多変数の定数関数の方向微分

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は任意の方向\(e\)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }=0
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であることから、\(f\)の定義より、点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点\(\left(x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =1\)です。したがって、定数関数の方向微分より、方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =0
\end{equation*}となります。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 0,0\right) &=&\left. \frac{df\left( 0+he_{1},0+he_{2}\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\quad \because
\text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{df\left( he_{1},he_{2}\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{f\left( \Delta he_{1},\Delta
he_{1}\right) -f\left( 0,0\right) }{\Delta h} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\left( \frac{1-0}{\Delta h}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{\Delta h}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能ではありません。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上において任意の方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(X\)上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。本文中で示した命題より、この場合、\(f\)は\(X\)上の任意の点において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。逆の議論も成り立つでしょうか。つまり、開集合\(X\)上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上の任意の点において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める場合、\(f\)は\(X\)上で定数関数であると結論付けることができるでしょうか。議論してください。