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多変数ベクトル値関数の微分

多変数ベクトル値関数の偏微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係

目次

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多変数ベクトル値関数の偏微分と1変数ベクトル値関数の微分の関係

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域\(X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)がとり得る値からなる集合を\(X_{k}\)で表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\in X\Leftrightarrow x_{k}\in X_{k}
\end{equation*}を満たすものとして\(X_{k}\subset \mathbb{R} \)を定義するということです。変数\(x_{k}\)以外のすべての変数からなる組を、\begin{equation*}x_{-k}=\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、\(x_{-k}\)がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}X_{-k}=X_{1}\times \cdots X_{k-1}\times X_{k+1}\times \cdots X_{n}
\end{equation*}で表記します。\(x_{-k}\in X_{-k}\)です。このとき、\begin{equation*}x=\left( x_{k},x_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

以上の表記を踏まえると、多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の変数\(\left( x_{k},x_{-k}\right) \)を点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)から変数\(x_{k}\)に関してのみ\(h\)だけ動かしたときの平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{h}
\end{equation*}と表現されるため、\(f\)が点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合、そこでの偏微分係数を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現することができます。

多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点\(\left( a_{k},a_{-k}\right) \)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x_{k}\right) =f\left( x_{k},a_{-k}\right)
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
g:X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。これは多変数ベクトル値関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{-k}\)の値を\(a_{-k}\)に固定することで得られる変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数です。関数\(g\)の変数\(x_{k}\)を点\(a_{k}\)から\(h\)だけ動かしたときの平均変化率は、\begin{equation}\frac{g\left( a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}=\frac{f\left(
a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{h} \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、\(g\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{dg\left( a_{k}\right) }{dx_{k}} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(
a_{k}+h\right) -g\left( a_{k}\right) }{h}\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a_{k}+h,a_{-k}\right) -f\left(
a_{k},a_{-k}\right) }{h}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\frac{dg\left(
a_{k}\right) }{dx_{k}}
\end{equation*}となります。

命題(偏微分と微分の関係)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a=\left(a_{k},a_{-k}\right) \in X_{k}\times X_{-k}=X\)が与えられたとき、それぞれの\(x_{k}\in X_{k}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x_{k}\right) =f\left( x_{k},a_{-k}\right)
\end{equation*}を定める1変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset X_{k}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることと、\(g\)が点\(a_{k}\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\frac{dg\left(
a_{k}\right) }{dx_{k}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

関数\(g\)の定義を踏まえると、上の命題の主張を、\begin{equation}\frac{\partial f\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{df\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert _{x_{k}=a_{k}} \quad \cdots (3)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{\partial f_{1}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\dfrac{\partial f_{m}\left( a_{k},a_{-k}\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{df_{1}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{df_{m}\left( x_{k},a_{-k}\right) }{dx_{k}}\right\vert
_{x_{k}=a_{k}}\end{array}\right)
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。つまり、多変数のベクトル値関数\(f\)において変数\(x_{k}\)以外のすべての変数\(x_{-k}\)の値を\(a_{-k}\)に固定し、\(f\)をあたかも変数\(x_{k}\)に関する1変数のベクトル値関数とみなした上で点\(a_{k}\)における微分係数をとれば(\(\left(3\right) \)の右辺)、\(f\)の点\(\left(a_{k},a_{-k}\right) \)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数(\(\left( 3\right) \)の左辺)が得られます。多変数のベクトル値関数\(f\left(x_{k},x_{-k}\right) \)を偏微分するプロセスは1変数のベクトル値関数\(f\left( x_{k},a_{-k}\right) \)を微分するプロセスと実質的に等しいため、多変数のベクトル値関数を偏微分する際には偏微分の定義にもとづいて考える必要はなく、1変数のベクトル値関数の微分へ帰着させることができます。さらに、1変数のベクトル値関数の微分は1変数の実数値関数の微分へ帰着させることができるため、結局、多変数のベクトル値関数の偏微分を1変数の実数値関数の微分へ帰着させることができます。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}b \\
xb^{2}\end{array}\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}x^{2}b \\
\frac{d}{dx}xb^{2}\end{array}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
2xb \\
b^{2}\end{array}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2ab \\
b^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルであるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left( a,b\right) \)において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
2xy \\
y^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

例(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\sin \left( x+xy\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、変数\(x\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{偏微分と微分の関係} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1} \\
\sin \left( x+xb\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}+1}\right) \\
\frac{d}{dx}\sin \left( x+xb\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
\frac{b\left( -x^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}} \\
\left( 1+b\right) \cos \left( x+xb\right)
\end{array}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{b\left( -a^{2}+b^{2}+1\right) }{\left( a^{2}+b^{2}+1\right) ^{2}} \\
\left( 1+b\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルであるため\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において変数\(x\)に関して偏微分可能です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点\(\left( a,b\right) \)において同様であるため\(f\)は変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{y\left( -x^{2}+y^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+y^{2}+1\right) ^{2}} \\
\left( 1+y\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}y \\
xy^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}\)を求めてください。
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問題(偏微分と微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\sin \left( x+xy\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。変数\(y\)に関する偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial y}\)を求めてください。
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多変数関数の偏微分の定義

多変数関数が与えられたとき、1つの変数以外のすべての変数の値を固定し、あたかも1変数関数であるかのようにみなした上で定義される微分概念を偏微分と呼びます。