ベクトル値関数の定積分の加法性

1変数の実数関数の定積分に関しては加法性が成り立ちますが、本節では、同様の性質がベクトル値関数においても引き継がれることを確認します。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。

\(a<c<b\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、区間\(\left[ a,b\right] \)を2つの小区間\(\left[ a,c\right] ,\left[ c,b\right] \)へ分割できますが、この場合、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることと、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,c\right] \)上および\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であることは必要十分です。しかも、それらの定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{c}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。これを定積分の加法性（additivity）と呼びます。

先の命題は区間を2つに分割する状況を想定したものですが、区間を有限かつ任意個に分割する場合にも同様の主張が成り立ちます。証明では小区間の個数に関する数学的帰納法を利用します。

定積分の加法性の一般化

これまでは\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義されたベクトル値\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}について、\(a\)から\(b\)までの定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}について考えてきましたが、逆に、\(b\)から\(a\)までの定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{b}^{a}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{b}^{a}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{b}^{a}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
-\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&-\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{b}^{a}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=-\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}となります。つまり、定積分の端点を入れ替えると積分の符号が逆になるということです。

また、積分範囲の端点が等しい場合の定積分は、\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{a}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{a}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{a}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{a}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\boldsymbol{0}
\end{equation*}となります。つまり、積分範囲の端点が等しい場合の定積分はゼロベクトルになるということです。

定積分の加法性とは、\(a<c<b\)を満たす実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{c}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{c}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つという主張ですが、実数\(a,b,c\)の位置関係に関わらず同様の関係が成り立ちます。

演習問題