多変数の定数関数の方向微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)は点\(a\)において任意の方向に方向微分可能です。方向微分係数は以下の通りです。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は任意の方向\(e\)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、先の命題より、\(f\)は任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }=0
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であることから、\(f\)の定義より、点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点\(\left(x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =1\)です。したがって、定数関数の方向微分より、方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =0
\end{equation*}となります。点\(\left( 0,0\right) \)については、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( 0,0\right) &=&\left. \frac{df\left( 0+he_{1},0+he_{2}\right) }{dh}\right\vert _{h=0}\quad \because
\text{方向微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{df\left( he_{1},he_{2}\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\frac{f\left( \Delta he_{1},\Delta
he_{1}\right) -f\left( 0,0\right) }{\Delta h} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\left( \frac{1-0}{\Delta h}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{\Delta h}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能ではありません。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)上において任意の方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。
多変数の定数関数の最大増加率と最大減少率
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。
点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級であるため、方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が同一方向であれば、そのような\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最大化されるとともに、その最大値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert
\end{equation*}となります。ただ、定数関数\(f\)の勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)はゼロベクトルであり、任意のベクトルはゼロベクトルと同一方向であるため、任意の方向\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最大化されます。さらに、その最大値は、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) &=&\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert \\
&=&\left\Vert 0\right\Vert \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。定数関数の変数をどちらの方向へ動かしても関数の値は変化しないため、方向微分係数を最大化する方向は任意の方向であり、最大化された方向微分係数は\(0\)であるということです。
点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級であるため、方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が反対方向であれば、そのような\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最小化されるとともに、その最小値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =-\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert
\end{equation*}となります。ただ、定数関数\(f\)の勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)はゼロベクトルであり、任意のベクトルはゼロベクトルと反対方向であるため、任意の方向\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最小化されます。さらに、その最小値は、\begin{eqnarray*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) &=&-\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert \\
&=&-\left\Vert 0\right\Vert \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。定数関数の変数をどちらの方向へ動かしても関数の値は変化しないため、方向微分係数を最小化する方向は任意の方向であり、最小化された方向微分係数は\(0\)であるということです。
演習問題
\end{equation*}が成り立つということです。本文中で示した命題より、この場合、\(f\)は\(X\)上の任意の点において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。逆の議論も成り立つでしょうか。つまり、開集合\(X\)上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上の任意の点において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める場合、\(f\)は\(X\)上で定数関数であると結論付けることができるでしょうか。議論してください。
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