定理を適用すると以下を得ます。

命題(実数ベキ関数に関するマクローリンの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,0}\left( x\right) +\tbinom{p}{n}\cdot \left( \theta
x+1\right) ^{p-n}\cdot x^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。ただし、\(P_{n-1,0}\left( x\right) \)は\(f\)の\(n-1\)次のマクローリン近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n-1,0}\left( x\right) &=&\tbinom{p}{0}\cdot x^{0}+\tbinom{p}{1}\cdot x+\tbinom{p}{2}\cdot x^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n-1}\cdot x^{n-1} \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}である。また、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

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以上の命題より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \left(-1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x+1\right) ^{p}\approx \sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。

 

実数ベキ関数の漸近展開

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{n}\)級である場合には漸近展開可能であるため、定義域の内点\(b\in I^{i}\)およびそれとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{b\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,b}\left( x\right) +o\left( \left( x-b\right)
^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(P_{n,b}\left( x\right) \)は点\(b\)における\(n\)次のテイラー近似多項式です。

先に明らかになったように実数ベキ関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(C^{\infty }\)級であるため漸近展開可能です。したがって以下を得ます。

命題(実数ベキ関数の漸近展開)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)およびそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,a}\left( x\right) +o\left( \left( x-a\right)
^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(P_{n,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&a^{p}+\tbinom{p}{1}\cdot a^{p-1}\cdot \left(
x-a\right) +\tbinom{p}{2}\cdot a^{p-2}\cdot \left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n}\cdot a^{p-n}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] \end{eqnarray*}である。また、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

以上の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,a}\left( x\right) +o\left( \left( x-a\right)
^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x ^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot
\left( x-a\right) ^{k}\right] +o\left( \left( x-a\right) ^{n}\right) \quad
\left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

例(実数ベキ関数との合成関数の漸近展開)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ g\left( x\right) \right] ^{p}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は\(x^{p}\)と\(g\)の合成関数です。実数ベキ関数\(x^{p}\)に関しては、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)およびそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}x^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot a^{p-k}\cdot \left( x-a\right)
^{k}\right] +o\left( \left( x-a\right) ^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(x\in \mathbb{R} \)について\(g\left( x\right) \in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ a\right\} \)であるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =a
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\left[ g\left( x\right) \right] ^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot
a^{p-k}\cdot \left[ g\left( x\right) -a\right] ^{k}\right] +o\left( \left[
g\left( x\right) -a\right] ^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(\left( x+1\right) ^{p}\)に関しては以下が成り立ちます。

命題(実数ベキ関数の漸近展開)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,0}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right) \quad \left(
x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(P_{n,0}\left( x\right) \)は\(f\)の\(n\)次のマクローリン近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\tbinom{p}{0}\cdot x^{0}+\tbinom{p}{1}\cdot x+\tbinom{p}{2}\cdot x^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n}\cdot x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}である。また、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

以上の命題より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \left(-1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,0}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right) \quad \left(
x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x+1\right) ^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] +o\left( x^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

例(実数ベキ関数との合成関数の漸近展開)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ g\left( x\right) +1\right] ^{p}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は\(\left(x+1\right) ^{p}\)と\(g\)の合成関数です。実数ベキ関数\(\left(x+1\right) ^{p}\)に関しては、先の命題より、点\(x\in \left(-1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x+1\right) ^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] +o\left( x^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(x\in \mathbb{R} \)について\(g\left( x\right) \in \left( -1,0\right)\cup \left( 0,+\infty \right) \)であるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) =0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\left[ g\left( x\right) +1\right] ^{p}=\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot \left[ g\left( x\right) \right] ^{k}\right] +o\left( \left[ g\left(
x\right) \right] ^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

実数ベキ関数のマクローリン展開

先に定義した関数\(\left(x+1\right) ^{p}\)が一定の条件のもとではマクローリン展開可能であることを示します。

命題(実数ベキ関数に関するマクローリン展開)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) ^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(-1<x<1\)を満たす点\(0\)とは異なる点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}が成り立つ。ただし、また、\begin{eqnarray*}
\tbinom{p}{0} &=&1 \\
\tbinom{p}{k} &=&\frac{p\left( p-1\right) \left( p-2\right) \times \cdots
\times \left( p-k+1\right) }{k!}
\end{eqnarray*}である。

証明

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例(実数ベキ関数との合成関数のマクローリン展開)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(p\not=0\)を満たす\(p\in \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ g\left( x\right) +1\right] ^{p}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は\(\left(x+1\right) ^{p}\)と\(g\)の合成関数です。実数ベキ関数\(\left(x+1\right) ^{p}\)に関しては、先の命題より、点\(x\in \left(-1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x+1\right) ^{p}=\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(x\in \mathbb{R} \)について\(g\left( x\right) \in \left( -1,0\right)\cup \left( 0,1\right) \)である場合には、\begin{equation*}\left[ g\left( x\right) +1\right] ^{p}=\sum_{k=0}^{+\infty }\left\{ \tbinom{p}{k}\cdot \left[ g\left( x\right) \right] ^{k}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

