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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

方向微分

目次

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線分上での平均変化率

復習になりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)を定義域上の点\(a\in X\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これは変数\(x\)を点\(a\in X\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。

例(平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは下図のように、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します。

図:軸に平行な移動
図:軸に平行な移動

ただ、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)を点\(a\in X\)から動かす際には、特定の変数\(x_{k}\)の軸に平行な方向へ動かさなければならない理由はなく、\(x\)を自由な方向へ動かすこともできるはずです。そこで、変数\(x\)を動かす方向を指定するベクトル\(e=\left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を導入します。すると、変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)へ動かした後の点は、\(h\not=0\)を満たす実数\(h\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
a+he\in
\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表すことができます。これは点\(a\)と点\(a+he\)を通過する直線上にある点です。また、変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)まで動かしたときの移動距離は、\begin{equation*}
\left\Vert \left( a+he\right) -a\right\Vert =\left\Vert he\right\Vert
=\left\vert h\right\vert \left\Vert e\right\Vert
\end{equation*}ですが、これは点\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分の長さに相当します。特に、\(e\)が単位ベクトルである場合には、つまり、\begin{equation*}
\left\Vert e\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}=1
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\left\Vert \left( a+he\right) -a\right\Vert =\left\vert h\right\vert
\end{equation*}となるため、\(\left\vert h\right\vert \)は\(x\)の移動距離に等しくなります。以上を踏まえた上で、スカラー場\(f\)の変数\(x\)を自由な方向へ動かす場合の平均変化率を以下のように定義します。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、方向ベクトル\(e=\left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)と\(h\not=0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、スカラー場\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)まで移動させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+he\right) \)まで変化します。このとき、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(a\)と\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率(average rate of change of \(f\) over the line segment joining \(a\) to \(a+he\))と呼びます。

特に、方向ベクトル\(e\)が単位ベクトルである場合には、すなわち\(\left\Vert e\right\Vert =1\)が成り立つ場合には、\(\left\vert h\right\vert \)は変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)まで移動させた場合の移動距離に等しくなるため、\(a\)と\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率は、変数\(x\)を点\(a\in X\)から\(e\)方向に\(\left\vert k\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。

例(線分上での平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(h\not=0\)を選ぶと、\(a\)と\(a+he\)を結ぶ線分に関する\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは下図のように、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)へ距離\(\left\vert h\right\vert \left\Vert e\right\Vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の変化量と\(h\)の比に相当します。

図:線分に沿った移動
図:線分に沿った移動

特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)が単位ベクトルである場合、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)へ距離\(\left\vert h\right\vert \)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します。特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけ変化させたときの平均変化率です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}=\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけ変化させたときの平均変化率です。

以上の例が示唆するように、変数を線分上を移動させた場合の平均変化率は、変数を特定の変数の軸に平行に移動した場合の平均変化率の一般化です。具体的には、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)を定義域上の点\(a\in X\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、\(e_{k}\)は\(k\)番目の成分のみが\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元の単位ベクトルであるため、これは点\(a\)と点\(a+he_{k}\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率とみなすことができます。

例(線分上での平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(h\not=0\)を選ぶと、\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left( a+e_{1}h\right) \left( b+e_{2}h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ae_{2}h+be_{1}h+e_{1}e_{2}h^{2}}{h} \\
&=&ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h
\end{equation*}となります。特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。さらに、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a+b+h
\end{equation*}となります。
例(線分上での平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(h\not=0\)を選ぶと、\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left[ \left( a+e_{1}h\right) ^{2}+\left( b+e_{2}h\right) ^{3}\right] -\left( a^{2}+b^{3}\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{2ae_{1}h+e_{1}^{2}h^{2}+3b^{2}e_{2}h+3be_{2}^{2}h^{2}+e_{2}^{3}h^{3}}{h} \\
&=&2ae_{1}+e_{1}^{2}h+3b^{2}e_{2}+3be_{2}^{2}h+e_{2}^{3}h^{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2ae_{1}+e_{1}^{2}h+3b^{2}e_{2}+3be_{2}^{2}h+e_{2}^{3}h^{2}
\end{equation*}となります。特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2a+h
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=3b^{2}+3bh+h^{2}
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。さらに、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2a+h+3b^{2}+3bh+h^{2}
\end{equation*}となります。
例(線分上での平均変化率)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。方向ベクトルとしてゼロベクトル\(0=\left( 0,\cdots ,0\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を採用した場合、任意の\(h\not=0\)について、点\(a\)と点\(a+h0\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h0\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left( a\right)
-f\left( a\right) }{h}=0
\end{equation*}となります。

 

