円運動の定式化
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とする半径\(R>0\)の円周上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は円の方程式\begin{equation*}x^{2}+y^{2}=R^{2}
\end{equation*}を満たします。動径\(OP\)が\(x\)軸の正の向きとなす角を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると、三角関数の定義より、\begin{eqnarray*}x &=&R\cos \left( \theta \right) \\
y &=&R\sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) \\
R\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&R\cos \left( \theta \right) i+R\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
このような事情を踏まえると、それぞれの角度\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その角度に対応する円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) \\
R\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。角度関数\(\boldsymbol{r}\)の成分関数を、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。つまり、任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( \theta \right) \\
y\left( \theta \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) \\
R\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。
\begin{array}{c}
2\cos \left( \theta \right) \\
2\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。
時間\(t\)の経過とともに角度\(\theta \)が変化する状況を想定した上で、両者の対応関係を関数\begin{equation*}\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現します。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} \)における角度が\(\theta \left(t\right) \in \mathbb{R} \)であるということです。初期時点\(t=0\)における角度を、\begin{equation*}\theta _{0}=\theta \left( 0\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。角度関数\(\theta \)が微分可能である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における角度の瞬間変化率は、\begin{equation*}\theta ^{\prime }\left( t\right) =\frac{d\theta \left( t\right) }{dt}
\end{equation*}ですが、これを時点\(t\)における角速度（angular velocity）と呼びます。角度関数\(\theta \)が\(C^{1}\)級である場合、微分積分学の第2基本定理より、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\theta \left( t\right) -\theta \left( 0\right) =\int_{0}^{t}\theta ^{\prime
}\left( s\right) ds
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\theta \left( t\right) &=&\int_{0}^{t}\theta ^{\prime }\left( s\right)
ds+\theta \left( 0\right) \\
&=&\int_{0}^{t}\theta ^{\prime }\left( s\right) ds+\theta _{0}
\end{eqnarray*}と表現できます。
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。この場合、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\theta \left( t\right) -\theta \left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\theta
^{\prime }\left( s\right) ds\quad \because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&\int_{0}^{t}\omega ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \omega s\right] _{0}^{t} \\
&=&\omega t
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\theta \left( t\right) &=&\omega t+\theta \left( 0\right) \\
&=&\omega t+\theta _{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\theta \left( t\right) =\omega t+\theta _{0}
\end{equation*}と表現できます。特に、初期時点\(0\)における角度が\(0\)である場合には、すなわち、\begin{equation*}\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\theta \left( t\right) =\omega t
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation}を定めるものとします。つまり、時間の経過とともに角速度が増加するということです。初期時点における角速度は、\begin{eqnarray*}
\theta _{0} &=&\theta \left( 0\right) \\
&=&0^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( \theta \left( t\right) \right) \\
y\left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を特定します。
\end{equation}と表現されるため、時点\(t\in \mathbb{R} \)における半径\(R\)の円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t\right) \\
R\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。このような運動を等速円運動（uniform circular motion）と呼びます。
\end{equation}と表現されるため、時点\(t\)における単位円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である場合、時点\(t\)における単位円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t^{2}\right) \\
\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t^{2}\right) \\
\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。
運動の解析：速度ベクトル
円運動のもとでの速度は以下の通りです。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\theta ^{\prime }\left( t\right) R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
先の命題を踏まえると、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\theta
^{\prime }\left( t\right) R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\theta ^{\prime }\left( t\right) R\left[ -R\sin \left( \theta \left(
t\right) \right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) +R\cos \left(
\theta \left( t\right) \right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right) \right] \\
&=&\theta ^{\prime }\left( t\right) R\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、任意の時点において速度ベクトルは位置ベクトルと直交します。言い換えると、速度ベクトルは常に円の接線方向を向いているということです。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\omega R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\omega R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t\right) \\
\cos \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で単位円上を移動する円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t^{2}\right) \\
\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2t\sin \left( t^{2}\right) \\
2t\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
運動の解析：加速度ベクトル
円運動のもとでの加速度は以下の通りです。
半径\(R>0\)の円運動において角度関数が\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が2階微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度が、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\theta ^{\prime \prime }\left( t\right)
