多変数関数と1変数関数の合成関数の偏微分
多変数関数と1変数関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)が\(g\)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right) =g\left( f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right)
\end{equation*}を値として定めます。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する2つの関数\(f,g\)が以下の条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、多変数関数\(f\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるということです。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
多変数関数\(f\)が先の点\(\boldsymbol{a}\)に対して定める値は実数\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)は1変数関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、関数\(g\)の点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) }{dx}=\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
以上の諸条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) }{dx}\cdot \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }\cdot \left. \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。
つまり、点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な多変数関数\(f\)と、点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)において微分可能な1変数関数\(g\)の合成関数であるような多変数関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数と、\(g\)の点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)における微分係数の積をとれば\(g\circ f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数が得られることを上の命題は保証しています。
したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の偏微分可能性を判定する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ必要な点において偏微分・微分可能であることを確認すればよいということになります。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}\boldsymbol{a}\text{において変数}x_{k}\text{に関して偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( \boldsymbol{a}\right)
\text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) }{dx}\cdot \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }\cdot \left. \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)は\(Y\)の内点です。したがって、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において変数}x_{k}\text{に関して偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( g\circ f\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left(
\boldsymbol{x}\right) }\cdot \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{x}\)の合成関数であることに注意してください。関数\(x^{2}+y^{2}+1\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、関数\(\frac{1}{x}\)は任意の点\(z=x^{2}+y^{2}+1\)において微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2x\quad
\because \text{有理関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\cdot 2x \\
&=&-\frac{2x}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。同様に、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
y}\left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert
_{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2y\quad
\because \text{有理関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&-\frac{1}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\cdot 2y \\
&=&-\frac{2y}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{3}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( z\right) \)の合成関数であることに注意してください。関数\(x^{2}y^{3}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、関数\(\sin \left( z\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right) \right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}y^{3}}\cdot 2xy^{3}\quad
\because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 2xy^{3} \\
&=&2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。同様に、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\sin \left( x^{2}y^{3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right) \right) \right\vert
_{z=x^{2}y^{3}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right)
\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}y^{3}}\cdot
3x^{2}y^{2}\quad \because \text{正弦関数の微分および多項式関数の偏微分} \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot 3x^{2}y^{2} \\
&=&3x^{2}y^{2}\cos \left( x^{2}y^{3}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数関数と1変数関数の合成関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}\boldsymbol{a}\text{において偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( \boldsymbol{a}\right)
\text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{a}\right) &=&\frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) }{dx}\nabla f\left(
\boldsymbol{a}\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)は\(Y\)の内点です。したがって、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( g\circ f\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right) }\nabla f\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f\left( x,y\right) :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right)
\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \nabla \left( x^{2}+y^{2}+1\right) \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=x^{2}+y^{2}+1}\cdot \left( \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ,\frac{\partial }{\partial
y}\left( x^{2}+y^{2}+1\right) \right) \\
&=&-\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot \left( 2x,2y\right) \\
&=&\left( -\frac{2x}{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}},-\frac{2y}{\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の単項式関数\(x^{2}y^{3}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( z\right) \)の合成関数であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f\left( x,y\right) :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\left( \sin \left( z\right)
\right) \right\vert _{z=x^{2}y^{3}}\cdot \nabla \left( x^{2}y^{3}\right) \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{x=x^{2}y^{3}}\cdot \left( \frac{\partial }{\partial x}\left( x^{2}y^{3}\right) ,\frac{\partial }{\partial y}\left( x^{2}y^{3}\right) \right) \\
&=&\cos \left( x^{2}y^{3}\right) \cdot \left( 2xy^{3},3x^{2}y^{2}\right) \\
&=&\left( 2xy^{3}\cos \left( x^{2}y^{3}\right) ,3x^{2}y^{2}\cos \left(
x^{2}y^{3}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。
3つ以上の関数の合成関数の偏微分
1つの多変数関数と2つの実数値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの間に以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
