多変数の有理関数の偏微分
偏微分は他の変数を固定した1変数関数の微分であることを学びました。多変数の有理関数をある変数について偏微分するときには、他の変数をすべて固定します。すると、分子と分母はともに、その変数だけを変数とする1変数多項式になります。したがって、多変数の有理関数は、偏微分の対象となる変数について見れば1変数の有理関数になります。このことから、多変数有理関数の偏微分は、1変数有理関数の微分に帰着します。以下では、この考え方にもとづいて、多変数有理関数を偏微分する方法を明らかにします。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、定義域を共有する2つの多変数の多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在して、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるとともに、任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{g\left( \boldsymbol{x}\right) }{h\left(
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}が成り立つということです。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、多項式関数\(h\)は連続ですが、連続関数による開集合の逆像は開集合であるため、\begin{equation*}X=h^{-1}\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{equation*}は開集合であることに注意してください。
点\(\boldsymbol{a}\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において任意の変数に関して偏微分可能です。具体的には、変数\(x_{l}\ \left( l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x_{l}\in X_{l}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) =\frac{g\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{h\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }
\end{equation*}を定める変数\(x_{l}\)に関する1変数関数\begin{equation*}f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) :\mathbb{R} \supset N_{\varepsilon }\left( a_{l}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を点\(a_{l}\)の近傍上に定義できます。この関数\(f\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) \)は変数\(x_{l}\)に関する1変数の有理関数であるため点\(a_{l}\)において微分可能であり、したがって偏微分と微分の関係より、もとの多変数関数\(f\)は点\(\boldsymbol{a}=\left( a_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) \)において変数\(x_{l}\)に関して偏微分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立ちます。
命題（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{g\left( \boldsymbol{x}\right) }{h\left(
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)を任意に選んだとき、任意の変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立つ。
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)を任意に選んだとき、任意の変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)について、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{l}}=\left. \frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{a}_{-l}\right) }{dx_{l}}\right\vert _{x_{l}=a_{l}}
\end{equation*}が成り立つ。
例（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{g\left( \boldsymbol{x}\right) }{h\left(
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=\frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) }{dx_{l}}
\end{equation*}を定めます。ただし、右辺の\(f\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) \)は多変数関数\(f\)を変数\(x_{l}\)に関する1変数関数とみなすことにより得られる関数です。
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。変数\(x_{l}\) \(\left( l=1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだとき、先の命題より偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x_{l}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( \boldsymbol{x}\right) }{\partial x_{l}}=\frac{df\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) }{dx_{l}}
\end{equation*}を定めます。ただし、右辺の\(f\left( x_{l},\boldsymbol{x}_{-l}\right) \)は多変数関数\(f\)を変数\(x_{l}\)に関する1変数関数とみなすことにより得られる関数です。
例（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=-1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{df}{dx}\left( \frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}y+y^{2}\right) }{dx}\cdot \left( x+1\right)
-\left( x^{2}y+y^{2}\right) \cdot \frac{d\left( x+1\right) }{dx}}{\left(
x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2xy\left( x+1\right) -\left( x^{2}y+y^{2}\right) }{\left(
x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}y+2xy-y^{2}}{\left( x+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{df}{dy}\left( \frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}\right) \\
&=&\frac{1}{x+1}\frac{df}{dy}\left( x^{2}y+y^{2}\right) \quad \because x\text{は定数} \\
&=&\frac{1}{x+1}\left( x^{2}+2y\right) \\
&=&\frac{x^{2}+2y}{x+1}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=-1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{df}{dx}\left( \frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}y+y^{2}\right) }{dx}\cdot \left( x+1\right)
-\left( x^{2}y+y^{2}\right) \cdot \frac{d\left( x+1\right) }{dx}}{\left(
x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2xy\left( x+1\right) -\left( x^{2}y+y^{2}\right) }{\left(
x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}y+2xy-y^{2}}{\left( x+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{df}{dy}\left( \frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}\right) \\
&=&\frac{1}{x+1}\frac{df}{dy}\left( x^{2}y+y^{2}\right) \quad \because x\text{は定数} \\
&=&\frac{1}{x+1}\left( x^{2}+2y\right) \\
&=&\frac{x^{2}+2y}{x+1}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{df}{dx}\left( \frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}+y\right) }{dx}\cdot \left( x+y^{2}\right)
-\left( x^{2}+y\right) \cdot \frac{d\left( x+y^{2}\right) }{dx}}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2x\left( x+y^{2}\right) -\left( x^{2}+y\right) }{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}+2xy^{2}-y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{df}{dy}\left( \frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}+y\right) }{dy}\cdot \left( x+y^{2}\right)
-\left( x^{2}+y\right) \cdot \frac{d\left( x+y^{2}\right) }{dy}}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\left( x+y^{2}\right) -\left( x^{2}+y\right) 2y}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x-y^{2}-2x^{2}y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{df}{dx}\left( \frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}+y\right) }{dx}\cdot \left( x+y^{2}\right)
-\left( x^{2}+y\right) \cdot \frac{d\left( x+y^{2}\right) }{dx}}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2x\left( x+y^{2}\right) -\left( x^{2}+y\right) }{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}+2xy^{2}-y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{df}{dy}\left( \frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}\right) \\
&=&\frac{\frac{d\left( x^{2}+y\right) }{dy}\cdot \left( x+y^{2}\right)