R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) -\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
先の命題より、時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度が、\begin{equation}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\theta ^{\prime \prime }\left( t\right)
R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) -\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが明らかになりました。\(\left( 1\right) \)の右辺の第1項を構成するベクトルと位置ベクトルの内積をとると、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) =0
\end{equation*}となるため、両者は直交しています。したがって、\(\left( 1\right) \)の第1項\begin{equation*}\theta ^{\prime \prime }\left( t\right) R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は接線方向を向く加速度、すなわち接線加速度（tangential acceleration）です。一方、\(\left( 1\right) \)の右辺の第2項を構成するベクトル\begin{equation*}-\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は位置ベクトルとは逆向きのベクトルです。したがって、\(\left(1\right) \)の第2項\begin{equation*}-\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は円の中心方向を向くベクトル、すなわち向心加速度（centripetal acceleration）です。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\omega R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\omega R\left(
\begin{array}{c}
-\omega \cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
-\omega \sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\omega ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\omega ^{2}\boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を満たします。つまり、等速円運動では向心加速度だけが存在します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =-\omega ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \omega t\right) \\
\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
-\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を満たします。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で単位円上を移動する円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2t\sin \left( t^{2}\right) \\
2t\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t^{2}\right) \\
\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right) -4t^{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t^{2}\right) \\
\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。等速円運動の場合とは異なり、この例では接線加速度と向心加速度の双方が存在します。
運動の解析：速さ
円運動のもとでの速さは以下の通りです。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =R\left\vert \theta
^{\prime }\left( t\right) \right\vert
\end{equation*}と定まる。
\begin{array}{c}
-\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =R\omega
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
-\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =1
\end{equation*}です。
\end{equation*}である中で単位円上を移動する円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2t\sin \left( t^{2}\right) \\
2t\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =2t
\end{equation*}です。
運動の解析：道のり（弧長）
円運動のもとでの道のり（弧長）は以下の通りです。
半径\(R>0\)の円運動において角度関数が\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が\(C^{1}\)級であるとともに単調関数であるものとする。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =R\left\vert \theta \left( b\right) -\theta \left(
a\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\Lambda \left( a,b\right) \)は弧長である。
\end{equation*}が成り立つため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( a,b\right) &=&R\left\vert \left( \omega b+\theta _{0}\right)
-\left( \omega a+\theta _{0}\right) \right\vert \\
&=&R\left\vert \omega \left( b-a\right) \right\vert \\
&=&R\omega \left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}が成り立つため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( a,b\right) &=&\left\vert \left( b+\theta _{0}\right) -\left(
a+\theta _{0}\right) \right\vert \\
&=&\left\vert b-a\right\vert \\
&=&b-a
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}である中で単位円上を移動する円運動を想定した場合、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( a,b\right) &=&\left\vert b^{2}-a^{2}\right\vert \\
&=&b^{2}-a^{2}
\end{eqnarray*}となります。
円運動のフレネ標構
円運動のもとでの単位接ベクトルと主法線ベクトルおよび曲率は以下の通りです。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が\(C^{2}\)級の正則関数である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( t\right) &=&\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert }\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
\kappa \left( t\right) &=&\frac{1}{R}
\end{eqnarray*}が成り立つ。ただし、\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)は単位接ベクトル、\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)は主法線ベクトル、\(\kappa \left( t\right) \)は曲率である。
単位接ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert }\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は進行方向を表すため、これは円周の接線方向を向く単位ベクトルです。これは、物体は瞬間的には接線方向へ進もうとすることを意味します。主法線ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{N}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は進行方向に対して横から働くため、これは円の中心方向を向く単位ベクトルです。つまり、円運動において曲がる方向は常に中心方向です。曲率が、\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\frac{1}{R}
\end{equation*}であることは、曲率が円の半径と反比例することを意味します。つまり、半径が小さいほど曲率は大きく、半径が大きいほど曲率は小さくなります。以上の事実は、小さい円ほど急に曲がり、大きい円ほど緩やかに曲がるという直感と整合的です。
時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度をフレネ分解すると、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) +\kappa \left( t\right) \left[ v\left( t\right) \right] ^{2}\boldsymbol{N}\left( t\right) \quad \because \text{フレネ分解} \\
&=&v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) +\frac{\left[
v\left( t\right) \right] ^{2}}{R}\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を得ます。\(v\left( t\right) \)は速さであり、\begin{equation*}v\left( t\right) =R\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert
