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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

全微分と方向微分の関係

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方向微分と偏微分の関係

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、偏微分係数に相当する以下のような有限な実数\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he_{k}\right)
-f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R}\end{equation*}が存在します。ただし、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)でそれ以外の任意の成分が\(0\)であるような単位ベクトルであるため、これは点\(a\)における方向\(e_{k}\)の方向微分係数に他なりません。つまり、\begin{equation}
f_{x_{k}}\left( a\right) =f_{e_{k}}\left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つということです。つまり、スカラー場\(f\)が点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において方向\(e_{k}\)に方向微分可能です。

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の方向ベクトル\(e\in \mathbb{R}^{n}\)に関して方向微分可能である場合には、方向微分係数に相当する以下のような有限な実数\begin{equation*}
f_{e}\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+he\right)
-f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R}\end{equation*}が存在します。\(e\)は任意の\(n\)次元ベクトルであるため、\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
e=e_{k}
\end{equation*}とおけば\(f_{e_{k}}\left( a\right) \)を得ますが、\(\left( 1\right) \)より、これは点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数に他なりません。つまり、スカラー場\(f\)が点\(a\)において任意の方向\(e\)に関して方向微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)について偏微分可能です。

命題(任意の方向に方向微分可能なスカラー場は偏微分可能)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において任意の方向ベクトル\(e\in \mathbb{R}^{n}\)に関して方向微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において任意の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるとともに、\begin{equation*}
f_{e_{k}}\left( a\right) =f_{x_{k}}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において任意の変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であっても、\(f\)は\(a\)において任意の方向に関して方向微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(偏微分可能なスカラー場は方向微分可能とは限らない)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
f_{x}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+h,0\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{偏微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{h}\left( \frac{\left( 0+h\right) 0}{\left( 0+h\right) ^{2}+0^{2}}-0\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\left( 0,0\right) \)における変数\(y\)における偏微分係数は、\begin{eqnarray*}
f_{y}\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,0+h\right)
-f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{偏微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \frac{1}{h}\left( \frac{0\left( 0+h\right) }{0^{2}+\left( 0+h\right) ^{2}}-0\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において偏微分可能です。一方、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向に方向微分可能であるとは限りません。実際、方向ベクトル\(\left( 1,1\right) \)に注目すると、\begin{eqnarray*}
f_{\left( 1,1\right) }\left( 0,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+1h,0+1h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \text{方向微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( h,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{h}\cdot \frac{h^{2}}{h^{2}+h^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2h}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において\(\left( 1,1\right) \)方向に方向微分可能ではありません。

 

全微分と方向微分の関係

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能である場合、\(f\)は点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの全微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と一致しますが、実は、全微分可能性は方向微分可能性もまた含意します。つまり、\(f\)が点\(a\)において全微分可能であるとき、\(f\)は点\(a\)において任意の方向\(e\in \mathbb{R}^{n}\)に関して方向微分可能であるとともに、その点における方向微分係数\(f_{e}\left( a\right) \)はそこでの勾配ベクトル\(\nabla f\left( a\right) \)と方向ベクトル\(e\)の内積として定まります。つまり、\begin{equation*}
f_{e}\left( a\right) =\nabla f\left( a\right) \cdot e
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(全微分可能なスカラー場は方向微分可能)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(a\in X\)において全微分可能であるならば、方向ベクトル\(e\in \mathbb{R}^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)において\(e\)方向に方向微分可能であり、さらに、\begin{equation*}
f_{e}\left( a\right) =\nabla f\left( a\right) \cdot e
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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例(方向微分係数と勾配ベクトルの関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =x^{2}yz
\end{equation*}を定めます。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 1,1,0\right) \)において方向\(e=\left( 1,1,-1\right) \)に方向微分可能です。実際、\begin{eqnarray*}
f_{e}\left( 1,1,0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
1+h,1+h,0-h\right) -f\left( 1,1,0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( 1+h\right) ^{2}\left( 1+h\right) \left(
-h\right) -0}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ -\left( 1+h\right) ^{3}\right] \\
&=&-1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f_{e}\left( 1,1,0\right) =-1
\end{equation*}となります。一方、\(f\)の点\(\left( 1,1,0\right) \)における勾配ベクトルは、\begin{eqnarray*}
\nabla f\left( 1,1,0\right) &=&\left( \frac{\partial f\left( 1,1,0\right) }{\partial x},\frac{\partial f\left( 1,1,0\right) }{\partial y},\frac{\partial
f\left( 1,1,0\right) }{\partial z}\right) \\
&=&\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\nabla f\left( 1,1,0\right) \cdot e &=&\left( 0,0,1\right) \cdot \left(
1,1,-1\right) \\
&=&0+0-1 \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
f_{e}\left( 1,1,0\right) =\nabla f\left( 1,1,0\right) \cdot e
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。

スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において全微分可能である場合、\(f\)は\(a\)において任意の方向\(e\)に方向微分可能であることが示されましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、スカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\)において任意の方向\(e\)に方向微分可能であっても、\(f\)は\(a\)において全微分可能であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(方向微分可能だが全微分可能ではないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R}^{n}\)に方向微分可能である一方、全微分可能ではありません。実際、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,0\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+he_{1},0+he_{1}\right) }{h}\quad
\because \text{方向微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0,0\right) }{h}\quad \because \left(
e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,0\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方、\(\left( e_{1},e_{2}\right) \not=\left( 0,0\right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( 0,0\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( 0+he_{1},0+he_{2}\right) }{h}\quad
\because \text{方向微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( he_{1},he_{2}\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{h^{2}e_{1}^{2}he_{2}}{h^{4}e_{1}^{4}+h^{2}e_{2}^{2}}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e_{1}^{2}e_{2}}{h^{2}e_{1}^{4}+e_{2}^{2}} \\
&=&\frac{e_{1}^{2}e_{2}}{e_{2}^{2}} \\
&=&\frac{e_{1}^{2}}{e_{2}}
\end{eqnarray*}です。これらはいずれも有限な実数であるため、\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において任意の方向\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)について方向微分可能です。その一方で\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではありません。実際、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\left( x,y\right) \)を以下のような\(\mathbb{R}^{2}\)の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R}^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づける場合、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x^{2}\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because y=x^{2} \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることに留意すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{4}}\right) \quad
\because y=x^{2} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(f\left( 0,0\right) \)と一致しないため、ゆえに\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。スカラー場が点において全微分可能であるとき、そのスカラー場はその点において連続です。対偶より、\(f\)は\(\left( 0,0\right) \)において全微分可能ではないことが示されました。

 

演習問題

問題(全微分と方向微分の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =x\cos y
\end{equation*}を定めます。このスカラー場\(f\)の方向\(e=\left( 2,1\right) \)に関する方向導関数\(f_{e}\)を求めてください。
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問題(全微分と方向微分の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =x^{2}z+y^{3}z^{2}-xyz
\end{equation*}を定めます。このスカラー場\(f\)の方向\(e=\left( -1,0,3\right) \)に関する方向導関数\(f_{e}\)を求めてください。
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次回はスカラー場が全微分可能であるための条件について解説します。

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