多変数関数の積の偏微分

多変数関数の積の偏微分

定義域を共有する2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(f\cdot g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺にある任意の点において定義されているならば、\(f,g\)が点\(a\)においてそれぞれの変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots,n\right) \)に関して偏微分可能であるか検討できます。\(f,g\)がともに点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるならば、そこでの偏微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g_{x_{k}}\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) _{x_{k}}\left( a\right) =f_{x_{k}}\left( a\right)
\cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g_{x_{k}}\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。

つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの偏微分係数が上のように定まることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)の偏微分可能性を検討する際には、偏微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、\(f\)と\(g\)がともに偏微分可能であることを検討すればよいということになります。

勾配ベクトルの積

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

次回は偏微分可能な関数どうしの商の偏微分可能性について解説します。