線型近似としての全微分

線型近似としての全微分

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) =o\left( \left\Vert x-a\right\Vert \right) \quad \left(
x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在するということです。これは、変数\(x\)に関する関数\begin{equation}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が、同じく変数\(x\)に関する関数\begin{equation}\left\Vert x-a\right\Vert \quad \cdots (3)
\end{equation}と比べて点\(a\)において高位の無限小になるような有限なベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在することを意味します。\(\left( 2\right) \)は、それぞれの点\(x\)に対して関数\(f\)が定める値と1次関数\(f\left(a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \)が定める値の誤差であり、\(\left( 3\right) \)は点\(x\)が点\(a\)からどれくらい離れているかを表す指標です。したがって\(\left(1\right) \)が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}という近似関係が成立することを意味します。また、多変数関数\(f\)は全微分可能な点\(a\)において偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの全微分係数\(f^{\prime}\left( a\right) \)と勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)は一致します。つまり、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\nabla f\left( a\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つということです。以上を踏まえると、\(f\)が点\(a\)において全微分可能である場合、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\approx &f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&f\left( a\right) +\nabla f\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \quad
\because \left( 5\right) \\
&=&f\left( a\right) +\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot
\left( x-a\right) \quad \because \nabla f\left( a\right) \text{の定義} \\
&=&f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}という近似式が成立します。つまり、多変数関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能であることとは、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、関数\(f\)を変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する\(1\)次の多項式関数\begin{equation*}f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}で近似できることを意味します。この近似式を点\(a\)における\(f\)の\(1\)次の近似多項式（1st degree approximating polynomial of \(f\)at \(a\)）と呼びます。

多変数関数のグラフの接超平面

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} \ |\ y=\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。一方、点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in X\)における\(f\)の\(1\)次の近似多項式は、\begin{equation*}f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left(
x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}と定義されるため、そのグラフは、\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right) \right\}
\end{equation*}となります。これを\(f\)のグラフの点\(a\)における接超平面（tangent hyperplane）と呼びます。\(f\)が\(a\)において全微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において\(f\)のグラフは点\(a\)における超接平面と近似的に等しくなります。

全微分と全微分商

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い周辺の任意の点\(x\)において、\begin{equation}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\left( x_{1}-a_{1}\right) +\cdots +\frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\left( x_{n}-a_{n}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という近似関係が成り立ちます。議論の見通しを良くするために、それぞれの変数\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の増分を、\begin{equation*}\Delta x_{i}=x_{i}-a_{i}
\end{equation*}で表記し、それらを成分とするベクトルを、\begin{equation*}
\Delta x=\left( \Delta x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\right)
\end{equation*}で表記します。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) -f\left( a\right) &=&f\left( a_{1}+\Delta x_{1},\cdots
,a_{n}+\Delta x_{n}\right) \\
&=&f\left( a+\Delta x\right)
\end{eqnarray*}となるため、これらを用いて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{1}}\Delta x_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\Delta x_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx \nabla f\left( a\right)
\cdot \Delta x \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。変数\(x\)の増分\(\Delta x\)がゼロベクトルに限りなく近づく場合、上の近似式が成り立つということです。

結論をまとめると、多変数関数\(f\)が点\(a\)において全微分可能である場合、変数\(x\)の増分\(\Delta x\)をゼロベクトルに十分近づければ（\(\Delta x\rightarrow 0\)）、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分（\(\left( 2\right) \)の左辺）は、勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と\(x\)の増分の内積（\(\left( 2\right) \)の右辺）として近似できるということです。そこで、その積を\(f\left( x\right) \)の増分の主要部分（main part）や\(f\)の点\(a\)における全微分（total differential at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}df=\nabla f\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}で表記します。\(\Delta x\)がゼロベクトルに十分近い場合には、\begin{equation*}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx df
\end{equation*}という近似関係が成り立つということです。

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能である場合、\(f\)の点\(a\)における全微分は、\begin{equation}df=\nabla f\left( a\right) \cdot \Delta x \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。また、先に例を通じて確認したように、多変数の座標関数\(x_{i}\)は任意の点\(a\)において全微分可能であるとともに、そこでの全微分は、\begin{equation}dx_{i}=\Delta x_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
df &=&\nabla f\left( a\right) \cdot \Delta x\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot \left( \Delta
x_{1},\cdots ,\Delta x_{n}\right) \\
&=&\left( \frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}\right) \cdot \left(
dx_{1},\cdots ,dx_{n}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}dx_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}dx_{n}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
df=\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}dx_{1}+\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{n}}dx_{n}
\end{equation*}を得ます。\(dx_{i}=\Delta x_{i}\not=0\)であることに注意し、上の等式の両辺を\(dx_{i}\)で割ると、\begin{equation*}\frac{df}{dx_{i}}=\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{1}}\frac{dx_{1}}{dx_{i}}+\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dx_{i}}+\cdots +\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial
x_{n}}\frac{dx_{n}}{dx_{i}}
\end{equation*}を得ますが、これを\(f\)の\(x_{i}\)に関する全微分商（total differential quotient）と呼びます。