多変数関数の線分上での平均変化率
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定めるということです。\(f\)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は中心が\(\boldsymbol{a}\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍です。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させたときの\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}_{k}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\frac{f\left( a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots
,a_{n}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(\boldsymbol{e}_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。平均変化率は、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(h\)だけ移動させた場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率に相当します。平均変化率を踏まえた上で偏微分と呼ばれる微分概念を定義しました。
\end{equation*}と表されます。この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(h\)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します（下図）。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\in X\)から動かす際には、特定の変数\(x_{k}\)の軸に沿ってまっすぐ動かさなければならない理由はなく、\(\boldsymbol{x}\)を好きな方向へまっすぐ動かすこともできるはずです。そこで、変数\(\boldsymbol{x}\)を動かす方向を指定する非ゼロベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(\boldsymbol{v}\)と同一方向の単位ベクトルを\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)と表記するのであれば、これは、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{v}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }
\end{equation*}と定まることに注意してください。単位ベクトルの定義より、そのノルムは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{e}\right\Vert =1
\end{equation*}です。方向を指定する手段として\(\boldsymbol{v}\)の代わりに\(\boldsymbol{e}\)を採用しても一般性は失われないため、以降では方向ベクトルとして単位ベクトルを採用します。方向ベクトルとして非単位ベクトル\(\boldsymbol{v}\)が与えられた場合には、それを単位ベクトル\(\boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{v}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert }\)に変換してから議論を行うということです。そうすることの利点については後述します。
変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から方向\(\boldsymbol{e}\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの正の実数\(h>0\)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}=\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。一方、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から方向\(\boldsymbol{e}\)とは逆の方向\(-\boldsymbol{e}\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの負の実数\(h<0\)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}=\left( a_{1}+he_{1},\cdots
,a_{n}+he_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。どちらの場合でも、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)までまっすぐ動かす場合の移動距離は点\(\boldsymbol{a}\)と点\(\boldsymbol{a}+h\)を結ぶ線分の長さと一致しますが、これは、非ゼロの実数\(h\not=0\)を用いて、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -\boldsymbol{a}\right\Vert &=&\left\Vert h\boldsymbol{e}\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \left\Vert \boldsymbol{e}\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \quad \because \left\Vert \boldsymbol{e}\right\Vert =1
\end{eqnarray*}となります。つまり、方向ベクトルとして単位ベクトルを採用する場合、変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)までまっすぐ動かす場合の\(\boldsymbol{x}\)の移動距離は\(\left\vert h\right\vert \)と一致するということです。方向ベクトルとして単位ベクトルを採用する利点は以上の通りです。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)が与えられた状況を想定します。さらに、方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)と十分小さい実数\(h\not=0\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(\boldsymbol{e}\)は単位ベクトルです。内点の定義より、十分小さい\(h\)を選べば、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)と点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)を結ぶ線分上において定義されていることが保証されます。変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)までまっすぐ動かす場合、それに応じて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値は\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)から\(f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) \)まで変化します。このとき、\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\frac{f\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}を、点\(\boldsymbol{a}\)と点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)を結ぶ線分上での\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率（average rate of change of \(f\left( \boldsymbol{x}\right) \) over the line segment joining \(\boldsymbol{a}\) to \(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)）と呼びます。\(h>0\)の場合、これは変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から方向\(\boldsymbol{e}\)へまっすぐに\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、これは変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)から方向\(-\boldsymbol{e}\)へまっすぐに\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均的な変化量に相当します。
\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) &\in &X
\end{eqnarray*}を結ぶ線分上での\(f\left(x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。\(h>0\)の場合、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐに\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、これは変数\(\left(x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(-\left( e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当します（下図）。
\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) &\in &X
\end{eqnarray*}を結ぶ線分上での\(f\left(x,y,z\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)は単位ベクトルです。\(h>0\)の場合、これは変数\(\left( x,y,z\right) \)を点\(\left( a,b,c\right) \)から方向\(\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)へまっすぐに\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、これは変数\(\left( x,y,z\right) \)を点\(\left( a,b,c\right) \)から方向\(-\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の平均的な変化量に相当します。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)と実数\(h\not=0\)を選ぶと、点\(\left( a,b\right) \)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left( a+e_{1}h\right) \left( b+e_{2}h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ae_{2}h+be_{1}h+e_{1}e_{2}h^{2}}{h} \\