方向微分係数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)と方向ベクトル\(e=\left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)および\(h\not=0\)が与えられたとき、\(a\)と\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(有限な実数へ収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数(directional differential coefficient of \(f\) at \(a\) with respect to \(e\))と呼び、\begin{equation*}
f_{e}\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e},\quad \frac{\partial }{\partial e}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f_{e}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right)
-f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして方向微分係数\(f_{e}\left( a\right) \)は定義されるということです。方向微分係数\(f_{e}\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能(directional differentiable at \(a\) with respect to \(e\))と言います。

例(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(h\not=0\)を選んだとき、\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&ae_{2}+be_{1}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は\(e\)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( a,b\right) =ae_{2}+be_{1}
\end{equation*}となります。特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 1,0\right) }\left( a,b\right) =f_{x}\left( a,b\right) =b
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( a,b\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 0,1\right) }\left( a,b\right) =f_{y}\left( a,b\right) =a
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 1,1\right) }\left( a,b\right) =a+b
\end{equation*}となります。
例(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と\(h\not=0\)を選んだとき、\(\left( a,b\right) \)と\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=2ae_{1}+e_{1}^{2}h+3b^{2}e_{2}+3be_{2}^{2}h+e_{2}^{3}h^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
2ae_{1}+e_{1}^{2}h+3b^{2}e_{2}+3be_{2}^{2}h+e_{2}^{3}h^{2}\right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&2ae_{1}+3b^{2}e_{2}
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は\(e\)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( a,b\right) =2ae_{1}+3b^{2}e_{2}
\end{equation*}となります。特に、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 1,0\right) }\left( a,b\right) =f_{x}\left( a,b\right) =2a
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( a,b\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 0,1\right) }\left( a,b\right) =f_{y}\left( a,b\right) =3b^{2}
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( a,b\right) \)における変数\(y\)に関する偏微分係数です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{\left( 1,1\right) }\left( a,b\right) =2a+3b^{2}
\end{equation*}となります。

以上の例が示唆するように、方向微分係数は偏微分係数の一般化です。具体的には、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、\(e_{k}\)は\(k\)番目の成分のみが\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元の単位ベクトルであるため、これはスカラー場\(f\)の点\(a\)における\(e_{k}\)方向の方向微分係数とみなすことができます。

例(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。先に求めたように、方向ベクトルとしてゼロベクトル\(0=\left( 0,\cdots ,0\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)を採用した場合、任意の\(h\not=0\)について、点\(a\)と点\(a+h0\)を結ぶ線分上での\(f\)の平均変化率は、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h0\right) -f\left( a\right) }{h}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h0\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりこれは有限な実数であるため、\(f\)は\(0\)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}
f_{0}\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。

 

方向微分可能な点の候補に関する留意点

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における方向微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における\(e\)方向への方向微分係数は以下の極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されますが、関数の極限の定義より、上の極限が存在するか否かを検討する際には、\(h\not=0\)を満たす十分小さい任意の実数\(h\)について、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義されている必要があります。\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束することとは、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)に限りなく近づいた場合においても平均変化率が必ず特定の実数へ限りなく近づくことを意味しており、その検証を行うためには\(0\)に十分近い任意の\(h\)について平均変化率が定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に十分近い\(h\)について、点\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分が\(f\)の定義域に含まれている必要があるということです。スカラー場\(f\)が定義域の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に十分近い任意の\(h\)について\(f\left( a+he\right) \)が定義されているため、平均変化率の定義より、この場合、\(h\not=0\)を満たす十分小さい任意の実数\(h\)において平均変化率が定義されていることが保証されるため問題は発生しません。

では、点\(a\)がスカラー場\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合にはどのような問題が起こるでしょうか。例えば、有界な閉区間の直積上に定義された2変数\(\left( x,y\right) \)のスカラー場\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)における方向\(\left( 1,1\right) \)に関する平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( 0+h\cdot 1,0+h\cdot 1\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( h,h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の平均変化率の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束するかどうかを調べることができません。言い換えると、\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において\(\left( 1,1\right) \)方向に方向微分可能であるかどうかを検討できないということです。

こうした問題を回避する場合に、多くの場合、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるものとして話を進めます。\(X\)が開集合である場合、その任意の点\(a\in X\)は\(X\)の内点であるため、\(X\)の部分集合であるような点\(a\)の近傍が存在するため、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されるからです。

 

