多変数ベクトル値関数の偏微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係

多変数ベクトル値関数の偏微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる多変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する多変数関数です。

関数\(f\)の定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{k}\subset \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。つまり、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数を成分とするベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots
,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{x}_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(\boldsymbol{x}_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{k},\boldsymbol{x}_{-k}\right) \in X_{k}\times
X_{-k}=X
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の表記を踏まえると、多変数関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かした場合の平均変化率は、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h}
\end{equation*}と表現されるため、\(\boldsymbol{f}\)が点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数を、\begin{equation}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。

多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \in X\)が与えられたとき、それぞれの実数\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x_{k}\right) =\boldsymbol{f}\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right)
\end{equation*}を値として定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。これは多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(\boldsymbol{x}_{-k}\)の値を\(\boldsymbol{a}_{-k}\)に固定することにより得られる変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数です。関数\(\boldsymbol{g}\)の変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)から\(h\)だけ動かした場合の平均変化率は、\begin{equation}\frac{\boldsymbol{g}\left( a_{k}+h\right) -\boldsymbol{g}\left( a_{k}\right)
}{h}=\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、関数\(\boldsymbol{g}\)が点\(a_{k}\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( a_{k}\right) }{dx_{k}} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{g}\left( a_{k}+h\right) -\boldsymbol{g}\left( a_{k}\right)
}{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a_{k}+h,\boldsymbol{a}_{-k}\right) -\boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{h}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{d\boldsymbol{g}\left( a_{k}\right) }{dx_{k}}
\end{equation*}となります。

関数\(\boldsymbol{g}\)の定義を踏まえると、上の命題の主張を、\begin{equation}\frac{\partial \boldsymbol{f}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}} \quad \cdots (3)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{df_{1}\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{df_{m}\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{-k}\)の値を\(\boldsymbol{a}_{-k}\)に固定し、\(\boldsymbol{f}\)をあたかも変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数とみなした上で点\(a_{k}\)における微分係数をとれば（\(\left(3\right) \)の右辺）、\(\boldsymbol{f}\)の点\(\left( a_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数（\(\left( 3\right) \)の左辺）が得られます。多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\left( x_{k},x_{-k}\right) \)を偏微分するプロセスは1変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\left( x_{k},\boldsymbol{a}_{-k}\right) \)を微分するプロセスと実質的に等しいため、多変数のベクトル値関数を偏微分する際には偏微分の定義にもとづいて考える必要はなく、1変数のベクトル値関数の微分へ帰着させることができます。さらに、1変数のベクトル値関数の微分は1変数の実数値関数の微分へ帰着させることができるため、結局、多変数のベクトル値関数の偏微分を1変数の実数値関数の微分へ帰着させることができます。

演習問題