\end{equation*}です。以上より、円運動の速さの変化を担う接線加速度は、\begin{equation*}
v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) =\theta ^{\prime
\prime }\left( t\right) R\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、向きの変化を担う法線加速度は、\begin{equation*}
\frac{\left[ v\left( t\right) \right] ^{2}}{R}\boldsymbol{N}\left( t\right)
=-\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるとともに、これは向心加速度と一致します。等速円運動の場合には\(\theta ^{\prime }\left( t\right) \)は定数であることから\(v^{\prime }\left( t\right) =0\)となり、ゆえにこの場合には接線加速度が消失し、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\frac{\left[ v\left( t\right) \right] ^{2}}{R}\boldsymbol{N}\left( t\right) =-\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}R\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
円の中心の一般化
これまでは円の中心が原点\(O\)である状況を想定しましたが、中心を任意に設定した場合にも同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、座標が\(\left( c_{1},c_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であるような点\(C\)を中心とする半径\(R>0\)の円周上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は円の方程式\begin{equation*}\left( x-c_{1}\right) ^{2}+\left( y-c_{2}\right) ^{2}=R^{2}
\end{equation*}を満たします。動径\(CP\)が\(x\)軸の正の向きとなす角を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると、三角関数の定義より、\begin{eqnarray*}x &=&R\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
y &=&R\sin \left( \theta \right) +c_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
R\sin \left( \theta \right) +c_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left[ R\cos \left( \theta \right) +c_{1}\right] \boldsymbol{i}+\left[
R\sin \left( \theta \right) +c_{2}\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、それぞれの角度\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その角度に対応する円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
R\sin \left( \theta \right) +c_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( \theta \left( t\right) \right) \\
y\left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) +c_{1} \\
R\sin \left( \theta \left( t\right) \right) +c_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を特定します。
速度、加速度、速さ、道のり、フレネ標構に関しても先と同様の議論が可能です。
\end{equation}と表現されます。中心が\(\left( 1,1\right) \)であるような単位円上を動く点の時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) +1 \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right) +1
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) +1 \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right) +1\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t+\theta _{0}\right) +1 \\
\sin \left( t+\theta _{0}\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) +1 \\
\sin \left( t\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
3次元空間への拡張：斜面上での円運動
これまでは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上での円運動について考えてきましたが、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に平面を自由に設定した上で、その平面上で行われる円運動を記述するためにはどうすればよいでしょうか。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とする半径\(R>0\)の円周上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =R\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{i}+R\sin \left( \theta
\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}として与えられます。ただし、\(\boldsymbol{i}\)と\(\boldsymbol{j}\)は直交する単位ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に設定された平面上の円を表現するためには、その平面に対応する2つの直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\)を以下の要領で特定することになります。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の方程式\begin{equation*}ax+by+cz+d=0
\end{equation*}が与えられれば、平面の法線ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
c\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}として得られます。続いて、法線ベクトル\(\boldsymbol{n}\)と直交する任意の単位ベクトルを1つ選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{n}=0 \\
&&\left( b\right) \ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert =1
\end{eqnarray*}を満たすベクトル\(\boldsymbol{u}\in \mathbb{R} ^{3}\)を特定します。最後に、外積を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{u}}{\left\Vert
\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{u}\right\Vert }
\end{equation*}とすれば、\(\boldsymbol{n}\)および\(\boldsymbol{u}\)の双方と直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{3}\)が得られます。
以上の要領で、与えられた平面に対応する2つの直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{3}\)が得られた状況を想定します。さらに、この平面上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とする半径\(R>0\)の円周上を動く状況を想定します。動径\(OP\)がベクトル\(\boldsymbol{u}\)となす角を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =R\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+R\sin \left( \theta
\right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}として与えられます。
このような事情を踏まえると、それぞれの角度\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その角度に対応する円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =R\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+R\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&R\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{u}+R\sin \left(
\theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{v}
\end{eqnarray*}を特定します。
速度、加速度、速さ、道のり、フレネ標構に関しても先と同様の議論が可能です。ちなみに、円運動ではねじれが発生しないため、時間が変化しても従法線ベクトルは変化せず、捩率は常にゼロです。
x+y+z=0
\end{equation*}を満たす点\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)からなる平面\begin{equation*}\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z=0\right\}
