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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

1変数関数に関するテイラーの定理(マクローリンの定理)

目次

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テイラーの定理

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能である場合には、点\(a\)における\(k\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)階の微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) ,\ f^{\prime \prime }\left( a\right) ,\ \cdots ,\
f^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}がそれぞれ有限な実数として定まるため、点\(a\)における\(n\)次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left(
x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}が定義可能です。この多項式関数\(P_{n,a}\left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似すること、すなわち、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成立するものと予想しましたが、この予想は正しいのでしょうか。順番に解説します。

区間上に定義された\(n\)階微分可能な関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域の内点\(a\in I^{i}\)を任意に選ぶと、\(f\)が\(n\)階微分可能であることから点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式\begin{equation*}P_{n-1,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}が定義可能です。以上を踏まえた上で、点\(a\)とは異なる点\(x\in I\backslash\left\{ a\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と、テイラー近似多項式\(P_{n-1,a}\)が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の間には以下の関係が成立します。これをテイラーの定理(Taylor’s theorem)と呼びます。証明ではコーシーの平均値の定理を利用します。

命題(テイラーの定理)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能であるものとする。定義域の内点\(a\in I^{i}\)と、それとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}かつ、\begin{equation*}
\min \left\{ a,x\right\} <c<\max \left\{ a,x\right\}
\end{equation*}を満たす点\(c\in I\)が存在する。

証明

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例(テイラーの定理)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において微分可能であるものとします。定義域の内点\(a\in I^{i}\)と\(a<b\)を満たす点\(b\in I\)をそれぞれ任意に選ぶと\(\left[ a,b\right] \subset I\)が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上に定義された微分可能な関数です。さらに、テイラーの定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f\left( b\right) =P_{0,a}\left( b\right)
+f^{\prime }\left( c\right) \cdot \left( b-a\right)
\end{equation*}を得ますが、テイラー近似多項式の定義より、\begin{equation*}
P_{0,a}\left( b\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}であり、さらに\(a<b\)であることを踏まえると、先の命題を、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}と表現できます。これはラグランジュの平均値の定理の主張に他なりません。つまり、ラグランジュの平均値の定理はテイラーの定理の特別なケースです。逆に言うと、テイラーの定理はラグランジュの平均値の定理の一般化です。

例(テイラーの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された多項式関数であるため\(n\)階微分可能であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&3x^{2}+2x \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&6x+2 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) \\
&=&\left( a^{3}+a^{2}\right) +\left( 3a^{2}+2a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{eqnarray*}となるため、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだとき、テイラーの定理より、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P_{1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left(
c\right) }{2}\cdot \left( x-a\right) ^{2} \\
&=&\left( a^{3}+a^{2}\right) +\left( 3a^{2}+2a\right) \cdot \left(
x-a\right) +\frac{6c+2}{2}\cdot \left( x-a\right) ^{2} \\
&=&\left( a^{3}+a^{2}\right) +\left( 3a^{2}+2a\right) \cdot \left(
x-a\right) +\left( 3c+1\right) \cdot \left( x-a\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を満たす\(c\)が\(x\)と\(a\)の間に存在します。したがって、例えば、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&0+0\cdot \left( x-0\right) +\left( 3c+1\right) \cdot
\left( x-0\right) ^{2} \\
&=&\left( 3c+1\right) x^{2}
\end{eqnarray*}を満たす\(c\)が\(x\)と\(0\)の間に存在します。
例(テイラーの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された正弦関数であるため\(n\)階微分可能であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 3\right) } &=&-\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P_{2,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2} \\
&=&\sin \left( a\right) +\cos \left( a\right) \cdot \left( x-a\right) -\frac{\sin \left( a\right) }{2}\cdot \left( x-a\right) ^{2}
\end{eqnarray*}となるため、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだとき、テイラーの定理より、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P_{2,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( 3\right)
}\left( c\right) }{3!}\cdot \left( x-a\right) ^{3} \\
&=&\sin \left( a\right) +\cos \left( a\right) \cdot \left( x-a\right) -\frac{\sin \left( a\right) }{2}\cdot \left( x-a\right) ^{2}-\frac{\cos \left(
c\right) }{6}\cdot \left( x-a\right) ^{3}
\end{eqnarray*}を満たす\(c\)が\(x\)と\(a\)の間に存在します。したがって、例えば、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\pi }{2}\right\} \)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) +\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-\frac{\pi }{2}\right) -\frac{\sin \left(
\frac{\pi }{2}\right) }{2}\cdot \left( x-\frac{\pi }{2}\right) ^{2}-\frac{\cos \left( c\right) }{6}\cdot \left( x-\frac{\pi }{2}\right) ^{3} \\
&=&1-\frac{1}{2}\left( x-\frac{\pi }{2}\right) ^{2}-\frac{\cos \left(
c\right) }{6}\cdot \left( x-\frac{\pi }{2}\right) ^{3}
\end{eqnarray*}を満たす\(c\)が\(x\)と\(\frac{\pi }{2}\)の間に存在することが保証されます。

