教材一覧
教材一覧
教材検索

多変数関数の微分

多変数の座標関数の方向微分

目次

Twitter
Mailで保存

多変数の座標関数の方向微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}であるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)は点\(a\)において任意の方向に方向微分可能です。方向微分係数は以下の通りです。

命題(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に方向微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ e=e_{k}\right) \\
0 & \left( if\ e\not=e_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような方向ベクトルである。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、変数\(x_{l}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(x_{l}\)に関して方向微分可能であり、方向導関数\(f_{e}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ e=e_{k}\right) \\
0 & \left( if\ e\not=e_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような方向ベクトルです。
例(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため、\(f\)は任意の方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) \not=\left( 1,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため、\(f\)は任意の方向\(\left(e_{1},e_{2},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) }^{\prime }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) =\left( 0,0,1\right) \right)
\\
0 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \not=\left( 0,0,1\right)
\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は任意の方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial
\left( e_{1},e_{2}\right) }x\quad \because \text{合成関数の方向微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial
\left( e_{1},e_{2}\right) }x \\
&=&\frac{1}{x}\cdot \frac{\partial }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }x
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、座標関数の方向微分より、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }x=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) \not=\left( 1,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x} & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( e_{1},e_{2}\right) \not=\left( 1,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

多変数の座標関数の最大増加率と最大減少率

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}であるということです。

点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級であるため、方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が同一方向であれば、そのような\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最大化されるとともに、その最大値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert
\end{equation*}となります。座標関数\(f\left( x\right) =x_{k}\)の勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =e_{k}
\end{equation*}です。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他のすべてが\(0\)のベクトルです。\(e_{k}\)と同一方向の方向ベクトルは\(e_{k}\)自身であるため、方向ベクトル\(e_{k}\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left(a\right) \)は最大化されるとともに、その最大値は、\begin{eqnarray*}f_{e_{k}}^{\prime }\left( a\right) &=&\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert \\
&=&\left\Vert e_{k}\right\Vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、座標関数\(f\left( x\right) =x_{k}\)の値は変数\(x\)を方向\(e_{k}\)へ移動することにより最も大きく増加するとともに、その場合の増加率は\(1\)であるということです。

点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級であるため、方向ベクトル\(e\)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)が反対方向であれば、そのような\(e\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最小化されるとともに、その最小値は、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) =-\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert
\end{equation*}となります。座標関数\(f\left( x\right) =x_{k}\)の勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =e_{k}
\end{equation*}です。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他のすべてが\(0\)のベクトルです。\(e_{k}\)と反対方向の方向ベクトルは\(-e_{k}\)であるため、方向ベクトル\(-e_{k}\)のもとで方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は最小化されるとともに、その最小値は、\begin{eqnarray*}f_{-e_{k}}^{\prime }\left( a\right) &=&-\left\Vert \nabla f\left( a\right)
\right\Vert \\
&=&-\left\Vert e_{k}\right\Vert \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。つまり、座標関数\(f\left( x\right) =x_{k}\)の値は変数\(x\)を方向\(-e_{k}\)へ移動することにより最も大きく減少するとともに、その場合の減少率は\(-1\)であるということです。

 

演習問題

問題(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が方向微分可能な方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を特定するとともに、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{y}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が方向微分可能な方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を特定するとともに、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y^{p}\quad \left( p\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が方向微分可能な方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を特定するとともに、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(多変数の座標関数の方向微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が方向微分可能な方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)を特定するとともに、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\)を求めてください。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識