多変数の座標関数の偏微分
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{k}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(x_{k}\)はベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(k\)成分です。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の変数に関して偏微分可能です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数ですが、これを変数\(x_{k}\)に関して偏微分すると、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{k}}=1
\end{equation*}となる一方で、\(x_{k}\)とは異なる変数\(x_{l}\)に関して偏微分すると、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=0
\end{equation*}となります。
命題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(\boldsymbol{x}\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ l=k\right) \\
0 & \left( if\ l\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(\boldsymbol{x}\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ l=k\right) \\
0 & \left( if\ l\not=k\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。
例（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数です。先の命題より、変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=1
\end{equation*}を定めます。同様に、\(x_{k}\)とは異なる変数\(x_{l}\)を任意に選んだとき、変数\(x_{l}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=0
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数です。先の命題より、変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{k}}=1
\end{equation*}を定めます。同様に、\(x_{k}\)とは異なる変数\(x_{l}\)を任意に選んだとき、変数\(x_{l}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=0
\end{equation*}を定めます。
例（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため、先の命題よりそれぞれの変数に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&1 \\
\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&0
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため、先の命題よりそれぞれの変数に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&1 \\
\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&0
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため、先の命題よりそれぞれの変数に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial x} &=&0 \\
\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial y} &=&0 \\
\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial z} &=&1
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため、先の命題よりそれぞれの変数に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial x} &=&0 \\
\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial y} &=&0 \\
\frac{\partial f\left( x,y,z\right) }{\partial z} &=&1
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は変数\(x\)について偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{d}{dz}\ln
\left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial x}x\quad
\because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)について偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{d}{dz}\ln
\left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\quad
\because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 0 \\
&=&\frac{1}{y}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は変数\(x\)について偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{d}{dz}\ln
\left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial x}x\quad
\because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}を定めます。また、\(f\)は変数\(y\)について偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\left. \frac{d}{dz}\ln
\left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\quad
\because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 0 \\
&=&\frac{1}{y}\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数の座標関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（多変数の座標関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(\boldsymbol{x}\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =e_{k}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他のすべての成分が\(0\)のベクトルである。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(\boldsymbol{x}\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =e_{k}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)で他のすべての成分が\(0\)のベクトルである。
例（多変数の座標関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =e_{k}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =e_{k}
\end{equation*}を定めます。
例（多変数の座標関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}を定めます。
例（多変数の座標関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y,z\right) =\left( 0,0,1\right)
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\nabla f\left( x,y,z\right) =\left( 0,0,1\right)
\end{equation*}を定めます。
例（多変数の座標関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot
\frac{\partial }{\partial x}x,\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left( \left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1,\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 0\right) \\
&=&\left( \frac{1}{x},0\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を多変数の座標関数\(x\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数とみなすのであれば、\(f\)は偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\right) \\
&=&\left( \left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right) \right\vert _{z=x}\cdot
\frac{\partial }{\partial x}x,\left. \frac{d}{dz}\ln \left( z\right)
\right\vert _{z=x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}x\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left( \left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 1,\left. \frac{1}{z}\right\vert _{z=x}\cdot 0\right) \\
&=&\left( \frac{1}{x},0\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{y}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y^{p}\quad \left( p\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の座標関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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