&=&ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。以上を踏まえると、方向ベクトルが\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、方向ベクトルが\(\left(e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、方向ベクトルとして\(\left(1,1\right) \)が与えられたとき、これと同じ向きを持つ単位ベクトルは、\begin{equation*}\left( e_{1},e_{2}\right) =\frac{\left( 1,1\right) }{\left\Vert \left(
1,1\right) \right\Vert }=\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{equation*}であるため、この方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)のもとでの平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+\frac{\sqrt{2}}{2}h,b+\frac{\sqrt{2}}{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{1}{2}h
\end{equation*}となります。
\end{equation*}と表現します。つまり、地点\(\left( x,y\right) \)における標高が\(f\left( x,y\right) \)であるということです。方角を任意に選んだ上で、それを方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)として表現します。ただし、これは単位ベクトルです。\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h>0\)メートルだけ移動すると、標高は、\begin{equation*}f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right)
\end{equation*}だけ変化するため、平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}となります。これは\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h\)メートル移動した場合に\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。\(h<0\)の場合には\(-\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向への移動を表します。
方向微分係数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)と方向ベクトル\(\boldsymbol{e}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。ただし、\(\boldsymbol{e}\)は単位ベクトルです。点\(\boldsymbol{a}\)と点\(\boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\)を結ぶ線分上での\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\frac{f\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left(
\boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する1変数関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その極限を\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向の方向微分係数（directional differential coefficient of \(f\)at \(\boldsymbol{a}\) with respect to \(\boldsymbol{e}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{\boldsymbol{e}}^{\prime }\left( \boldsymbol{a}\right) ,\quad \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}},\quad
\frac{\partial }{\partial \boldsymbol{e}}f\left( \boldsymbol{a}\right)
,\quad \left. \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial
\boldsymbol{e}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)は定義されるということです。方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)が存在する場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能（directional differentiable at \(\boldsymbol{a}\) with respect to \(\boldsymbol{e}\)）であると言います。
a,b\right) }{h}
\end{equation*}です。
e_{1},e_{2},e_{3}\right) }=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+he_{1},b+he_{2},c+he_{3}\right) -f\left( a,b,c\right) }{h}
\end{equation*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)の場合の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&ae_{2}+be_{1}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=ae_{2}+be_{1}
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、例えば、点\(\left( 1,1\right) \)における\(\left(1,0\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( 1,1\right) }{\partial \left( 1,0\right) }=1\cdot
0+1\cdot 1=1
\end{equation*}であり、点\(\left( 1,1\right) \)における\(\left( 0,1\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( 1,1\right) }{\partial \left( 0,1\right) }=1\cdot
1+1\cdot 0=1
\end{equation*}であり、点\(\left( 1,1\right) \)における\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( 1,1\right) }{\partial \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }=1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
\end{equation*}です。
\end{equation*}と表現します。つまり、地点\(\left( x,y\right) \)における標高が\(f\left( x,y\right) \)であるということです。方角を任意に選んだ上で、それを方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)として表します。ただし、これは単位ベクトルです。\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h>0\)メートルだけ移動した場合の標高の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h\)メートルだけ移動したときに\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。移動距離\(h\)を短くすれば、その短い移動距離の中での標高の平均的な変化が得られます。\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ点\(\left( a,b\right) \)における\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h}
\end{equation*}が得られますが、これは地点\(\left( a,b\right) \)において地面が\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向にどれくらい傾いているかを表す指標です。
方向微分な点の候補に関する留意点
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(\boldsymbol{a}\in X\)における方向微分可能性を定義する際に、点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。
関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向への方向微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\boldsymbol{e}\right) -f\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした場合に、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が必ず1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があります。つまり、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。点\(\boldsymbol{a}\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)および周辺の点において定義されていることになるため、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検討できます。
関数は方向微分可能であるとは限らない
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能であるか検討できず、したがって\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能ではないということです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)においていかなる方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)についても方向微分可能ではありません。