 

ラグランジュ剰余項

繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合には、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、テイラーの定理より、\begin{equation}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係を満たす点\(c\in I\)が\(a\)と\(x\)の間に存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{equation*}P_{n-1,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}と定義されます。\(f\left(x\right) \)と\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を\(R_{n,a}\left( x\right) \)で表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}となります。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を\(a\)における\(f\)\(n\)次のラグランジュ剰余項(\(n\) th degree Lagrange remainder of \(f\) at \(a\))と呼びます。剰余項を用いて改めて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x\)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。

命題(テイラーの定理)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能であるものとする。定義域の内点\(a\in I^{i}\)と、それとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。

 

マクローリンの定理

関数\(f\)が点\(0\)においてテイラーの定理を適用可能である場合、\(f\)はマクローリン展開(Maclaurin expansion)可能であると言います。テイラーの定理より以下を得ます。

命題(マクローリンの定理)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(I\)が点\(0\)を内点として含むとともに、\(f\)は区間\(I\)において\(n\)階微分可能であるものとする。\(0\)とは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,0}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
c\right) }{n!}x^{n}
\end{equation*}かつ、\begin{equation*}
\min \left\{ 0,x\right\} <c<\max \left\{ 0,x\right\}
\end{equation*}を満たす点\(c\in I\)が存在する。

異なる2つの点である\(0\)と\(x\)の間にある点\(c\)は\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=0+\theta \left( x-0\right) =\theta x
\end{equation*}という形で表すことができます。したがって、上の命題を以下のように表現することもできます。

命題(マクローリンの定理)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(I\)が点\(0\)を内点として含むとともに、\(f\)は区間\(I\)において\(n\)階微分可能であるものとする。\(0\)とは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,0}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
\theta x\right) }{n!}x^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。

 

テイラー近似多項式の正当性

区間上に定義された関数が\(n\)階微分可能であるだけでなく\(C^{n}\)級でもある場合には以下を導くことができます。

命題(テイラーの定理)

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{n}\)級であるものとする。定義域の内点\(a\in I^{i}\)と、それとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,a}\left( x\right) +o\left( \left( x-a\right)
^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題は何を意味するのでしょうか。点\(a\)において関数\(f\left( x\right)-P_{n,a}\left( x\right) \)が関数\(\left( x-a\right) ^{n}\)よりも高位の無限小であることとは、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づけたときに\(f\left( x\right)-P_{n,a}\left( x\right) \)と\(\left( x-a\right) ^{n}\)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) -P_{n,a}\left( x\right) \)の大きさは\(\left( x-a\right) ^{n}\)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。\(x\)を\(a \)へ限りなく近づける場合、すなわち\(x\rightarrow a\)について考える場合には\(\left( x-a\right) ^{n}\)は限りなく小さくなりますが、上の議論より、\(f\left(x\right) \)と\(P_{n,a}\left( x\right) \)の誤差はそれとは比べものにならないほど小さくなるため、点\(a\)に十分近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。以上より、テイラー近似多項式は実際に関数を近似する多項式であることの根拠が得られました。

次回はテイラー展開について解説します。

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