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DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

高階の偏微分

目次

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\(2\)階の偏微分係数と偏導関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能である場合、偏導関数\(f_{x_{k}}^{\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{k}}^{\prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{l}\ \left( l=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{k}}^{\prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right)
-f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏微分係数(\(x_{k}x_{l}\)second order partial differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) ,\quad f_{x_{k}x_{l}}^{\left(
2\right) }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial ^{2}f\left( a\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad \frac{\partial ^{2}}{\partial
x_{l}\partial x_{k}}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{\partial
^{2}f\left( x\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}}\right\vert _{x=a},\quad
\left. \frac{\partial ^{2}}{\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right) -f_{x_{k}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして2階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。2階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime}\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において変数\(x_{k}x_{l}\)に関して2階偏微分可能(\(x_{k}x_{l}\)second order partial differentiable at \(a\))であると言います。

2つの変数\(x_{k},x_{l}\)が与えられたとき、点\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏微分係数は、最初に\(f\)を\(x_{k}\)に関して偏微分し、得られた\(f_{x_{k}}^{\prime }\)を\(x_{l}\)に関して偏微分して得られる\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}}^{\prime }\left( a+he_{l}\right) -f_{x_{k}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}です。一方、点\(a\)における変数\(x_{l}x_{k}\)に関する2階偏微分係数は、最初に\(f\)を\(x_{l}\)に関して偏微分し、得られた\(f_{x_{l}}^{\prime }\)を\(x_{k}\)に関して偏微分して得られる\begin{equation*}f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{l}}^{\prime }\left( a+he_{k}\right) -f_{x_{l}}^{\prime }\left(
a\right) }{h}
\end{equation*}です。両者は区別する必要があります。ただし、\(x_{k}\)と\(x_{l}\)が同一の変数である場合(\(k=l\))には\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(a\right) \)と\(f_{x_{l}x_{k}}^{\prime \prime }\left( a\right) \)は一致します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}x_{l}\)に関して2階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの2階微分係数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}x_{l}\)に関する2階偏導関数(\(x_{k}x_{l}\) second order partial derivative)と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( x\right) ,\quad f_{x_{k}x_{l}}^{\left(
2\right) }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial ^{2}f\left( x\right) }{\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad \frac{\partial ^{2}}{\partial
x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

例(2階偏導関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偏微分可能であり、それぞれの変数に関する偏導関数は、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}\right) =4x^{3}-2xy^{2} \\
f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}\right) =-2x^{2}y+4y^{3}
\end{eqnarray*}となります。これらもまた偏微分可能であるため、それぞれの変数の組み合わせに関する2階の偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
4x^{3}-2xy^{2}\right) =12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(
4x^{3}-2xy^{2}\right) =-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial x}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial x}\left(
-2x^{2}y+4y^{3}\right) =-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial y}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(
-2x^{2}y+4y^{3}\right) =-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、\begin{equation*}
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) =f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right)
\end{equation*}という関係が成立しています。

 

\(3\)階の偏微分係数と偏導関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{k}x_{l}\ \left(k,l=1,\cdots ,n\right) \)に関して2階偏微分可能である場合、2階偏導関数\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime\prime }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{m}\ \left( m=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\)が点\(a\)において変数\(x_{m}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(
a+he_{m}\right) -f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の\(a\)における変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関する3階偏微分係数(\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( a\right) ,\quad
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\left( 3\right) }\left( a\right) ,\quad \frac{\partial
^{3}f\left( a\right) }{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left(
a\right) ,\quad \left. \frac{\partial ^{3}f\left( x\right) }{\partial
x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}\right\vert _{x=a},\quad \left. \frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left( x\right)
\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( a\right)
=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left(
a+he_{m}\right) -f_{x_{k}x_{l}}^{\prime \prime }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして3階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime\prime \prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。3階偏微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime\prime \prime }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関して3階偏微分可能(\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関して3階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの3階微分係数\(f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{k}x_{l}x_{m}\)に関する3階偏導関数(\(x_{k}x_{l}x_{m}\) third order partial derivative)と呼び、\begin{equation*}f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) ,\quad
f_{x_{k}x_{l}x_{m}}^{\left( 3\right) }\left( x\right) ,\quad \frac{\partial
^{3}f\left( x\right) }{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}},\quad
\frac{\partial ^{3}}{\partial x_{m}\partial x_{l}\partial x_{k}}f\left(
x\right)
\end{equation*}などで表記します。