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されている一方で、点\(\boldsymbol{a}\)が\(f\)の定義域の内点ではない場合には、点\(\boldsymbol{a}\)における平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において定義されているとは言えません。したがって、この場合には\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能であるか検討できないため、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能ではありません。
f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の端点\(\left(0,0\right) \)は定義域の内点ではありません。実際、\(x<0\)または\(y<0\)を満たす任意の\(\left( x,y\right) \)において\(f\)は定義されていないため、点\(\left( 0,0\right) \)における方向\(\left( 1,0\right) \)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\)の挙動を調べることさえできません。したがって、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left( 1,0\right) \)に関して方向微分可能ではありません。
関数\(f\)が点\(\boldsymbol{a}\)において定義されており、なおかつ点\(\boldsymbol{a}\)が\(f\)の定義域の内点である場合においても、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において方向微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation}を定めるものとします。その上で、\begin{equation}
a=b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目します。この点\(\left( a,b\right) \)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点であるため、\(f\)が点\(\left( a,b\right) \)において方向\(\left( 1,0\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f\)の点\(\left(a,b\right) \)における方向\(\left(1,0\right) \)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
\left( a+h\right) -b\right\vert -\left\vert a-b\right\vert }{h}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)の場合に有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において方向\(\left(1,0\right) \)に関して方向微分可能でないことが明らかになりました。
方向微分係数の一意性
多変数関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における\(\boldsymbol{e}\)方向への方向微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\)は、平均変化率\(\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right) -f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する1変数関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される方向微分係数もまた1つの実数として定まります。
方向導関数
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(\boldsymbol{a}\in X^{i}\)において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)における方向微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( \boldsymbol{a}+h\boldsymbol{e}\right)
-f\left( \boldsymbol{a}\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように方向微分係数は常に1つの実数として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in Y\)に対して、そこでの\(\boldsymbol{e}\)方向の偏微分係数\(\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}}\in \mathbb{R} \)を値として定める多変数関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}}:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の\(\boldsymbol{e}\)方向に関する方向導関数（directional derivative of \(f\) with respect to \(\boldsymbol{e}\)）と呼び、\begin{equation*}f_{\boldsymbol{e}}^{\prime }\left( \boldsymbol{x}\right) ,\quad \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial \boldsymbol{e}},\quad
\frac{\partial }{\partial \boldsymbol{e}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}などで表記します。
関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能ではない点が存在する場合、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}}\)は、もとの関数\(f\)が\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と\(\boldsymbol{e}\)方向の方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{e}}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能（directional differentiable with respect to \(\boldsymbol{e}\) on \(X\)）であるとか\(\boldsymbol{e}\)方向に方向微分可能（directional differentiable with respect to \(\boldsymbol{e}\)）であるなどと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点はいずれも\(\mathbb{R} ^{2}\)の内点です。先に示したように、点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、方向微分係数は、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=ae_{2}+be_{1}
\end{equation*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため\(f\)は方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)に関して方向微分可能であり、方向微分関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=xe_{2}+ye_{1}
\end{equation*}を定めます。以上を踏まえると、例えば、\(\left( 1,0\right) \)方向の方向微分関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( 1,0\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 1,0\right) }=y
\end{equation*}を定め、\(\left( 0,1\right) \)方向の方向微分関数\(\frac{\partial f}{\partial\left( 0,1\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( 0,1\right) }=x
\end{equation*}を定め、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)方向の方向微分関数\(\frac{\partial f}{\partial \left(e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に明らかにしたように、この関数は、\begin{equation*}
a=b
\end{equation*}を満たす任意の点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において\(\left( 1,0\right) \)方向に方向微分可能ではありません。したがって、\(f\)の\(\left( 1,0\right) \)方向に関する方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial \left( 1,0\right) }\)は以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a=b\right\}
\end{equation*}上に定義されません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial\left( e_{1},e_{2}\right) }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial\left( e_{1},e_{2}\right) }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(e\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で\(e\)方向に方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial e}\)を求めてください。
\end{equation*}で表されるものとします。方向ベクトル\(e\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で\(e\)方向に方向微分可能であることを示すとともに、方向導関数\(\frac{\partial f}{\partial e}\)を求めてください。
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