\(2\)階の偏微分係数と偏導関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能である場合、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{k}}^{\prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{l}\ \left( l=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{k}}^{\prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right)
-f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏微分係数（\(x_{k}x_{l}\)second order partial differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) ,\quad f_{x_{k}x_{l}}^{\left(
2\right) }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad \frac{\partial ^{2}}{\partial
x_{l}\partial x_{k}}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{\partial
^{2}f\left( x\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}}\right\vert _{x=a},\quad
\left. \frac{\partial ^{2}}{\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right) -f_{x_{k}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして2階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。2階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime}\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{k}x_{l}\)に関して2階偏微分可能（\(x_{k}x_{l}\)second order partial differentiable at \(a\)）であると言います。
2つの変数\(x_{k},x_{l}\)が与えられたとき、点\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏微分係数は、最初に\(f\)を\(x_{k}\)に関して偏微分し、得られた\(f_{x_{k}}^{\prime }\)を\(x_{l}\)に関して偏微分して得られる\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right) -f_{x_{k}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}です。一方、点\(a\)における変数\(x_{l}x_{k}\)に関する2階偏微分係数は、最初に\(f\)を\(x_{l}\)に関して偏微分し、得られた\(f_{x_{l}}^{\prime }\)を\(x_{k}\)に関して偏微分して得られる\begin{equation*}f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{l}}^{\prime }\left( a+he_{k}\right) -f_{x_{l}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}です。両者は区別する必要があります。ただし、\(x_{k}\)と\(x_{l}\)が同一の変数である場合（\(k=l\)）には\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(a\right) \)と\(f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }\left( a\right) \)は一致します。
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}x_{l}\)に関して2階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの2階微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏導関数（\(x_{k}x_{l}\) second order partial derivative）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( x\right) ,\quad f_{x_{k}x_{l}}^{\left(
2\right) }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial ^{2}f\left( x\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad \frac{\partial ^{2}}{\partial
x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、それぞれの変数に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}\right) =4x^{3}-2xy^{2} \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}\right) =-2x^{2}y+4y^{3}
\end{eqnarray*}となります。これらもまた偏微分可能であるため、それぞれの変数の組み合わせに関する2階の偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
4x^{3}-2xy^{2}\right) =12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(
4x^{3}-2xy^{2}\right) =-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
-2x^{2}y+4y^{3}\right) =-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(
-2x^{2}y+4y^{3}\right) =-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、\begin{equation*}
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) =f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成立しています。
\(3\)階の偏微分係数と偏導関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{k}x_{l}\ \left(k,l=1,\cdots ,n\right) \)に関して2階偏微分可能である場合、2階偏導関数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{m}\ \left( m=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{m}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(
a+he_{m}\right) -f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関する3階偏微分係数（\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) ,\quad
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\left( 3\right) }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial
^{3}f\left( a\right) }{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left(
a\right) ,\quad \left. \frac{\partial ^{3}f\left( x\right) }{\partial
x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}\right\vert _{x=a},\quad \left. \frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( a\right)
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(
a+he_{m}\right) -f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして3階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime\prime \prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。3階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関して3階偏微分可能（\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial differentiable at \(a\)）であると言います。
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関して3階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの3階微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関する3階偏導関数（\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial derivative）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) ,\quad
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\left( 3\right) }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial
^{3}f\left( x\right) }{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left(
x\right)
\end{equation*}などで表記します。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、それぞれの変数の組み合わせに関する2階の偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}となります。\(f_{xx}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{xxx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 12x^{2}-2y^{2}\right) =24x \\
f_{xxy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 12x^{2}-2y^{2}\right) =-4y
\end{eqnarray*}となります。\(f_{xy}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{xyx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -4xy\right) =-4y \\
f_{xyy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -4xy\right) =-4x
\end{eqnarray*}となります。\(f_{yx}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{yxx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -4xy\right) =-4y \\
f_{yxy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -4xy\right) =-4x
\end{eqnarray*}となります。\(f_{yy}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{yyx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -2x^{2}+12y^{2}\right) =-2x \\
f_{yyy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -2x^{2}+12y^{2}\right) =24y
\end{eqnarray*}となります。
\(n\)階の偏微分係数と偏導関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n-1\right) }\)に関して\(n-1\)階微分可能である場合、\(n-1\)階偏導関数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において変数\(x_{\left( n\right) }\)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において変数\(x_{\left( n\right) }\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(
n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\left( a+he_{\left( n\right) }\right)
-f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right)
}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する\(n\)階偏微分係数（\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\) \(n\) th order partial differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( a\right) ,\quad \frac{\partial ^{n}f\left( a\right) }{\partial
x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }},\quad \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left(
1\right) }}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{\partial ^{n}f\left(
x\right) }{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }}\right\vert _{x=a},\quad \left. \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left(
n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }}f\left( x\right) \right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{\left( 1\right) },\cdots
,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\left( a+he_{\left( n\right)
}\right) -f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left(
n-1\right) }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして\(n\)階偏微分係数\(f_{x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階偏微分係数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left(n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関して\(n\)階偏微分可能（\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\) \(n\) th order partial differentiable at \(a\)）であると言います。
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して\(n\)階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(n\)階微分係数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right)}}^{\left( n\right) }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する\(n\)階偏導関数（\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\) \(n\) th order partial derivative）と呼び、\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( x\right) ,\quad \frac{\partial ^{n}f\left( x\right) }{\partial
x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }},\quad \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left(
1\right) }}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
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