多変数の方程式が定める1変数の陰関数
\(n+1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)もしくはその部分集合\(X_{1}\times \cdots ,X_{n}\times Y\)上に定義された\(n+1\)変数関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X_{1}\times \cdots ,X_{n}\times Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。つまり、この関数\(F\)はそれぞれの\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n},y\right) \in X_{1}\times \cdots,X_{n}\times Y\)に対して、\begin{equation*}F\left( x_{1},\cdots ,x_{n},y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。以上の関数\(F\)が与えられれば、そこから以下のような方程式\begin{equation*}F\left( x_{1},\cdots ,x_{n},y\right) =0
\end{equation*}を定義できます。
表記を簡素化するため、以降では以下の表記\begin{eqnarray*}
x &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
X &=&X_{1}\times \cdots \times X_{n}
\end{eqnarray*}を導入します。つまり、問題としている\(n+1\)変数関数を\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)で表記し、\(F\)が定める方程式を、\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0
\end{equation*}で表記するということです。
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)は変数\(\left( x,y\right) \)の値に応じて様々な値をとり得ますが、点\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)が具体的に与えられたとき、それを方程式\(F\left( x,y\right) =0\)に代入して得られる等式は成立するとは限りません。一方、点\(\left( x,y\right) \)を方程式\(F\left( x,y\right) =0\)に代入して得られる等式が成立する場合、そのような点\(\left( x,y\right) \)を方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解（solution）と呼んだり、点\(\left(x,y\right) \)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を満たす（satisfies）などと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から以下の方程式\begin{equation*}F\left( x,y,z\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。点\(\left(1,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に関しては、\begin{eqnarray*}F\left( 1,0,0\right) &=&1^{2}+0^{2}+0^{2}-1\quad \because F\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、この点\(\left( 1,0,0\right) \)は方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の解です。点\(\left( 0,1,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に関しては、\begin{eqnarray*}F\left( 0,1,0\right) &=&0^{2}+1^{2}+0^{2}-1\quad \because F\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、この点\(\left( 0,1,0\right) \)もまた方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の解です。点\(\left( 1,1,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に関しては、\begin{eqnarray*}F\left( 1,1,1\right) &=&1^{2}+1^{2}+1^{2}-1\quad \because F\text{の定義} \\
&=&2 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}となるため、この点\(\left( 1,1,1\right) \)は方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の解ではありません。
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定義されている状況を想定します。\(X\)上の点\(x\)が与えられたとき、それに対して点\(\left(x,y\right) \)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解になるような\(Y\)上の点\(y\)は存在するとは限りませんし、そのような点\(y\)が存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。つまり、\(x\in X\)が与えられたとき、以下の集合\begin{equation*}\left\{ y\in Y\ |\ F\left( x,y\right) =0\right\}
\end{equation*}は1点集合であるとは限らず、空集合になったり、複数の要素を持つ集合になり得るということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \)に注目したとき、それに対して\(F\left( 1,0,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}1^{2}+0^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を満たす\(z\)の値は\(0\)だけであるため、\begin{equation*}\left\{ z\in Z\ |\ F\left( 1,0,z\right) =0\right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。また、値の組\(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \)に注目したとき、それに対して\(F\left( 0,0,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}0^{2}+0^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を満たす\(z\)の値は\(1\)と\(-1\)であるため、\begin{equation*}\left\{ z\in Z\ |\ F\left( 0,0,z\right) =0\right\} =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}となります。さらに、値の組\(\left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \)に注目したとき、それに対して\(F\left( 1,1,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}1^{2}+1^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を満たす\(z\)の値は存在しないため、\begin{equation*}\left\{ z\in Z\ |\ F\left( 1,1,z\right) =0\right\} =\phi
\end{equation*}となります。
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義したとき、それぞれの点\(x\in X\)に対して定義される以下の集合\begin{equation*}\left\{ y\in Y\ |\ F\left( x,y\right) =0\right\}
\end{equation*}は非空であるとは限らないことを確認しました。一方、上の集合が非空になるような\(X\)上の点\(x\)を集めてできる集合を\(D\subset X\)で表記します。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in D,\ \exists y\in Y:F\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を満たす\(X\)の部分集合\(D\)をとるということです。この場合、それぞれの\(x\in D\)に対して\(F\left(x,y\right) =0\)を満たす\(y\in Y\)を1つずつ選ぶことができるため、それぞれの\(x\in D\)に対して、以下の条件\begin{equation*}f\left( x\right) =y\quad \text{s.t.}\quad F\left( x,y\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{equation*}を満たす値\(f\left( x\right) \in Y\)を1つずつ定める\(n\)変数関数\begin{equation*}f:X\supset D\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数\(f\)を方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数（implicit function）と呼びます。