例(3階偏導関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}-x^{2}y^{2}+y^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、それぞれの変数の組み合わせに関する2階の偏導関数は、\begin{eqnarray*}
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&12x^{2}-2y^{2} \\
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yx}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-4xy \\
f_{yy}^{\prime }\left( x,y\right) &=&-2x^{2}+12y^{2}
\end{eqnarray*}となります。\(f_{xx}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{xxx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 12x^{2}-2y^{2}\right) =24x \\
f_{xxy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 12x^{2}-2y^{2}\right) =-4y
\end{eqnarray*}となります。\(f_{xy}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{xyx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -4xy\right) =-4y \\
f_{xyy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{xy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -4xy\right) =-4x
\end{eqnarray*}となります。\(f_{yx}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{yxx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -4xy\right) =-4y \\
f_{yxy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yx}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -4xy\right) =-4x
\end{eqnarray*}となります。\(f_{yy}^{\prime \prime }\)は偏微分可能であるため、\begin{eqnarray*}f_{yyx}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -2x^{2}+12y^{2}\right) =-2x \\
f_{yyy}^{\prime \prime \prime }\left( x,y\right) &=&\frac{\partial
f_{yy}^{\prime \prime }\left( x,y\right) }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -2x^{2}+12y^{2}\right) =24y
\end{eqnarray*}となります。

 

\(n\)階の偏微分係数と偏導関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)とその周辺の任意の点において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n-1\right) }\)に関して\(n-1\)階微分可能である場合、\(n-1\)階偏導関数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)は点\(a\)とその周辺の任意の点において定義されていることになるため、さらに\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において変数\(x_{\left( n\right) }\)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\)が点\(a\)において変数\(x_{\left( n\right) }\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数は、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(
n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\left( a+he_{\left( n\right) }\right)
-f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right)
}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}となりますが、これを\(f\)の\(a\)における変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する\(n\)階偏微分係数(\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\) \(n\) th order partial differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( a\right) ,\quad \frac{\partial ^{n}f\left( a\right) }{\partial
x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }},\quad \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left(
1\right) }}f\left( a\right) ,\quad \left. \frac{\partial ^{n}f\left(
x\right) }{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }}\right\vert _{x=a},\quad \left. \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left(
n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }}f\left( x\right) \right\vert
_{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f_{x_{\left( 1\right) },\cdots
,x_{\left( n-1\right) }}^{\left( n-1\right) }\left( a+he_{\left( n\right)
}\right) -f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n-1\right) }}^{\left(
n-1\right) }\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして\(n\)階偏微分係数\(f_{x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }\left( a\right) \)は定義されるということです。\(n\)階偏微分係数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left(n\right) }\left( a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)に関して\(n\)階偏微分可能(\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\) \(n\) th order partial differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して\(n\)階偏微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの\(n\)階微分係数\(f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right)}}^{\left( n\right) }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の変数\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する\(n\)階偏導関数(\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\) \(n\) th order partial derivative)と呼び、\begin{equation*}f_{x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }}^{\left( n\right)
}\left( x\right) ,\quad \frac{\partial ^{n}f\left( x\right) }{\partial
x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left( 1\right) }},\quad \frac{\partial ^{n}}{\partial x_{\left( n\right) }\cdots \partial x_{\left(
1\right) }}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

 

演習問題

問題(高階偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
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問題(高階偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x\sin \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
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問題(高階偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{x+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
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問題(高階偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 3x\right) \cos \left( 2y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。偏導関数\(f_{x}^{\prime},f_{y}^{\prime }\)および2階の偏導関数\(f_{xx}^{\prime \prime },f_{xy}^{\prime \prime},f_{yx}^{\prime \prime },f_{yy}^{\prime \prime }\)を求めてください。
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偏微分
多変数関数の偏微分

多変数関数が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。

偏微分
勾配ベクトル(グラディエント)

多変数関数が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とするベクトルが存在します。これを勾配ベクトル(グラディエント)と呼びます。

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偏微分可能性と連続性

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ヘッセ行列
ヘッセ行列

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偏微分
多変数関数の連続微分可能性

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偏微分
偏微分の順序(クレローの定理)

開集合上に定義されたn階連続微分可能な多変数関数に関しては、n個の変数の順序によらず、n階偏導関数はすべて一致します。これをクレローの定理と呼びます。

偏微分
多変数関数の全微分と偏微分の関係

多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。

スカラー場の微分