1変数関数に関するテイラーの定理（マクローリンの定理）

テイラーの定理

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能である場合には、点\(a\)における\(k\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)階の微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) ,\ f^{\prime \prime }\left( a\right) ,\ \cdots ,\
f^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}がそれぞれ有限な実数として定まるため、点\(a\)における\(n\)次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left(
x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}が定義可能です。この多項式関数\(P_{n,a}\left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似すること、すなわち、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成立するものと予想しましたが、この予想は正しいのでしょうか。順番に解説します。

区間上に定義された\(n\)階微分可能な関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域の内点\(a\in I^{i}\)を任意に選ぶと、\(f\)が\(n\)階微分可能であることから点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{n-1,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{\left( n-1\right)
!}\cdot \left( x-a\right) ^{n-1}
\end{eqnarray*}が定義可能です。以上を踏まえた上で、点\(a\)とは異なる点\(x\in I\backslash\left\{ a\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と、テイラー近似多項式\(P_{n-1,a}\)が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の間には以下の関係が成立します。これをテイラーの定理（Taylor’s theorem）と呼びます。証明ではコーシーの平均値の定理を利用します。

ラグランジュ剰余項

繰り返しになりますが、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合には、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、テイラーの定理より、\begin{equation}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係を満たす点\(c\in I\)が\(a\)と\(x\)の間に存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n-1,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( a\right) }{\left( n-1\right)
!}\cdot \left( x-a\right) ^{n-1}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(f\left(x\right) \)と\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を\(R_{n,a}\left( x\right) \)で表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項（\(n\)th degree Lagrange remainder of \(f\) at \(a\)）と呼びます。剰余項を用いて改めて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x\)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、点\(a\)における\(f \)の\(n\)次のラグランジュ剰余項を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。

マクローリンの定理

区間\(I\)上に定義された関数\(f\)が区間上で\(n\)階微分可能であるとともに、点\(0\)が区間\(I\)の内点である場合には、点\(0\)に関してテイラーの定理が適用可能です。具体的には、関数\(f\)の点\(0\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n-1,0}\left( x\right) &=&f\left( 0\right) +f^{\prime }\left( 0\right)
\cdot \left( x-0\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( 0\right) }{2!}\cdot
\left( x-0\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n-1\right) }\left( 0\right) }{\left( n-1\right) !}\cdot \left( x-0\right) ^{n-1} \\
&=&f\left( 0\right) +f^{\prime }\left( 0\right) \cdot x+\frac{f^{\prime
\prime }\left( 0\right) }{2!}\cdot x^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n-1\right)
}\left( 0\right) }{\left( n-1\right) !}\cdot x^{n-1}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、テイラーの定理より以下を得ます。これをマクローリンの定理（Maclaurin’s theorem）と呼びます。

点\(x\)が点\(0\)とは異なる場合、これらの間にある\(c\)は\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}c &=&0+\theta \left( x-0\right) \\
&=&\theta x
\end{eqnarray*}と表現できます。したがって、マクローリンの定理を以下のように表現することもできます。

テイラー近似多項式の近似多項式としての正当性

区間上に定義された関数が\(n\)階微分可能であるだけでなく\(C^{n}\)級でもある場合には以下を導くことができます。

上の命題は何を意味するのでしょうか。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において\(n\)階微分可能である場合、点\(a\)における関数\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式を、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left(
x-a\right) ^{n}
\end{eqnarray*}と定義しました。ただ、この関数\(P_{n,a}\left( x\right) \)が点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\)を近似すること、すなわち、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似関係が成り立つことの根拠は与えられていませんでした。また、次数\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることの根拠も与えられていませんでした。上の命題のこれらの主張に根拠を与えます。順番に説明します。

具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{n}\)級であるものとします。定義域の内点\(a\in I^{i}\)と、それとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n,a}\left( x\right) +o\left( \left( x-a\right)
^{n}\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x\right) -P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}が、やはり変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}よりも点\(a\)において高位の無限小であるという主張です。つまり、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) -P_{n,a}\left( x\right) \)と\(\left( x-a\right) ^{n}\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(f\left( x\right) -P_{n,a}\left( x\right) \)の大きさは\(\left( x-a\right) ^{n}\)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)と\(P_{n,a}\left( x\right) \)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは、\(x\)と\(a\)の誤差を表す\(\left( x-a\right) ^{n}\)の値と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、この場合、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。以上より、テイラー近似多項式\(P_{n,a}\)は点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において関数\(f\)を近似することの根拠が得られました。

先の命題が主張するように、\(x\)を\(a\)に限りなく近づけると、\(f\left(x\right) -P_{n,a}\left( x\right) \)の大きさは\(\left( x-a\right) ^{n}\)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。ただ、\(x\)を\(a\)に限りなく近づける状況において\(\left\vert x-a\right\vert <1\)が成り立つため、\(n\)が大きいほど\(\left( x-a\right) ^{n}\)はより速く\(0\)へ近づいていくため、結局、\(n\)が大きいほど\(f\left( x\right) \)と\(P_{n,a}\left( x\right) \)の誤差はより速く\(0\)へ近づいていきます。以上により、次数\(n\)を大きくするほどテイラー近似多項式\(P_{n,a}\)は関数\(f\)をより高い精度で近似することの根拠が得られました。

演習問題