マクローリン展開を用いて数の近似値を求める

関数\(\left( x+1\right) ^{p}\)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\tbinom{p}{0}\cdot x^{0}+\tbinom{p}{1}\cdot x+\tbinom{p}{2}\cdot x^{2}+\cdots +\tbinom{p}{n}\cdot x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{eqnarray*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right) \)において、\begin{equation*}\left( x+1\right) ^{p}\approx \sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\left( x+1\right) ^{p}\)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、\(-1<x<1\)を満たす点\(0\)とは異なる点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x+1\right) ^{p}=\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}が成り立ちます。

以上の議論において\(x\)の値を具体的に指定することにより、\(\left(x+1\right) ^{p}\)の近似値を求めることができます。以下が具体例です。

例(無理数の近似値)
関数\(\left( x+1\right) ^{\frac{1}{2}}\)に関するマクローリンの定理より、点\(0\)とは異なる点である点\(0.5\)について、\begin{eqnarray*}\sqrt{1.5} &=&\left( 0.5+1\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&\approx &P_{n,0}\left( 0.5\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left( 0.5\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}という近似関係が成立するとともに、\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなります。加えて、\(\left( x+1\right) ^{\frac{1}{2}}\)はマクローリン展開可能であるため、点\(0\)とは異なる点である点\(0.5\)において、\begin{eqnarray*}\sqrt{1.5} &=&\left( 0.5+1\right) ^{\frac{1}{2}} \\
&=&\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left(
0.5\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\sqrt{1.5} &\approx &P_{1,0}\left( 0.5\right) =\sum_{k=0}^{1}\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left( 0.5\right) ^{k}\right] =1+\tbinom{\frac{1}{2}}{1}\cdot 0.5=1.25 \\
\sqrt{1.5} &\approx &P_{2,0}\left( 0.5\right) =\sum_{k=0}^{2}\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left( 0.5\right) ^{k}\right] =1+\tbinom{\frac{1}{2}}{1}\cdot 0.5+\tbinom{\frac{1}{2}}{2}\cdot \left( 0.5\right) ^{2}=1.2188 \\
\sqrt{1.5} &\approx &P_{3,0}\left( 0.5\right) =\sum_{k=0}^{3}\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left( 0.5\right) ^{k}\right] =1+\tbinom{\frac{1}{2}}{1}\cdot 0.5+\tbinom{\frac{1}{2}}{2}\cdot \left( 0.5\right) ^{2}+\tbinom{\frac{1}{2}}{3}\cdot \left( 0.5\right) ^{3}=1.2266 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立つとともに、究極的には、\begin{eqnarray*}
\sqrt{1.5} &=&\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{\frac{1}{2}}{k}\cdot
\left( 0.5\right) ^{k}\right] \\
&=&1+\tbinom{\frac{1}{2}}{1}\cdot 0.5+\tbinom{\frac{1}{2}}{2}\cdot \left(
0.5\right) ^{2}+\tbinom{\frac{1}{2}}{3}\cdot \left( 0.5\right) ^{3}+\cdots
\\
&=&1.224\,7
\end{eqnarray*}となります。

 

マクローリン展開を用いて関数の極限を求める

関数\(\left( x+1\right) ^{p}:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はマクローリン展開可能であり、\(-1<x<1\)を満たす点\(0\)とは異なる点\(x\in \left( -1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( x+1\right) ^{p}=\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \tbinom{p}{k}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}が成り立ちます。関数\(f\)が関数\(\left( x+1\right) ^{p}\)を含む関数である場合、以上の関係を用いることにより、\(f\)を多項式関数や有理関数へ変換できます。したがって、そのような関数\(f\)の極限を求める際には、それを多項式関数や有理関数に関する問題へ帰着させることができるということです。以下が具体例です。

例(マクローリン展開を用いて関数の極限を求める)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}\frac{\left( x+1\right) ^{\pi }-\pi x-1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。任意の点\(x\in \left( -1,0\right)\cup \left( 0,1\right) \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{\left( x+1\right) ^{\pi }-\pi x-1}{x^{2}} \\
&=&\frac{1}{x^{2}}\left[ \left( 1+\tbinom{\pi }{1}\cdot x+\tbinom{\pi }{2}\cdot x^{2}+x+\tbinom{\pi }{3}\cdot x^{3}+\cdots \right) -\pi x-1\right] \\
&=&\frac{1}{x^{2}}\left[ \left( 1+\pi x+\frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}x^{2}+\frac{\pi \left( \pi -1\right) \left( \pi -2\right) }{6}x^{3}+\cdots
\right) -\pi x-1\right] \\
&=&\frac{1}{x^{2}}\left[ \frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}x^{2}+\frac{\pi
\left( \pi -1\right) \left( \pi -2\right) }{6}x^{3}+\cdots \right] \\
&=&\frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}+\frac{\pi \left( \pi -1\right) \left(
\pi -2\right) }{6}x+\cdots
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}+\frac{\pi \left( \pi -1\right) \left( \pi
-2\right) }{6}x+\cdots \right] \\
&=&\frac{\pi \left( \pi -1\right) }{2}
\end{eqnarray*}となります。

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