偏微分作用素（偏微分演算子）

単純偏微分作用素

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(C^{r}\)級であるものとします。その上で、\begin{equation*}m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}\leq r
\end{equation*}を満たす自然数\(m_{1},m_{2},\cdots,m_{n}\)をそれぞれ任意に選びます。関数\(f\)を点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)について\(m_{i}\)回ずつ偏微分する場合、どのような順番で合計\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)回の偏微分を行うかが問題になりますが、\(C^{r}\)級の仮定およびクレローの定理より、偏微分を行う順番とは関係なく、\(f\)の点\(a\)における\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏微分係数はいずれも一致することが保証されるため、それらの\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏微分係数を総称して、\begin{equation*}D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f\left( a\right) ,\quad \left(
\frac{\partial }{\partial x_{1}}\right) ^{m_{1}}\left( \frac{\partial }{\partial x_{n}}\right) ^{m_{2}}\cdots \left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}\right) ^{m_{1}}f\left( a\right) ,\quad \frac{\partial ^{m_{1}+m_{2}+\cdots
+m_{n}}f\left( a\right) }{\partial x_{1}^{m_{1}}\partial x_{2}^{m_{2}}\cdots
\partial x_{n}^{m_{n}}}
\end{equation*}などで表記します。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(C^{r}\)級である場合、やはりクレローの定理より、偏微分を行う順番とは関係なく\(f\)の\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏導関数はいずれも一致することが保証されるため、それらの\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏導関数を総称して、\begin{equation*}D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f,\quad \left( \frac{\partial
}{\partial x_{1}}\right) ^{m_{1}}\left( \frac{\partial }{\partial x_{n}}\right) ^{m_{2}}\cdots \left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}\right)
^{m_{1}}f,\quad \frac{\partial ^{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}f}{\partial
x_{1}^{m_{1}}\partial x_{2}^{m_{2}}\cdots \partial x_{n}^{m_{n}}}
\end{equation*}などで表記します。以上を踏まえた上で、関数\(f\)をそれぞれの変数\(x_{i}\)について\(m_{i}\)回ずつ偏微分するという操作そのものを、\begin{equation*}D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}},\quad \left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}\right) ^{m_{1}}\left( \frac{\partial }{\partial x_{n}}\right) ^{m_{2}}\cdots \left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}\right)
^{m_{1}},\quad \frac{\partial ^{m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}}}{\partial
x_{1}^{m_{1}}\partial x_{2}^{m_{2}}\cdots \partial x_{n}^{m_{n}}}
\end{equation*}などで表記し、これを単純偏微分作用素（simple partial differential operator）や単純偏微分演算子などと呼びます。また、\(f\)を偏微分する合計回数\begin{equation*}m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}
\end{equation*}を単純偏微分作用素の次数（order）と呼びます。

関数\(f\)が\(C^{r}\)級である場合、クレローの定理より、\(f\)に対して\(r\)以下の任意の次数を持つ単純偏微分作用素を作用させることができます。

単純偏微分作用素の定数倍

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(C^{r}\)級であるものとします。さらに、\(r\)次以下の単純偏微分作用素\begin{equation*}D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\quad \left(
m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}\leq r\right)
\end{equation*}と実数\(c\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。\(f\)に\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏微分係数\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f\left( a\right) \)が得られますが、さらにその値を\(c\)倍すれば以下の値\begin{equation*}cD_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(C^{r}\)級である場合、\(f\)に\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\)階偏導関数\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f\)が得られますが、さらにその関数を\(c\)倍すれば以下の関数\begin{equation*}cD_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f
\end{equation*}が得られます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)に\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\)を作用させた結果を\(c\)倍するという操作に相当する作用素を、\begin{equation}cD_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\left( cD_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\right) f=c\left(
D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}f\right)
\end{equation*}を満たすものとして作用素\(\left( 1\right) \)を定義するということです。

単純偏微分作用素の和

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(C^{r}\)級であるものとします。\(r\)次以下の2つの単純偏微分作用素\begin{eqnarray*}&&D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\quad \left(
p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}\leq r\right) \\
&&D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\quad \left(
q_{1}+q_{2}+\cdots +q_{n}\leq r\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選びます。点\(a\)において\(f\)に\(D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}p_{i}\)階偏微分係数\(D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}f\left( a\right) \)が得られ、\(D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}q_{i}\)階偏微分係数\(D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}f\left( a\right) \)が得られますが、それらの値の和をとれば以下の値\begin{equation*}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}f\left( a\right)
+D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(C^{r}\)級である場合、\(f\)に\(D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}p_{i}\)階偏導関数\(D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}f\)が得られ、\(D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\)を作用させれば\(\sum_{i=1}^{n}q_{i}\)階偏導関数\(D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}f\)が得られますが、それらの関数の和をとれば以下の関数\begin{equation*}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}f+D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}f
\end{equation*}が得られます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)に\(D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\)を作用させた結果と\(D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\)を作用させた結果の和をとるという操作に相当する作用素を、\begin{equation}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}+D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\left( D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}+D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f=\left(
D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\right) f+\left(
D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f
\end{equation*}を満たすものとして作用素\(\left( 1\right) \)を定義するということです。

