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多変数関数の微分

多変数関数の方向微分の定義

目次

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多変数関数の線分上での平均変化率

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。\(f\)の定義域の点\(a=\left(a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

多変数関数\(f\)の変数\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)を点\(a\)から特定の変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\not=0\)だけ変化させたときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{k}\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}+h,a_{k+1},\cdots ,a_{n}\right) -f\left( a\right)
}{h}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルです。上の平均変化率は、変数\(x\)を点\(a\)から\(x_{k}\)軸に平行に\(h\)だけ移動させた場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率に相当します。以上の平均変化率を踏まえた上で偏微分と呼ばれる微分概念を定義しました。

例(特定の変数に関する平均変化率)
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ動かす場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率は、\(h\not=0\)を用いて、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}と表されます。この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から\(x\)軸に平行に\(h\)だけ移動させたときの\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率に相当します(下図)。

図:軸に平行な移動
図:軸に平行な移動

ただ、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)を点\(a\in X\)から動かす際には、特定の変数\(x_{k}\)の軸に沿ってまっすぐ動かさなければならない理由はなく、\(x\)を好きな方向へまっすぐ動かすこともできるはずです。そこで、変数\(x\)を動かす方向を指定する非ゼロベクトル\begin{equation*}v=\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。\(v\)と同じ向きの単位ベクトルを\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)で表記するのであれば、これは、\begin{equation*}e=\frac{v}{\left\Vert v\right\Vert }=\frac{\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right)
}{\sqrt{v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}
\end{equation*}として定まることに注意してください。単位ベクトルの定義より、\begin{equation*}
\left\Vert e\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}}=1
\end{equation*}が成り立ちます。方向を指定する手段として\(v\)の代わりに\(e\)を採用しても一般性は失われないため、以降では方向ベクトルとして単位ベクトルを採用します。方向ベクトルとして非単位ベクトル\(v\)が与えられた場合には、それを単位ベクトル\(e\)に変換してから議論を行うということです。

変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの正の実数\(h>0\)を用いて、\begin{equation*}a+he=\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表されます。一方、変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)とは逆の方向\(-e\)へまっすぐ動かした後の点は、何らかの負の実数\(h<0\)を用いて上のように表されます。どちらの場合でも、変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合の移動距離は点\(a\)と点\(a+h\)を結ぶ線分の長さと一致しますが、これは、非ゼロの実数\(h\not=0\)を用いて、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( a+he\right) -a\right\Vert &=&\left\Vert he\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \left\Vert e\right\Vert \\
&=&\left\vert h\right\vert \quad \because \left\Vert e\right\Vert =1
\end{eqnarray*}となります。つまり、方向ベクトルとして単位ベクトルを採用する場合、変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合の\(x\)の移動距離は\(\left\vert h\right\vert \)と一致するということです。方向ベクトルとして単位ベクトルを採用すると以上のようなメリットがあります。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)と十分小さい実数\(h\not=0\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(e\)は単位ベクトルです。変数\(x\)を点\(a\)から点\(a+he\)までまっすぐ動かす場合、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+he\right) \)まで変化します。このとき、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\left(x\right) \)の平均変化率(average rate of change of \(f\left( x\right) \) over the line segment joining \(a\) to \(a+he\))と呼びます。\(h>0\)の場合、これは変数\(x\)を点\(a\)から方向\(e\)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、これは変数\(x\)を点\(a\)から方向\(-e\)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かした動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均的な変化量に相当します。

例(線分上での平均変化率)
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(\left( a,b\right) \)と点\(\left( a+he_{1},a+he_{2}\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left(x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。\(h>0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当し、\(h<0\)の場合、この平均変化率は、変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)から方向\(-\left( e_{1},e_{2}\right) \)へまっすぐ\(\left\vert h\right\vert \)だけ動かす場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均的な変化量に相当します(下図)。

図:線分に沿った移動
図:線分に沿った移動
例(線分上での平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(\left(e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)と実数\(h\not=0\)を選ぶと、点\(\left( a,b\right) \)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left( a+e_{1}h\right) \left( b+e_{2}h\right) -ab}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{ae_{2}h+be_{1}h+e_{1}e_{2}h^{2}}{h} \\
&=&ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h
\end{equation*}となります。ただし、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)は単位ベクトルです。したがって、例えば、\(\left( e_{1},e_{2}\right)=\left( 1,0\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}=b
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(x\)に関してのみ\(h\)だけを動かした場合の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a,b+h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=a
\end{equation*}となりますが、これは変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left(a,b\right) \)から変数\(y\)に関してのみ\(h\)だけを動かした時の\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率です。また、方向ベクトルとして\(v=\left(1,1\right) \)が与えられたとき、これと同じ向きを持つ単位ベクトルは、\begin{equation*}\left( e_{1},e_{2}\right) =\frac{\left( 1,1\right) }{\left\Vert \left(
1,1\right) \right\Vert }=\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{equation*}であるため、この方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)のもとでの平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+\frac{\sqrt{2}}{2}h,b+\frac{\sqrt{2}}{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h}=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{1}{2}h
\end{equation*}となります。

