多変数の初等関数の偏微分

多変数の多項式関数の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるということです。変数\(x_{l}\ \left( l=1,\cdots ,n\right) \)と定義域上の点\(\left(a_{l},a_{-l}\right) \in X\)をそれぞれ任意に選んだ上で1変数関数\begin{equation*}f\left( \cdot ,a_{-l}\right) :X_{l}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f\)の定義より、これはそれぞれの\(x_{l}\in X_{l}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{l},a_{-l}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{l}^{k_{l}}\cdots a_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(f\left( \cdot ,a_{-l}\right) \)は1変数の多項式関数であるため点\(a_{l}\)において微分可能であり、したがって\(f\)は点\(\left( a_{l},a_{-l}\right) \)において変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能であることが保証されます。

多変数の有理関数の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、2つの多項式関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるということです。変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)と定義域上の点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \in X\)をそれぞれ任意に選んだ上で1変数関数\begin{equation*}f\left( \cdot ,a_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f\)の定義より、これはそれぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{k},a_{-k}\right) =\frac{g\left( x_{k},a_{-k}\right) }{h\left(
x_{k},a_{-k}\right) }
\end{equation*}を定めます。\(g\left( x_{k},a_{-k}\right) \)と\(h\left( x_{k},a_{-k}\right) \)はともに1変数の多項式関数であるため\(f\left( \cdot ,a_{-k}\right) \)は1変数の有理関数です。したがって、\(f\left( \cdot,a_{-k}\right) \)は点\(a_{k}\)において微分可能であり、ゆえに\(f\)は点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されます。

初等関数からなる多変数関数の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多変数の定数関数・座標関数・多項式関数・有理関数または1変数の微分可能な関数（三角関数・指数関数・対数関数など）どうしに四則演算を適用することで得られる関数であるものとします。変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)と定義域上の点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \in X\)をそれぞれ任意に選んだ上で1変数関数\begin{equation*}f\left( \cdot ,a_{-k}\right) :X_{k}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f\)の定義より、これは1変数の微分可能な関数であるため点\(a_{k}\)において微分可能であり、ゆえに\(f\)は点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されます。