多変数ベクトル値関数の偏微分の定義（ベクトル場の偏微分）
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数のベクトル値関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。
TABLE OF CONTENTS
目次
PARTIAL DERIVATIVE
多変数ベクトル値関数の偏微分
多変数ベクトル値関数の偏微分を定義します。
多変数ベクトル値関数の偏微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）を偏微分するプロセスは1変数のベクトル値関数（曲線）を微分するプロセスと実質的に等しいため、偏微分を行う際には微分に関する諸々の公式を活用できます。
ヤコビ行列
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの成分関数のそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とする行列が存在します。これをヤコビ行列と呼びます。
線型近似としての多変数ベクトル値関数の偏微分
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）を特定の変数に関して偏微分することとは、他の変数の値を固定することで得られる1変数のベクトル値関数をシンプルな1次式で近似する（線型近似）ことを意味します。
PROPERTIES OF PARTIAL DERIVATIVE
多変数ベクトル値関数の偏微分の性質
多変数ベクトル値関数の偏微分の性質について解説します。
多変数ベクトル値関数の偏微分可能性と連続性の関係
多変数のベクトル値関数は偏微分可能な点において連続であるとは限りません。微分可能性から連続性を保証するためには全微分と呼ばれる微分概念が必要です。
多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分
偏微分可能な多変数のベクトル値関数（ベクトル場）と全微分可能な多変数関数（スカラー場）の合成関数として定義される多変数関数もまた偏微分可能です。
多変数のベクトル値関数どうしの合成関数の偏微分
偏微分可能な多変数のベクトル値関数（ベクトル場）と、すべての成分関数が全微分可能な多変数のベクトル値関数の合成関数として定義される多変数のベクトル値関数もまた偏微分可能です。
多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分
偏微分可能な多変数のベクトル値関数（ベクトル場）のスカラー倍として定義される多変数のベクトル値関数もまた偏微分可能です。
多変数のベクトル値関数のベクトル和の偏微分
偏微分可能な多変数のベクトル値関数（ベクトル場）どうしのベクトル和として定義される多変数のベクトル値関数もまた偏微分可能です。
多変数のベクトル値関数のベクトル差の偏微分
偏微分可能な多変数のベクトル値関数（ベクトル場）どうしのベクトル差として定義される多変数のベクトル値関数もまた偏微分可能です。
HIGHER ORDER PARTIAL DERIVATIVES
多変数ベクトル値関数の高階偏微分
多変数ベクトル値関数の高階の偏微分について解説します。
多変数ベクトル値関数の高階偏微分
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）の偏導関数が偏微分可能である場合には偏導関数の偏導関数が得られますが、これを2階の偏導関数と呼びます。同様に、3階の偏導関数、4階の偏導関数なども定義可能です。これらを高階の偏導関数と呼びます。
DIRECTIONAL DERIVATIVES
多変数ベクトル値関数の方向微分
多変数ベクトル値関数の方向微分を定義します。
多変数ベクトル値関数の方向微分の定義（ベクトル場の方向微分）
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）の変数を特定の線分に沿ってまっすぐ動かす状況を想定した微分概念を方向微分と呼びます。
多変数ベクトル値関数の方向微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係
多変数のベクトル値関数が連続微分可能な点に関しては、その多変数ベクトル値関数を方向微分するプロセスは1変数ベクトル値関数を微分するプロセスと実質的に等しくなります。
TOTAL DERIVATIVES
多変数ベクトル値関数の全微分
多変数ベクトル値関数の全微分を定義します。
多変数ベクトル値関数の全微分の定義（ベクトル場の全微分）
多変数のベクトル値関数（ベクトル場）のすべての変数を任意の経路で動かす状況を想定した微分概念を全微分と呼びます。
多変数ベクトル値関数の全微分と偏微分の関係
多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
ベクトル値関数の微分
曲線（1変数のベクトル値関数）について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。
多変数関数の微分
多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。
関数の最適化
与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。