改めて整理すると、\(n+1\)変数関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義したとき、\(n\)変数関数\(f:\mathbb{R} \supset D\rightarrow \mathbb{R} \)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ D\subset X \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in D:F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が与えられたとき、これを変数\(y\)について解いて\(y=f\left( x\right) \)とすることができるのであれば、\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{equation*}となります。したがってこの場合、\(f\)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数の候補になります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x+y+z=0
\end{equation*}を定義します。この方程式を\(z\)について解くと、\begin{equation*}z=-x-y
\end{equation*}を得ます。そこで、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x-y
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x,y,f\left( x,y\right) \right) &=&F\left( x,y,-x-y\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&x+y+\left( -x-y\right) \quad \because F\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、この関数\(f\)は方程式\(F\left(x,y\right) =0\)が定める陰関数です。
陰関数は一意的に定まるとは限らない
陰関数は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。この方程式を\(z\)について解くと、\begin{equation*}z^{2}=1-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
z=\pm \left( 1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を得ます。そこで、変数\(\left( x,y\right) \)がとり得る値の範囲を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}に制限した上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in D\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( 1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、任意の\(\left( x,y\right) \in D\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x,y,f\left( x,y\right) \right) &=&F\left( x,y,\left(
1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&x^{2}+y^{2}+\left[ \left( 1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] ^{2}-1\quad \because F\text{の定義} \\
&=&x^{2}+y^{2}+\left( 1-x^{2}-y^{2}\right) -1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、この関数\(f\)は方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)が定める陰関数です。また、それぞれの\(\left(x,y\right) \in D\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-\left( 1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、任意の\(\left( x,y\right) \in D\)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x,y,g\left( x,y\right) \right) &=&F\left( x,y,-\left(
1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&x^{2}+y^{2}+\left[ -\left( 1-x^{2}-y^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right] ^{2}-1\quad \because F\text{の定義} \\
&=&x^{2}+y^{2}+\left( 1-x^{2}-y^{2}\right) -1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、この関数\(g\)もまた方程式\(F\left(x,y,z\right) =0\)が定める陰関数です。\(f\)と\(g\)は異なる関数であるため、方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)が定める陰関数は一意的であるとは限らないことが明らかになりました。
陰関数を特定できるとは限らない
繰り返しになりますが、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が与えられたとき、これを変数\(y\)について解いて\(y=f\left( x\right) \)とすることができるのであれば、\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
F\left( x,f\left( x\right) \right) =0
\end{equation*}となります。したがってこの場合、\(f\)は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数の候補となります。ただ、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を\(y\)について解くことは必ずしも容易ではないため、陰関数を具体的に特定できるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{3}+3y^{2}+4xz^{2}-3yz-1=0
\end{equation*}を定義します。この方程式を\(z\)について解くのは容易ではないため、方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)が定める陰関数を具体的に特定できません。
方程式の解と陰関数
陰関数にはどのような用途があるのでしょうか。いくつか具体例を提示します。
点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in X\times Y\)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解であるものとします。つまり、\begin{equation*}F\left( \overline{x},\overline{y}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。それぞれの変数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の値を点\(\overline{x}_{i}\)を出発点に\(\Delta x_{i}\)だけ動かすと\(\overline{x}_{i}+\Delta x_{i}\)となりますが、その場合にも方程式を成り立たせるために変数\(y\)の値を点\(\overline{y}\)を出発点に\(\Delta y\)だけ動かす必要があるのであれば、\begin{equation*}F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},\overline{y}+\Delta y\right) =0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\)が与えられたとき、それに対して上の関係を満たす\(\Delta y\)を選べば、点\(\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},\overline{y}+\Delta y\right) \)もまた方程式\(F\left(x,y\right) =0\)の解になるということです。
特に、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\overline{x}\)およびその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\overline{y}=f\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}を満たすならば、陰関数の定義より以下の関係\begin{equation*}
