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多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分

目次

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多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域が多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
=g\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{equation*}を値として定める合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。

1つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるということです。つまり、関数\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{\partial
f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。

多変数のベクトル値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値\(f\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)は多変数関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において全微分可能であるものとします。ただし、全微分係数が存在する場合には勾配ベクトルと一致するため、以上の仮定は、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla g\left( f\left( a\right) \right) =\left. \nabla g\left( x\right)
\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトルとして定まるということです。

以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}
&=&\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}
&=&\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
a\right) \right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g\left(
f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{m}}\right) \cdot \left( \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}},\cdots ,\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right)
\right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}}+\cdots +\frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{m}}\cdot \frac{\partial
f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial
f_{i}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \left. \frac{\partial g\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right) }{\partial x_{i}}\right\vert _{\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right) =\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right)
\right) }\cdot \left. \frac{\partial f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}\right)
\end{eqnarray*}という有限な実数として定まることが保証されます。

命題(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるとともに、\(g\)が点\(f\left( a\right) \in Y\)において全微分可能である場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}
&=&\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right) \right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となる。

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つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において全微分可能な多変数関数\(g\)の合成関数であるような多変数関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) \)と、\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における勾配ベクトル\(\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \)の内積をとれば、\(g\circ f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(\left(g\circ f\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) \)が得られることを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(x\)および周辺の任意の点において定義されており、\(g\)は点\(f\left(a\right) \)および周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。したがって、\(f\)が\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、\(g\)が\(Y\)上で全微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \left(g\circ f\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}
&=&\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial }{\partial
x_{k}}f\left( x\right) \\
&=&\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot
\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}
&=&\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g\left(
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{m}}\right) \cdot \left( \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}},\cdots ,\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+\cdots +\frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{m}}\cdot \frac{\partial
f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial
f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \left. \frac{\partial g\left( y_{1},\cdots
,y_{m}\right) }{\partial y_{i}}\right\vert _{\left( y_{1},\cdots
,y_{m}\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) }\cdot \frac{\partial f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、\(g\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で全微分可能であるため、先の命題より合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、変数\(x\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \left( g\circ f\right) }{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) }{\partial x}
&=&\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial x}\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} \\
&=&\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dx}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dx}\left( x-y\right) \right)
\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,1\right) \\
&=&\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,1\right) \\
&=&\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
&=&2x
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}定めるため、これを\(x\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial x}\left( x+y\right) \left( x-y\right) \\
&=&\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
&=&2x
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の勾配ベクトル

先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。

命題(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の勾配ベクトル)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であるとともに、\(g\)が点\(f\left( a\right) \in Y\)において全微分可能である場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでの勾配ベクトルは、\begin{equation*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}}\right\vert _{x=a}
\\
\vdots \\
\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{equation*}となる。

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例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の勾配ベクトル)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、\(Y\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(x\)および周辺の任意の点において定義されており、\(g\)は点\(f\left(a\right) \)および周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。したがって、\(f\)が\(X\)上で偏微分可能であり、\(g\)が\(Y\)上で全微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left(g\circ f\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。これが勾配ベクトルに関する連鎖公式です。

例(多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の勾配ベクトル)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、\(g\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で全微分可能であるため、先の命題より合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( g\circ f\right) :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial x} \\
\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial y}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} \\
\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dx}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dx}\left( x-y\right) \right)
\\
\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dy}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dy}\left( x-y\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,1\right) \\
\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,-1\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,1\right) \\
\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,-1\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
\left( x-y\right) -\left( x+y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
-2y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}定めるため、これを偏微分すると、\begin{eqnarray*}
\nabla \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}\left( x+y\right) \left( x-y\right) \\
\frac{\partial }{\partial y}\left( x+y\right) \left( x-y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
\left( x-y\right) -\left( x+y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
-2y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

 

演習問題

問題(合成関数の偏微分)
平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に作用する力が、点\(\left( x,y\right) \)を始点とするベクトル\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(f\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(f\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、そのノルム\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の偏微分公式(連鎖公式)を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから偏微分をとる方法のそれぞれについて、勾配ベクトル場\(\nabla \left( g\circ f\right) \)求めた上で、結果が一致することを確認してください。
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