例(線分上での平均変化率)
あなたは今、登山に来ています。山中における位置を2変数関数\(f\left( x,y\right) \)を用いて\(\left(x,y,f\left( x,y\right) \right) \)と表現します。つまり、地点\(\left(x,y\right) \)における標高が\(f\left(x,y\right) \)であるということです。方角を任意に選んだ上で、それを方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)として表します。ただし、これは単位ベクトルです。\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h>0\)メートルだけ移動すると、標高は、\begin{equation*}f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right)
\end{equation*}だけ変化します。平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h\)メートル移動したときに\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。\(h<0\)の場合には\(-\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向への移動を表します。

 

方向微分係数

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。ただし、\(e\)は単位ベクトルです。また、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。点\(a\)と点\(a+he\)を結ぶ線分上での\(f\left(x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{1}+he_{1},\cdots ,a_{n}+he_{n}\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その極限を\(f\)の\(a\)における\(e\)方向の方向微分係数(directional differential coefficient of \(f\) at \(a\) with respect to \(e\))と呼び、\begin{equation*}f_{e}^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial e},\quad \frac{\partial }{\partial e}f\left( a\right) ,\quad \left.
\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f_{e}^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left(a\right) \)は定義されるということです。方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能(directional differentiable at \(a\) with respect to \(e\))であると言います。

例(方向微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を結ぶ線分上での\(f\left( x,y\right) \)の平均変化率は、\begin{equation}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}=ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
ae_{2}+be_{1}+e_{1}e_{2}h\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&ae_{2}+be_{1}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、そこでの方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =ae_{2}+be_{1}
\end{equation*}となります。したがって、例えば、点\(\left(a,b\right) \)における\(\left( 1,0\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( 1,0\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =b
\end{equation*}であり、\(\left( 0,1\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( 0,1\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =a
\end{equation*}であり、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)方向の方向微分係数は、\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b
\end{equation*}です。

例(方向微分係数)
あなたは今、登山に来ています。山中における位置を2変数関数\(f\left( x,y\right) \)を用いて\(\left(x,y,f\left( x,y\right) \right) \)と表現します。つまり、地点\(\left(x,y\right) \)における標高が\(f\left(x,y\right) \)であるということです。方角を任意に選んだ上で、それを方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)として表します。ただし、これは単位ベクトルです。\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h>0\)メートルだけ移動した場合の標高の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left( a,b\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これは\(\left(e_{1},e_{2}\right) \)方向に\(h\)メートルだけ移動したときに\(1\)メートルあたり標高が平均してどれくらい変化したかを表す指標です。移動距離\(h\)を短くすれば、その短い移動距離の中での標高の平均的な変化が得られます。\(h\)を\(0\)に限りなく近づければ点\(\left( a,b\right) \)における\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向微分係数\begin{equation*}f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }^{\prime }\left( a,b\right)
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+e_{1}h,b+e_{2}h\right) -f\left(
a,b\right) }{h}
\end{equation*}が得られますが、これは地点\(\left( a,b\right) \)において地面が\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向にどれくらい傾いているかを表す指標です。

 

方向微分な点の候補に関する留意点

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における方向微分可能性を定義する際に、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

関数\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ず1つの有限な実数へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+he\right) \)が定義されていることになるため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+he\right)-f\left( a\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検討できます。

 

関数は方向微分可能であるとは限らない

関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(f\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率に\(\frac{f\left( a+he\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において方向微分可能であるか検討できず、したがって\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではありません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではないということです。

例(方向微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)においていかなる方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)についても方向微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(f\left( a+he\right) \)が定義されているとは言えません。すると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において平均変化率\(f\left(a+he\right) \)が定義されているとも言えず、この場合には\(f\)が点\(a\)において方向微分可能であるか検討できないため、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能ではありません。

例(方向微分可能ではない関数)
有界な閉区間の直積上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域上の点\(\left( 0,0\right) \)における方向\(\left( 1,0\right) \)に関する平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\frac{f\left( h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}
\end{equation*}をとります。\(f\left( h,0\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left(0,0\right) }{h}\)の挙動を調べられないため、\(h\rightarrow 0\)の場合に\(\frac{f\left( 0+h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するか検討できません。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において方向\(\left(1,0\right) \)に関して方向微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において方向微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(方向微分可能ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。その上で、\begin{equation}
a=b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目します。\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において定義されているだけでなく、その周辺の任意の点においても定義されています。点\(\left(a,b\right) \)における方向\(\left(1,0\right) \)に関する平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
\left( a+h\right) -b\right\vert -\left\vert a-b\right\vert }{h}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において方向\(\left(1,0\right) \)に関して方向微分可能でないことが明らかになりました。

 

方向微分係数の一意性

多変数関数\(f\)の点\(a\)における\(e\)方向への方向微分係数\(f_{e}^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f\left( a+he\right)-f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、関数が収束する場合にはそこでの極限が1つの実数として定まるため、関数の極限として定義される方向微分係数もまた1つの実数として定まります。

命題(方向微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において\(e\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)方向に方向微分可能であるとき、方向微分係数\(f_{e}^{\prime}\left( a\right) \in \mathbb{R} \)は1つの実数