F\left( \overline{x},\overline{y}\right) =0\Leftrightarrow \overline{y}=f\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成立するだけでなく、十分小さい任意の\(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\)について、\begin{equation*}F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},\overline{y}+\Delta y\right) =0\Leftrightarrow \overline{y}+\Delta y=f\left(
\overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
\Delta y=f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) -\overline{y}
\end{equation*}を得ます。つまり、陰関数\(f\)が点\(\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) \)に対して定める値\(f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) \)を計算すれば、上の関係から\(\Delta y\)を特定できます。さらにこのとき、\begin{equation*}F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}という関係も成立するため、点\(\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) \right) \)もまた方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解になります。
議論の結論を整理します。
\end{equation*}を満たす\(\Delta y\)をとると、以下の関係\begin{equation*}\Delta y=f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) -\overline{y}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、点\(\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) \right) \)もまた方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解である。
方程式の近似解と陰関数の全微分
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義します。点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in X\times Y\)が方程式\(F\left(x,y\right) =0\)の解であるものとします。さらに、方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\overline{x}\)およびその周辺の任意の点において定義されているとともに\(\overline{y}=f\left( \overline{x}\right) \)が成り立つものとします。十分小さい\(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\)をそれぞれ任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n},\overline{y}+\Delta y\right) =0
\end{equation*}を満たす\(\Delta y\)をとると、先の命題より以下の関係\begin{equation}\Delta y=f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta x_{n}\right) -\overline{y} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。特に、陰関数\(f\)が点\(\overline{x}\)において全微分可能である場合には、十分小さい任意の\(\Delta x_{1},\cdots,\Delta x_{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n}\right) &\approx &f\left( \overline{x}\right) +\nabla f\left(
\overline{x}\right) \cdot \left( \Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\right) \\
&=&f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、十分小さい任意の\(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\Delta y &\approx &f\left( \overline{x}\right) +f\left( \overline{x}\right)
+\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot \left( \Delta x_{1},\cdots ,\Delta
x_{n}\right) -\overline{y} \\
&=&f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}-\overline{y}
\end{eqnarray*}という近似関係も成立します。つまり、陰関数\(f\)の点\(\overline{x}\)における勾配ベクトルを計算すれば、上の関係から\(\Delta y\)の近似値を特定できます。さらにこのとき、十分小さい任意の\(\Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\)に対して、\begin{equation*}F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}\right) +\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot
\left( \Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\right) \right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
F\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}\right) +f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta
x_{n}\right) =0
\end{equation*}という近似関係も成立するため、点\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}\right) +\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot
\left( \Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\right) \right)
\end{equation*}すなわち\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}\right)
\end{equation*}は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解になります。
議論の結論を整理します。
\end{equation*}を満たす\(\Delta y\)をとると、以下の近似関係\begin{equation*}\Delta y\approx f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial
f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}-\overline{y}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、点\begin{equation*}
\left( \overline{x}_{1}+\Delta x_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}+\Delta
x_{n},f\left( \overline{x}\right) +\frac{\partial f\left( \overline{x}\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left(
\overline{x}\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}\right)
\end{equation*}は方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の近似解である。
方程式のグラフの接平面の方程式
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義します。この方程式のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in X\times Y\ |\ F\left( x,y\right) =0\right\}
\end{equation*}と定義される空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)上の点集合です。さて、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in X\times Y\)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の解であるものとします。つまり、\begin{equation*}F\left( \overline{x},\overline{y}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。これは点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が方程式\(F\left(x,y\right) =0\)のグラフ上の点であることを意味します。では、この点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと接する接平面の方程式を特定するためにはどうすればよいでしょうか。