h\circ g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left( h\circ
g\right) \left( f\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&h\left( g\left( f\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \right) \quad
\because \text{合成関数の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。以上を踏まえた上で、合成関数\(h\circ g\circ f\)を構成する関数\(f,g,h\)に関して以下の3つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、多変数関数\(f\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるということです。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(\boldsymbol{a}\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
多変数関数\(f\)が先の点\(\boldsymbol{a}\)に対して定める値は実数\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)は1変数関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、関数\(g\)の点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) }{dx}=\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
1変数関数\(g\)が先の点\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)に対して定める値は実数\(g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)は1変数関数\(h\)の定義域\(Z\)上の点です。そこで、3つ目の条件として、関数\(h\)は点\(g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right)\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)は関数\(h\)の定義域\(Z\)の内点であるとともに、関数\(h\)の点\(g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{dh\left( g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \right) }{dx}=\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
\boldsymbol{a}\right) \right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(h\circ g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( h\circ g\circ f\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{dh\left( g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right)
\right) \right) }{dx}\cdot \frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right)
\right) }{dx}\cdot \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial
x_{k}} \\
&=&\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
\boldsymbol{a}\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }\cdot \left. \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}\left( h\circ g\circ f\right) \left( x\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)に対して、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}\boldsymbol{a}\text{において変数}x_{k}\text{に関して偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( \boldsymbol{a}\right)
\text{において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は点}g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(h\circ g\circ f\)もまた点\(\boldsymbol{a}\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( h\circ g\circ f\right) \left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{dh\left( g\left( f\left( \boldsymbol{a}\right)
\right) \right) }{dx}\cdot \frac{dg\left( f\left( \boldsymbol{a}\right)
\right) }{dx}\cdot \frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial
x_{k}} \\
&=&\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
\boldsymbol{a}\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( \boldsymbol{a}\right) }\cdot \left. \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}\left( h\circ g\circ f\right) \left( x\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y,Z\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)は\(X\)の内点であり、点\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)は\(Y\)の内点であり、点\(g\left( f\left( \boldsymbol{x}\right)\right) \in Z\)は点\(Z\)の内点です。したがって、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において変数}x_{k}\text{に関して偏微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は}Z\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(h\circ g\circ f\)もまた\(X\)上において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( h\circ g\circ f\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial \left( h\circ g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{x=g\left(
f\left( \boldsymbol{x}\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( y\right)
}{dy}\right\vert _{y=f\left( \boldsymbol{x}\right) }\cdot \frac{\partial
f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}
\end{equation*}を定めます。
}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)は点\(\boldsymbol{x}\)のノルムであり、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}と定義されるため、\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{1}{\left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これは多変数の多項式関数\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)と1変数の無理関数\(y^{\frac{1}{2}}\)と1変数の有理関数\(\frac{1}{z}\)の合成関数です。\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)であることを踏まえると、\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)は任意の変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、\(y^{\frac{1}{2}}\)は任意の点\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\)において微分可能であり、\(\frac{1}{z}\)は任意の点\(\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)において微分可能であるため\(f\)は変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left( \frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left( \frac{1}{\left(
\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}}\right) \quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\left( \frac{1}{z}\right) \right\vert _{z=\left\Vert
x\right\Vert }\cdot \left. \frac{d}{dy}y^{\frac{1}{2}}\right\vert
_{y=\left\Vert x\right\Vert ^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial x_{k}}\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -\frac{1}{z^{2}}\right\vert _{z=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }\cdot \left. \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\right\vert
_{y=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}}\cdot 2x_{k} \\
&=&-\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}}\cdot \frac{1}{2}\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right) ^{-\frac{1}{2}}\cdot
2x_{k}\quad \because \text{ノルムの定義}
\\
&=&-\frac{x_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{3}}
\end{eqnarray*}を定めます。
4つ以上の関数の合成関数の偏微分についても同様に考えます。また、勾配ベクトル場についても同様に考えます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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