多変数の多項式関数の偏微分
偏微分は他の変数を固定した1変数関数の微分であることを学びました。この考え方を用いると、多変数の多項式関数の偏微分は1変数の場合とほぼ同じ規則で計算できます。実際、多項式は微分を繰り返しても再び多項式になるため、偏微分の計算も非常に容易です。本節では、この事実を一般的な命題として示した後、具体例を通して偏導関数や勾配ベクトルの求め方を学びます。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるということです。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の変数に関して偏微分可能です。具体的には、変数\(x_{l}\ \left(l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x_{l}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{l}^{k_{l}}\cdots a_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}を定める変数\(x_{l}\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この関数\(f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) \)は変数\(x_{l}\)に関する1変数の多項式関数であるため点\(a_{l}\)において微分可能であり、したがって偏微分と微分の関係より、もとの多変数関数\(f\)は点\(\boldsymbol{a}=\left(a_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) \)において変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立ちます。
命題（多変数の多項式関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、任意の変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots,n\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立つ。
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、任意の変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots,n\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立つ。
例（多変数の多項式関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=\frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) }{dx_{l}}
\end{equation*}を定めます。ただし、右辺の\(f\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) \)は多変数関数\(f\)を変数\(x_{l}\)に関する1変数関数とみなすことにより得られる関数です。
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=\frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) }{dx_{l}}
\end{equation*}を定めます。ただし、右辺の\(f\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) \)は多変数関数\(f\)を変数\(x_{l}\)に関する1変数関数とみなすことにより得られる関数です。
例（多変数の多項式関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\left( x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}\right) \\
&=&4x^{3}-8xy^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\left( x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}\right) \\
&=&4y^{3}-8x^{2}y
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\left( x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}\right) \\
&=&4x^{3}-8xy^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\left( x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}\right) \\
&=&4y^{3}-8x^{2}y
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多項式関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+xy+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
2x+y\right) \\
&=&\left( 2x+y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
x+2y\right) \\
&=&\left( x+2y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+xy+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
2x+y\right) \\
&=&\left( 2x+y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right) \right\vert
_{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
x+2y\right) \\
&=&\left( x+2y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数の多項式関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（多変数の多項式関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( \left. \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{a}_{-1}\right) }{dx_{1}}\right\vert _{x_{1}=a_{1}},\cdots
,\left. \frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{a}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right\vert
_{x_{n}=a_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( \left. \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{a}_{-1}\right) }{dx_{1}}\right\vert _{x_{1}=a_{1}},\cdots
,\left. \frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{a}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right\vert
_{x_{n}=a_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（多変数の多項式関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{x}_{-1}\right) }{dx_{1}},\cdots ,\frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{x}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right)
\end{equation*}です。
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{x}_{-1}\right) }{dx_{1}},\cdots ,\frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{x}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right)
\end{equation*}です。
例（多変数の多項式関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( 4x^{3}-8xy^{2},4y^{3}-8x^{2}y\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( 4x^{3}-8xy^{2},4y^{3}-8x^{2}y\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多項式関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+xy+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right)
\right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \nabla \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
2x+y,x+2y\right) \\
&=&\cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \cdot \left( 2x+y,x+2y\right) \\
&=&\left( \left( 2x+y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) ,\left(
x+2y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+xy+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left. \frac{d}{dz}\sin \left( z\right)
\right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \nabla \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\left. \cos \left( z\right) \right\vert _{z=x^{2}+xy+y^{2}}\cdot \left(
2x+y,x+2y\right) \\
&=&\cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \cdot \left( 2x+y,x+2y\right) \\
&=&\left( \left( 2x+y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) ,\left(
x+2y\right) \cos \left( x^{2}+xy+y^{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（多変数の多項式関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{4}-2xy^{3}+y^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の多項式関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =3x^{3}+2x^{2}y-xy+xyz+z^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多項式関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y\right) ^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多項式関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多項式関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+\ln \left( 5x-3y^{2}\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 5x-3y^{2}>1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)をそれぞれの変数\(x,y\)について偏微分してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 5x-3y^{2}>1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)をそれぞれの変数\(x,y\)について偏微分してください。