方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset D\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\overline{x}\)およびその周辺の任意の点において定義されているとともに\(\overline{y}=f\left( \overline{x}\right) \)が成り立つものとします。加えて、\(f\)は点\(\overline{x}\)において全微分可能であるものとします。陰関数\(f\)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in D\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}です。陰関数の定義より、以下の関係\begin{equation*}
F\left( \overline{x},\overline{y}\right) =0\Leftrightarrow \overline{y}=f\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成立しますが、これは点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフ上の点であるとともに、陰関数\(f\)のグラフ上の点であることを意味します。やはり陰関数の定義より、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)の周辺の任意の点\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)について、以下の関係\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}が成立しますが、これは点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)の周辺において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと陰関数\(f\)のグラフが同じ曲線を描くことを意味します。したがって、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において方程式\(F\left( x,y\right) =0\)のグラフと接する接平面は、点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)において陰関数\(f\)のグラフと接する接平面と一致するため、その接平面の勾配ベクトルは\(\nabla f\left( \overline{x}\right) \)となります。加えて、この接平面は点\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)を通過するため、その方程式は、\begin{equation*}y-\overline{y}=\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot \left( x-\overline{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=\nabla f\left( \overline{x}\right) \cdot \left( x-\overline{x}\right) +\overline{y}
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。
議論の結論を整理します。
\end{equation*}となる。
制約付き最適化問題
関数\(F:\mathbb{R} ^{n+1}\supset X\times Y\rightarrow \mathbb{R} \)から方程式\(F\left( x,y\right) =0\)を定義します。変数\(x\)の値を変化させればそれに応じて方程式\(F\left(x,y\right) =0\)を満たす変数\(y\)の値も変化しますが、\(y\)の値を最大化する\(x\)の値を特定するためにはどうすればよいでしょうか。つまり、以下の制約付き最大化問題\begin{equation*}\max_{x\in X}y\quad \text{s.t.}\quad F\left( x,y\right) =0
\end{equation*}について考えるということです。方程式\(F\left( x,y\right) =0\)が定める陰関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、任意の点\(\left( x,y\right) \in X\times Y\)について、\begin{equation*}F\left( x,y\right) =0\Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、この場合、先の制約付き最大化問題を、以下のような制約のない最大化問題\begin{equation*}
\max_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}に読み替えることができます。同様に、以下の制約付き最小化問題\begin{equation*}
\min_{x\in X}y\quad \text{s.t.}\quad F\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を、以下のような制約のない最大化問題\begin{equation*}
\min_{x\in X}f\left( x\right)
\end{equation*}に読み替えることができます。
陰関数定理
方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数やその微分が様々な局面で役に立つことが明らかになりました。これまでの議論では、方程式\(F\left( x,y\right)=0\)の陰関数が具体的に明らかになっている状況や、陰関数が全微分可能であるような状況を想定しました。ただ、多くの場合、そもそも方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数を具体的に特定することは困難です。ここで役に立つのが陰関数定理（implicit function theorem）と呼ばれる命題です。方程式\(F\left( x,y\right) =0\)の陰関数を具体的に特定できない場合でも、一定の条件のもとでは、陰関数定理を通じて陰関数の存在を保証したり、また、陰関数の微分を特定できます。次回は陰関数定理について解説します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)が定める陰関数\(z=f\left( x,y\right) \)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)が定める陰関数\(z=f\left( x,y\right) \)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)が方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の解であることを確認してください。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)を出発点として変数\(x,y\)の値を\(\Delta x=0.01\)および\(\Delta y=0.01\)だけ変化させた場合、方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)を成立させるためには変数\(z\)の値をどれだけ変化させる必要があるでしょうか。つまり、以下の条件\begin{equation*}F\left( \frac{\sqrt{3}}{3}+0.01,\frac{\sqrt{3}}{3}+0.01,\frac{\sqrt{3}}{3}+\Delta z\right) =0\end{equation*}を満たす\(\Delta z\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)が方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の解であることを確認してください。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)を出発点として変数\(x\)の値を\(\Delta x\)だけ変化させ、変数\(y\)の値を\(\Delta y\)だけ変化させます。\(\Delta x\)と\(\Delta y\)が十分小さい場合の方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)の近似解を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)が方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)のグラフ上の点であることを確認してください。
- 点\(\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \)において方程式\(F\left(x,y,z\right) =0\)のグラフと接する接平面の方程式を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(F\)から方程式\(F\left( x,y,z\right) =0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を定義します。その上で、以下の制約付き最大化問題\begin{equation*}
\max_{\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}}z\quad \text{s.t.}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
\end{equation*}を解いてください。
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