方向微分による偏微分の特徴づけ
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。
多変数関数\(f\)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。ただし、\(\boldsymbol{e}_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)である単位ベクトルです。
一方、多変数関数\(f\)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において\(\boldsymbol{e}_{k}\)方向に方向微分可能であることは、点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}_{k}\)方向の方向微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味するため、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{k}}
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\boldsymbol{e}_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような単位ベクトルである。
\frac{\partial f}{\partial x_{k}}=\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}_{k}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
\boldsymbol{e}_{k}}
\end{equation*}が成り立ちます。
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial \left( 1,0\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial
x}=\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 1,0\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。もう一方の変数\(y\)についても同様です。
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial \left( 1,0,0\right)
}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \left( x,y,z\right) \in X:\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial x}=\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial \left(
1,0,0\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。他の変数\(y,z\)についても同様です。
\end{equation*}が存在するということです。\(\nabla f\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}を定めます。先の命題より、以上の事実は\(f\)が\(X\)上で方向\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)のいずれに関しても方向微分可能であることと必要十分であるため、この場合には任意の\(k\ \left(=1,\cdots ,n\right) \)に関して方向導関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。しかも、\begin{equation*}
\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}_{1}},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}_{n}}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial }{\partial x}\left( xy\right) ,\frac{\partial f}{\partial y}\left( xy\right) \right) \\
&=&\left( y,x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。すると、先の命題より、\(f\)は\(\left( 1,0\right) \)および\(\left( 0,1\right) \)の方向について方向微分可能であるとともに、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 1,0\right) },\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial
\left( 0,1\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 1,0\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h,y\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( x+h\right) y}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{xy}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}y \\
&=&0+y \\
&=&y \\
&=&\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 0,1\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x,y+h\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x\left( y+h\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{xy}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}x \\
&=&0+x \\
&=&x \\
&=&\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}
\end{eqnarray*}です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
方向微分可能な関数は偏微分可能
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において方向微分可能であることとは、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能であることを意味します。この場合、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)は任意であるため、変数\(x_{k}\)を任意に選んだとき、その変数の軸と平行な方向\(\boldsymbol{e}_{k}\)に関しても\(f\)は方向微分可能ですが、これは\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることを意味します。任意の変数についても同様の議論が成り立つため以下が成り立ちます。
\boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{1}},\cdots ,\frac{\partial
f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:\nabla f\left( x,y\right) =\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 1,0\right) },\frac{\partial
f\left( x,y\right) }{\partial \left( 0,1\right) }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が存在するとともに、以下の関係\begin{equation*}
\forall \left( x,y,z\right) \in X:\nabla f\left( x,y,z\right) =\left( \frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial \left( 1,0,0\right) },\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial \left( 0,1,0\right) },\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial \left( 0,0,1\right) }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
偏微分可能な関数は方向微分可能であるとは限らない
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、多変数関数\(f\)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能である場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能であるとは限りません。\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において任意の変数について偏微分可能である場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の方向に方向微分可能であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x,y\)のどちらについても偏微分可能である一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)に関して方向微分可能ではありません（演習問題）。
ちなみに、任意の変数について偏微分可能ではない関数が、何らかの方向について方向微分可能であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x,y\)のどちらについても偏微分可能ではない一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)に関して方向微分可能です（演習問題）。
方向微分係数は勾配ベクトルと方向ベクトルの内積
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において方向微分可能であるものとします。つまり、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向の方向微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。先の命題より、この場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)について偏微分可能であるため、点\(\boldsymbol{a}\)における勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( \frac{\partial f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{n}}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まります。さらに、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合（実際には、後に導入する全微分可能性を満たしていれば十分）には、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{e}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級である場合には、点\(\boldsymbol{a}\)における勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)と方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\)の内積（右辺）をとれば、点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向の方向微分係数（左辺）が得られます。通常、方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)の導出よりも勾配ベクトル\(\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \)の導出のほうが容易であるため、以上の関係を利用することにより方向微分係数を容易に導出できます。ちなみに、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot \boldsymbol{e} &=&\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot \left(
e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \quad \because \nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) \text{および}\boldsymbol{e}\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}}e_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{n}}e_{n}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial
x_{i}}e_{i}
\end{eqnarray*}となるため、先の関係を、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{i}}e_{i}
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation*}が成り立つ。
&=&\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{e} \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot \left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{1}}e_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{n}}e_{n}
\end{eqnarray*}を定めます。
&=&\nabla f\left( x,y\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial
f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}e_{1}+\frac{\partial
f\left( x,y\right) }{\partial y}e_{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
e_{1},e_{2},e_{3}\right) } &=&\nabla f\left( x,y,z\right) \cdot \left(
e_{1},e_{2},e_{3}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial x},\frac{\partial
f\left( x,y,z\right) }{\partial y},\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial z}\right) \cdot \left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial x}e_{1}+\frac{\partial
f\left( x,y,z\right) }{\partial y}e_{2}+\frac{\partial f\left( x,y,z\right)
}{\partial z}e_{3}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は任意の方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)について方向微分可能です。まずは、定義にもとづいて方向微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{df\left( x+e_{1}h,y+e_{2}h\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( x+e_{1}h\right) \left( y+e_{2}h\right)
\right\vert _{h=0} \\
&=&\left. e_{1}\left( y+e_{2}h\right) +\left( x+e_{1}h\right)
e_{2}\right\vert _{h=0} \\
&=&e_{1}y+xe_{2}
\end{eqnarray*}を得ます。\(f\)は\(C^{1}\)級であるため先の手法を用いて方向微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\nabla f\left( x,y\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial
f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial f}{\partial x}\left( xy\right) ,\frac{\partial f}{\partial y}\left( xy\right) \right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&\left( y,x\right) \cdot \left( e_{1},e_{2}\right) \\
&=&e_{1}y+xe_{2}
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
多変数関数\(f\)が\(C^{1}\)級ではない場合（実際には、全微分可能ではない場合）、先の命題の主張は成り立つとは限りません。つまり、多変数関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において\(C^{1}\)級ではない場合には、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial e}=\nabla f\left(
\boldsymbol{a}\right) \cdot e
\end{equation*}は成り立つとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x,y\)のどちらについても偏微分可能ではない一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)に関して方向微分可能です。つまり、点\(\left( 0,0\right) \)における勾配ベクトル\(\nabla f\left( 0,0\right) \)が存在しないため、これと方向ベクトル\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)の内積をとることができません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだときの方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めます。方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)を任意に選んだときの方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left(e_{1},e_{2},e_{3}\right) }\)を求めてください。
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x,y\)のどちらについても偏微分可能である一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)に関して方向微分可能ではないことを示してください。
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(\left(0,0\right) \)において変数\(x,y\)のどちらについても偏微分可能ではない一方で、点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)に関して方向微分可能であることを示してください。
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