偏微分作用素

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(C^{r}\)級であるものとします。\(r\)次以下の2つの単純偏微分作用素\begin{eqnarray*}&&D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}\quad \left(
p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}\leq r\right) \\
&&D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\quad \left(
q_{1}+q_{2}+\cdots +q_{n}\leq r\right)
\end{eqnarray*}と2つの実数\begin{eqnarray*}
c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}} &\in &\mathbb{R} \\
c_{q_{1}q_{2}\cdots q_{n}} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選んだとき、これまでの議論より、新たな作用素\begin{equation*}
D=c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}+c_{q_{1}q_{2}\cdots q_{n}}D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots
D_{n}^{q_{n}}
\end{equation*}が定義可能です。これを偏微分作用素（partial differential operator）や偏微分演算子などと呼びます。点\(a\)において偏微分作用素\(D\)を\(f\)に対して作用させれば以下の値\begin{eqnarray*}Df\left( a\right) &=&\left( c_{p_{1}p_{2}\cdots
p_{n}}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots D_{n}^{p_{n}}+c_{q_{1}q_{2}\cdots
q_{n}}D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f\left( a\right)
\\
&=&\left( c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}\right) f\left( a\right) +\left( c_{q_{1}q_{2}\cdots
q_{n}}D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f\left( a\right)
\\
&=&c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}\left( D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}\right) f\left( a\right) +c_{q_{1}q_{2}\cdots q_{n}}\left(
D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f\left( a\right)
\end{eqnarray*}を得ます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で\(C^{r}\)級である場合、偏微分作用素\(D\)を\(f\)に対して作用させれば以下の関数\begin{eqnarray*}Df &=&\left( c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}+c_{q_{1}q_{2}\cdots q_{n}}D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots
D_{n}^{q_{n}}\right) f \\
&=&\left( c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}\right) f+\left( c_{q_{1}q_{2}\cdots
q_{n}}D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f \\
&=&c_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}\left( D_{1}^{p_{1}}D_{2}^{p_{2}}\cdots
D_{n}^{p_{n}}\right) f+c_{q_{1}q_{2}\cdots q_{n}}\left(
D_{1}^{q_{1}}D_{2}^{q_{2}}\cdots D_{n}^{q_{n}}\right) f
\end{eqnarray*}を得ます。

3個以上の単純偏微分作用素の定数倍の和から偏微分作用素を生成することもできます。つまり、関数\(f\)が\(C^{r}\)級である場合、偏微分作用素とは\(r\)次以下の単純偏微分作用素\(D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots D_{n}^{m_{n}}\)の定数\(c_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\)倍どうしの和\begin{equation*}D=\sum c_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}D_{1}^{m_{1}}D_{2}^{m_{2}}\cdots
D_{n}^{m_{n}}
\end{equation*}として定義されます。

関数\(f\)が\(C^{\infty }\)級である場合など、\(r\)が十分大きい場合には、関数\(f\)に対して同一の偏微分作用素\(D\)を繰り返し作用させることができます。微分作用素\(D\)を\(r\)回作用させることを、\begin{equation*}D^{r}
\end{equation*}で表記します。

ナブラ作用素

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において偏微分可能である場合、そこでの勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で偏微分可能である場合、勾配ベクトル場\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) =\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial
x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)を偏微分するという操作そのものを、\begin{equation*}\nabla
\end{equation*}で表記し、これをナブラ作用素（nabla differential operator）やナブラ演算子などと呼びます。

勾配ベクトルに関しては、\begin{eqnarray*}
\nabla f\left( x\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \quad \because \text{勾配ベクトルの定義} \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,0\right)
+\cdots +\left( 0,\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}}\left( 1,\cdots
,0\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\left(
0,\cdots ,1\right) \quad \because \text{ベクトルのスカラー倍の定義} \\
&=&\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}}e_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}e_{n}\quad \because e_{k}=\left(
0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( D_{x_{1}}f\right) \left( x\right) e_{1}+\cdots \left(
D_{x_{n}}f\right) \left( x\right) e_{n}\quad \because \text{偏微分作用素の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( D_{x_{k}}f\right) \left( x\right) e_{k}
\end{eqnarray*}という変形が可能であることを踏まえた上で、ナブラ作用素を、\begin{eqnarray*}
\nabla &=&\sum_{k=1}^{n}D_{x_{k}}e_{k} \\
&=&D_{x_{1}}e_{1}+\cdots +D_{x_{n}}e_{n}
\end{eqnarray*}と表現できるものと定めます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。

ナブラ作用素との内積

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において偏微分可能であるものとします。さらに、ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(f\)に\(\nabla \)を作用させればベクトル\(\nabla f\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が得られますが、これと\(v\)の内積をとれば以下の実数\begin{eqnarray*}v\cdot \nabla f\left( a\right) &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \cdot
\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}v_{k}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}
\end{eqnarray*}が得られます。また、関数\(f\)が定義域\(X\)上で偏微分可能である場合、\(f\)に\(\nabla \)を作用させればベクトル値関数\(\nabla f\left( x\right) \)が得られますが、これと\(v\)の内積をとれば以下のベクトル値関数\begin{eqnarray*}v\cdot \nabla f\left( x\right) &=&\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \cdot
\left( \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}v_{k}\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}
\end{eqnarray*}が得られます。以上を踏まえた上で、関数\(f\)に\(\nabla \)を作用させた結果とベクトル\(v\)の内積をとるという操作に相当する作用素を、\begin{equation*}v\cdot \nabla
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\left( v\cdot \nabla \right) f=v\cdot \nabla f
\end{equation*}を満たすものとして作用素\(v\cdot \nabla \)を定義するということです。

関数\(f\)が\(r\)階微分可能である場合には、関数\(f\)に対して同一の作用素\(v\cdot \nabla \)を\(r\)回繰り返し作用させることができます。作用素\(v\cdot\nabla \)を\(r\)回作用させることを、\begin{equation*}\left( v\cdot \nabla \right) ^{r}
\end{equation*}で表記します。

演習問題