-\left( x^{2}+y\right) \cdot \frac{d\left( x+y^{2}\right) }{dy}}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\left( x+y^{2}\right) -\left( x^{2}+y\right) 2y}{\left(
x+y^{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x-y^{2}-2x^{2}y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（有理関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の有理関数\(\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\)と1変数の指数関数\(\exp \left( x\right) \)の合成関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\exp \left( z\right) \right\vert _{z=\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) -\left( x+y\right) 2x}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+y^{2}-x^{2}-2xy}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\exp \left( z\right) \right\vert _{z=\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) -\left( x+y\right) 2y}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+x^{2}-2xy-y^{2}}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の有理関数\(\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\)と1変数の指数関数\(\exp \left( x\right) \)の合成関数であるため変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial f}{\partial x}\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\exp \left( z\right) \right\vert _{z=\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) -\left( x+y\right) 2x}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+y^{2}-x^{2}-2xy}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)は変数\(y\)に関しても偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y} &=&\frac{\partial f}{\partial y}\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dz}\exp \left( z\right) \right\vert _{z=\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \quad \because \text{合成関数の偏微分} \\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) -\left( x+y\right) 2y}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\\
&=&\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+x^{2}-2xy-y^{2}}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
多変数の有理関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
命題（多変数の有理関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{g\left( \boldsymbol{x}\right) }{h\left(
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( \left. \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{a}_{-1}\right) }{dx_{1}}\right\vert _{x_{1}=a_{1}},\cdots
,\left. \frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{a}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right\vert
_{x_{n}=a_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。点\(\boldsymbol{a}\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{a}\right) =\left( \left. \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{a}_{-1}\right) }{dx_{1}}\right\vert _{x_{1}=a_{1}},\cdots
,\left. \frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{a}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right\vert
_{x_{n}=a_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（多変数の有理関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値が、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{g\left( \boldsymbol{x}\right) }{h\left(
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{x}_{-1}\right) }{dx_{1}},\cdots ,\frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{x}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right)
\end{equation*}です。
\boldsymbol{x}\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ h\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\nabla f\left( \boldsymbol{x}\right) =\left( \frac{df\left( x_{1},\boldsymbol{x}_{-1}\right) }{dx_{1}},\cdots ,\frac{df\left( x_{n},\boldsymbol{x}_{-n}\right) }{dx_{n}}\right)
\end{equation*}です。
例（多変数の有理関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y+y^{2}}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=-1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}y+2xy-y^{2}}{\left( x+1\right) ^{2}},\frac{x^{2}+2y}{x+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=-1\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}y+2xy-y^{2}}{\left( x+1\right) ^{2}},\frac{x^{2}+2y}{x+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（多変数の有理関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}+y}{x+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}+2xy^{2}-y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}},\frac{x-y^{2}-2x^{2}y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)は多変数の有理関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}+2xy^{2}-y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}},\frac{x-y^{2}-2x^{2}y}{\left( x+y^{2}\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例（有理関数との合成関数の勾配ベクトル）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の有理関数\(\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\)と1変数の指数関数\(\exp \left( x\right) \)の合成関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+y^{2}-x^{2}-2xy}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+x^{2}-2xy-y^{2}}{\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の有理関数\(\frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\)と1変数の指数関数\(\exp \left( x\right) \)の合成関数であるため偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla f\left( x,y\right) &=&\left( \frac{df\left( x,y\right) }{dx},\frac{df\left( x,y\right) }{dy}\right) \\
&=&\left( \exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+y^{2}-x^{2}-2xy}{\left( 1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}},\exp \left( \frac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) \cdot \frac{1+x^{2}-2xy-y^{2}}{\left(
1+x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{1+x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（多変数の有理関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\frac{x^{2}+yz}{1+x+y+z}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 1+x+y+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 1+x+y+z\not=0\right\}
\end{equation*}です。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（有理関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( \frac{1+x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
問題（有理関数との合成関数の偏微分）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。勾配ベクトル場\(\nabla f\)を求めてください。
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