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DIFFERENTIATION OF VECTOR FIELD

多変数ベクトル値関数の微分

OVERVIEW

多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の偏微分や方向微分、全微分などの概念について解説します。

TABLE OF CONTENTS

目次

PARTIAL DERIVATIVE

多変数ベクトル値関数の偏微分

多変数ベクトル値関数の偏微分を定義します。

ヤコビ行列

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの成分関数のそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とする行列が存在します。これをヤコビ行列と呼びます。

線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)を特定の変数に関して偏微分することとは、他の変数の値を固定することで得られる1変数のベクトル値関数をシンプルな1次式で近似する(線型近似)ことを意味します。

PROPERTIES OF PARTIAL DERIVATIVE

多変数ベクトル値関数の偏微分の性質

多変数ベクトル値関数の偏微分の性質について解説します。

HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVES

多変数ベクトル値関数の高階偏微分

多変数ベクトル値関数の高階の偏微分について解説します。

多変数ベクトル値関数の高階偏微分

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の偏導関数が偏微分可能である場合には偏導関数の偏導関数が得られますが、これを2階の偏導関数と呼びます。同様に、3階の偏導関数、4階の偏導関数なども定義可能です。これらを高階の偏導関数と呼びます。

DIRECTIONAL DERIVATIVES

多変数ベクトル値関数の方向微分

多変数ベクトル値関数の方向微分を定義します。

TOTAL DERIVATIVES

多変数ベクトル値関数の全微分

多変数ベクトル値関数の全微分を定義します。

多変数ベクトル値関数の全微分と偏微分の関係

多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

関数の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、実数空間を終集合とする写像を関数と呼びます。言い換えると、関数とはそれぞれの実数に対して実数を1つずつ定める規則です。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

ベクトル値関数の微分

曲線(1変数のベクトル値関数)について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数(スカラー場)について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

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