微分係数としての方向微分係数

繰り返しになりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)と方向ベクトル\(e=\left( e_{1},\cdots ,e_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)および\(h\not=0\)が与えられたとき、\(f\)の\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数は、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されます。ここで、それぞれの\(h\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
g\left( h\right) =a+he
\end{equation*}を定める曲線\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を定義します。つまり、\begin{eqnarray*}
g_{1}\left( h\right) &=&a_{1}+he_{1} \\
g_{2}\left( h\right) &=&a_{2}+he_{2} \\
&&\vdots \\
g_{n}\left( h\right) &=&a_{n}+he_{n}
\end{eqnarray*}です。その上で、合成写像\(f\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をつくると、これはそれぞれの\(h\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}
\left( f\circ g\right) \left( h\right) =f\left( g\left( h\right) \right)
=f\left( a+he\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。詳細は場を改めて解説しますが、一定の条件のもと(\(f\)が全微分可能)でこの関数\(f\circ g\)は微分可能になるため、その場合、\(f\circ g\)の点\(0\)における微分係数をとると、\begin{eqnarray*}
\left. \frac{d}{dh}\left( f\circ g\right) \left( h\right) \right\vert _{h=0}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( f\circ g\right) \left( h\right) -\left(
f\circ g\right) \left( 0\right) }{h-0}\quad \because \text{微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right) \quad \because \text{方向微分係数の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right) =\left. \frac{d}{dh}\left(
f\circ g\right) \left( h\right) \right\vert _{h=0}
\end{equation*}を得ます。\(\left( 1\right) \)よりこれは、\begin{equation*}
\frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right) =\left. \frac{d}{dh}f\left(
a+he\right) \right\vert _{h=0}
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、スカラー場\(f\)において変数\(x\)に\(a+he\)を代入し、\(f\)をあたかも変数\(h\)に関する1変数関数とみなした上で点\(0\)における微分係数をとれば(上の式の右辺)、\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数(上の式の左辺)が得られるということです。つまり、スカラー場の方向微分係数を求めるプロセスは1変数関数の微分係数を求めるプロセスと実質的に等しいため、方向微分係数を求める際にその定義にさかのぼって考える必要はなく、1変数関数の微分に関する諸々の微分公式を利用できるということです。

例(微分係数としての方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選ぶと、\(f\)の\(\left( a,b\right) \)における方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)の方向微分係数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }f\left( a,b\right)
&=&\left. \frac{d}{dh}f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) \right\vert _{h=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( \frac{1}{\left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1}\right) \right\vert _{h=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{-\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left( b+he_{2}\right)
^{2}+1\right] ^{\prime }}{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0}\quad \because \text{商の微分} \\
&=&\left. \frac{-\left[ 2\left( a+he_{1}\right) e_{1}+2\left(
b+he_{2}\right) e_{2}\right] }{\left[ \left( a+he_{1}\right) ^{2}+\left(
b+he_{2}\right) ^{2}+1\right] ^{2}}\right\vert _{h=0} \\
&=&\frac{-\left( 2ae_{1}+2be_{2}\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。

ただし、上で少し指摘したように、このような計算方法は一定の性質を満たすスカラー場\(f\)に対してのみ適用可能です。以下はこのような手法を利用できないスカラー場の例です。

例(微分係数としての方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。方向微分係数の本来の定義にもとづいて点\(\left( 0,0\right) \)における方向\(\left( 1,1\right) \)に関する方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}
f_{\left( 1,1\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0+h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{方向微分係数の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{h}\left( \frac{h^{2}}{h^{2}+h^{2}}-0\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{2h}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( 1,1\right) \)に方向微分可能ではありません。一方、先の手法にもとづいて方向微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}
f_{\left( 1,1\right) }\left( 0,0\right) &=&\left. \frac{df\left(
0+h,0+h\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\left. \frac{df\left( h,h\right) }{dh}\right\vert _{h=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\frac{h^{2}}{h^{2}+h^{2}}\right\vert _{h=0}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\frac{1}{2}\right\vert _{h=0} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( 1,1\right) \)に方向微分可能であるという結論になってしまいます。しかし、これは誤りです。詳細は後述しますが、方向微分係数を求める際にスカラー場を1変数とみなして微分をするという手法は、与えられたスカラー場が全微分可能である場合にのみ利用可能です。一方、この例で扱ったスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではないため、そもそも上のような手法の適用除外対象になってしまいます。

方向微分係数の一意性

繰り返しになりますが、スカラー場\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数\(f_{e}\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が一意的に定まるため、関数の極限として定義される方向微分係数もまた一意的です。

命題(方向微分係数の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)方向に方向微分可能であるとき、方向微分係数\(f_{e}\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は一意的に定まる。

 

演習問題

問題(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)の点\(\left( a,b\right) \)における\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数を求めてください。
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問題(方向微分係数)
上の問題を一般化します。スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\Vert x\right\Vert ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数を求めてください。
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問題(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、ある実数定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}で表されるものとします。このようなスカラー場\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)において任意の方向\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)に方向微分可能であることを証明してください。
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問題(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x\cos y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left( 2,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(\left( 2,1\right) \)方向に方向微分可能であることを示してください。
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問題(方向微分係数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\sin \left( yz\right) +\ln \left( x^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 1,1,\pi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\)において\(\left( 1,1,-1\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)方向に方向微分可能であることを示してください。
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次回は方向導関数について学びます。

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