\end{equation*}を想定します。この平面の法線ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。法線ベクトル\(\boldsymbol{u}\)と直交するベクトルとして、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を採用します。これを単位ベクトル化すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となります。双方と直交するベクトルは、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 0\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 0\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1\end{vmatrix}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。これを単位ベクトル化すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。半径が\(R\)であり中心が原点\(\left( 0,0,0\right) \)であるような円を想定します。角度\(\theta \in \mathbb{R} \)に対応する点の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =R\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+R\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}です。角速度\(\omega \)のもとでの等速円運動を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} :\theta \left( t\right) =\omega t+\theta _{0}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&R\cos \left(
\theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{u}+R\sin \left( \theta \left(
t\right) \right) \boldsymbol{v} \\
&=&R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \boldsymbol{u}+R\sin \left(
\omega t+\theta _{0}\right) \boldsymbol{v} \\
&=&\frac{R\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\frac{R\cos \left( \omega t+\theta
_{0}\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{R\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\frac{R\cos \left( \omega t\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{R\sin \left( \omega t\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
円の弧長パラメータ表示
円運動を分析する際には、円の幾何学的性質とともに、点が円上を動く際の速度も考慮する必要があるため、点の移動速度の変化を角度関数\(\theta \left( t\right) \)を用いて表現しました。一方、円の幾何学的性質、すなわち円の形状に関する性質を調べる際には点が動く速さという情報はノイズになります。そこで、以降では円を弧長パラメータ表示した上で、円の幾何学的性質を調べます。
初期時点\(t=0\)における角度を、\begin{equation*}\theta _{0}=\theta \left( 0\right) =0
\end{equation*}と設定します。円の幾何学的性質に興味があるため、点が円をちょうど1周（\(2\pi \)ラジアン）するのに要する時間\begin{equation*}T
\end{equation*}に注目しても一般性は失われません。つまり、\begin{equation*}
\theta \left( T\right) =2\pi
\end{equation*}が成り立つということです。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに狭義単調増加関数であるものとします。つまり、反時計回りの運動を想定するということです。この場合、角度関数の逆関数\begin{equation*}\theta ^{-1}:\mathbb{R} \supset \theta \left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在するため、\begin{equation*}
T=\theta ^{-1}\left( 2\pi \right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、1周期分の時間パラメータ\(t\)の定義域は、\begin{eqnarray*}I &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq t\leq T\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq t\leq \theta ^{-1}\left( 2\pi \right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。
弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}s\left( t\right) &=&\Lambda \left( 0,t\right) \\
&=&R\theta \left( t\right) \\
&>&0
\end{eqnarray*}を定めるため\(s\)は狭義単調増加関数です。ゆえに逆関数\begin{equation*}s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow I
\end{equation*}が存在して、これはそれぞれの弧長\(s\in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、以下の時間パラメータの値\begin{equation*}s^{-1}\left( s\right) =\theta ^{-1}\left( \frac{s}{R}\right)
\end{equation*}を定めます。さらに、この時間パラメータに対応する角度は、\begin{eqnarray*}
\theta \left( s^{-1}\left( s\right) \right) &=&\theta \left( \theta
^{-1}\left( \frac{s}{R}\right) \right) \\
&=&\frac{s}{R}
\end{eqnarray*}であるため、円の弧長パラメータ表示\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}がそれぞれの弧長\(s\in \left[0,2\pi \right] \)に対して定める位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( s\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left(
s^{-1}\left( s\right) \right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
R\cos \left( \frac{s}{R}\right) \\
R\sin \left( \frac{s}{R}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
2\cos \left( \frac{s}{2}\right) \\
2\sin \left( \frac{s}{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。
弧長パラメータ表示された円運動のもとでのフレネ標構は以下の通りです。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \frac{s}{R}\right) \\
R\sin \left( \frac{s}{R}\right)
\end{array}\right) \quad \left( s\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}において、弧長\(s\in \left[ 0,2\pi \right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( s\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \frac{s}{R}\right) \\
\cos \left( \frac{s}{R}\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( s\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \frac{s}{R}\right) \\
-\sin \left( \frac{s}{R}\right)
\end{array}\right) \\
\kappa \left( s\right) &=&\frac{1}{R}
\end{eqnarray*}が成り立つ。ただし、\(\boldsymbol{T}\left( s\right) \)は単位接ベクトル、\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)は主法線ベクトル、\(\kappa \left( s\right) \)は曲率である。
演習問題
0\right)
\end{equation*}で運動する点を考えます。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t\)における速度を求めてください。
- 時点\(t\)における速さを求めてください。
- \(t\rightarrow +\infty \)の場合、この点はどのような状態に近づくか、角度および速さの観点から答えてください。
\end{equation*}で運動する点を考えます。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t=0\)を出発点として、弧長が\(12\)に達する時点\(T\)を求めてください。
- その時点\(T\)における加速度ベクトルの大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{a}\left( T\right) \right\Vert \)を求めてください。
y+z=0
\end{equation*}によって定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の平面において、原点を中心とする半径\(2\)の円運動について考えます。ただし、これは角速度\(3\)の等速円運動であるものとします。また、初期時点\(t=0\)における角度は\(0\)であるものとします。以下の問いに答えてください。
- この平面上の正規直交基底\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\)を1組構成してください。
- 構成した規定を用いて、位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)を特定してください。
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