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多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分

目次

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多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
cf_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
cf_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める新たな多変数のベクトル値関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

多変数のベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left(k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるものとします。つまり、\(f\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、その点における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{\partial
f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。以上の条件が満たされる場合、多変数のベクトル値関数\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、その偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&c\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&c\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( cf\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&c\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まります。

命題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関して偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}} &=&c\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&c\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}となる。

証明

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つまり、定義域上の点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしている多変数のベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)について偏微分可能であるとともに、\(f\)の偏微分係数であるベクトル\(\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}\)をスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の偏微分係数\(\frac{\partial\left( cf\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}\)が得られることを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在します。この場合には\(cf\)もまた変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial \left( cf\right) }{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( cf\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}} &=&c\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
c\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
c\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial \left( cf\right) }{\partial x_{k}}=c\frac{\partial f}{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は変数\(x_{k}\)について偏微分可能であるものとします。つまり、偏導関数\begin{equation*}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在するということです。関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
-f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)のスカラー倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた変数\(x_{k}\)について偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial g}{\partial x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial g\left( x\right) }{\partial x_{k}} &=&\frac{\partial \left(
-f\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
\vdots \\
-\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
\frac{\partial \left( -f\right) }{\partial x_{k}}=-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x^{2}\right) \\
\ln \left( y^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(\frac{\partial f}{\partial x}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial
x}\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x^{2}\right) \\
\ln \left( y^{2}\right)
\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial x}\left(
\begin{array}{c}
2\ln \left( x\right) \\
2\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\frac{\partial }{\partial x}2\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x\right) \\
\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\frac{\partial }{\partial x}\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x\right) \\
\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}\ln \left( x\right) \\
\frac{\partial }{\partial x}\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{2}{x} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

多変数のベクトル値関数のスカラー倍のヤコビ行列

先の命題より、ヤコビ行列に関する以下の命題が得られます。

命題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において偏微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において偏微分可能であり、そこでのヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{cf}\left( a\right) &=&cJ_{f}\left( a\right) \\
&=&c\left. J_{f}\left( x\right) \right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となる。

証明

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つまり、定義域上の点\(a\)において偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしている多変数のベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた点\(a\)において偏微分可能であるとともに、\(f\)のヤコビ行列\(J_{f}\left( a\right) \)をスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)のヤコビ行列\(J_{cf}\left( a\right) \)が得られることを上の命題は保証しています。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍のヤコビ行列)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f\)が偏微分可能である場合、ヤコビ行列関数\begin{equation*}J_{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在します。この場合には\(cf\)もまた偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{cf}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{cf}\left( x\right) &=&cJ_{f}\left( x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&c\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
c\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & c\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & c\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
J_{cf}=cJ_{f}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍のヤコビ行列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は偏微分可能であるものとします。つまり、ヤコビ行列関数\begin{equation*}J_{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が存在するということです。関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
-f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)のスカラー倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{g}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{g}\left( x\right) &=&J_{-f}\left( x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-J_{f}\left( x\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&-\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&\begin{pmatrix}
-\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & -\frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
-\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{1}} & \cdots & -\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{n}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
J_{-f}\left( x\right) =-J_{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍のヤコビ行列)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x^{2}\right) \\
\ln \left( y^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で偏微分可能であり、ヤコビ行列関数\(J_{f}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}J_{f}\left( x,y\right) &=&\frac{\partial }{\partial \left( x,y\right) }\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x^{2}\right) \\
\ln \left( y^{2}\right)
\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\partial }{\partial \left( x,y\right) }\left(
\begin{array}{c}
2\ln \left( x\right) \\
2\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\frac{\partial }{\partial \left( x,y\right) }2\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x\right) \\
\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\frac{\partial }{\partial \left( x,y\right) }\left(
\begin{array}{c}
\ln \left( x\right) \\
\ln \left( y\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{偏微分可能な関数のスカラー倍} \\
&=&2\begin{pmatrix}
\frac{\partial \ln \left( x\right) }{\partial x} & \frac{\partial \ln \left(
x\right) }{\partial y} \\
\frac{\partial \ln \left( y\right) }{\partial x} & \frac{\partial \ln \left(
y\right) }{\partial y}\end{pmatrix}\quad \because \text{ヤコビ行列の定義} \\
&=&2\begin{pmatrix}
\frac{1}{x} & 0 \\
0 & \frac{1}{y}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{2}{x} & 0 \\
0 & \frac{2}{y}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x^{2}y^{3}\right) }{\pi } \\
\frac{\sin \left( 3x^{2}+xy^{2}+y+1\right) }{\pi }\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めてください。
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問題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の偏微分)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
-e^{x^{2}+y^{3}} \\
-\left( x^{2}+y^{4}+1\right) ^{\pi }\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ヤコビ行列関数\(J_{f}\)を求めてください。
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