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多変数関数の微分

多変数の座標関数の偏微分

目次

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多変数の座標関数の偏微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}であるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数に関して偏微分可能です。偏微分係数は以下の通りです。

命題(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において任意の変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}f_{x_{l}}^{\prime }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ l=k\right) \\
0 & \left( if\ l\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

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例(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、変数\(x_{l}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(x_{l}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x_{l}}^{\prime }:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f_{x_{l}}^{\prime }\left( a\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ l=k\right) \\
0 & \left( if\ l\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため、\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) =1
\end{equation*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため、\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{x}^{\prime }\left( x,y,z\right) =0
\end{equation*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{y}^{\prime }\left( x,y,z\right) =0
\end{equation*}を定めます。また、\(f\)は変数\(z\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{z}^{\prime }:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f_{z}^{\prime }\left( x,y,z\right) =1
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は変数\(x\)について偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{x}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial x}x\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)について偏微分可能であり、偏導関数\(f_{y}^{\prime }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{y}^{\prime }\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=y}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=y}\cdot 0 \\
&=&\frac{1}{y}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。

 

多変数の座標関数の勾配ベクトル

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(多変数の座標関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}\nabla f\left( a\right) =e_{k}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他のすべての成分が\(0\)のベクトルである。
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例(多変数の座標関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。したがって、上の命題より、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x\right) =e_{k}
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y,z\right) =\left( 0,0,1\right)
\end{equation*}を定めます。

例(多変数の座標関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot
\frac{\partial }{\partial x}x,\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=y}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left( \left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1,\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=y}\cdot 0\right) \\
&=&\left( \frac{1}{x},0\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{y}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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問題(多変数の座標関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y^{p}\quad \left( p\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。