連続なベクトル値関数のリーマン積分可能性
1変数の実数値関数の積分において、連続関数はリーマン積分可能であるという事実は積分可能性を判定するための基本的な指標の1つでした。本節では、この性質がベクトル値関数においても引き継がれることを確認します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
連続なベクトル値関数はリーマン積分可能です。
命題（連続なベクトル値関数の積分可能性）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が連続であるならば、\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、その定積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
例（連続なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（連続なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がいずれも連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がいずれも連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（連続なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるためリーマン積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}xdx \\
\int_{0}^{1}x^{2}dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるためリーマン積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}xdx \\
\int_{0}^{1}x^{2}dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（変位の一意性）
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を移動する物体の時点\(t\in \left[ 0,T\right] \)における速度ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
v_{1}\left( t\right) \\
v_{2}\left( t\right) \\
v_{3}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,T\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{r}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{0}^{V}\boldsymbol{r}\left( t\right) dt=\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{V}v_{1}\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{V}v_{2}\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{V}v_{3}\left( t\right) dt\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。この定積分は時点\(T\)における物体の位置ベクトルです。ベクトル値関数がリーマン積分可能である場合に定積分は一意的に定まるため、以上の事実は、速度ベクトルを特定するベクトル値関数\(\boldsymbol{r}\)が連続である場合には物体の位置が一意的に定まることを意味します。
\begin{array}{c}
v_{1}\left( t\right) \\
v_{2}\left( t\right) \\
v_{3}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,T\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が連続である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{r}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{0}^{V}\boldsymbol{r}\left( t\right) dt=\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{V}v_{1}\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{V}v_{2}\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{V}v_{3}\left( t\right) dt\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。この定積分は時点\(T\)における物体の位置ベクトルです。ベクトル値関数がリーマン積分可能である場合に定積分は一意的に定まるため、以上の事実は、速度ベクトルを特定するベクトル値関数\(\boldsymbol{r}\)が連続である場合には物体の位置が一意的に定まることを意味します。
リーマン積分可能なベクトル値関数は連続であるとは限らない
先の命題はリーマン積分可能であるための十分条件であり、必要条件ではありません。つまり、有界閉区間上に定義された連続ではないベクトル値関数がリーマン積分可能であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
例（連続ではないリーマン積分可能なベクトル値関数）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は床関数であり、\(x\)を超えない最大の整数を表します。床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+0}\left\lfloor x\right\rfloor &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 1-0}\left\lfloor x\right\rfloor &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(x\rightarrow 1\)の場合に収束せず、ゆえに\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は連続ではありません。したがって\(\boldsymbol{f}\)もまた連続ではありません。その一方で、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は単調増加関数であり、\(-x\)は単調減少関数であるため\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調であるためリーマン積分可能です。定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}0dx+\int_{1}^{2}1dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ x\right] _{1}^{2} \\
\left[ -\frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は床関数であり、\(x\)を超えない最大の整数を表します。床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+0}\left\lfloor x\right\rfloor &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 1-0}\left\lfloor x\right\rfloor &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(x\rightarrow 1\)の場合に収束せず、ゆえに\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は連続ではありません。したがって\(\boldsymbol{f}\)もまた連続ではありません。その一方で、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は単調増加関数であり、\(-x\)は単調減少関数であるため\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調であるためリーマン積分可能です。定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}0dx+\int_{1}^{2}1dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ x\right] _{1}^{2} \\
\left[ -\frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
リーマン積分なベクトル値関数は無限個の点において連続
リーマン積分可能なベクトル値関数は連続であるとは限らないことが明らかになりました。その一方で、ベクトル値関数がリーマン積分可能である場合、その関数は無限個の点において連続であることは保証されます。
命題（リーマン積分なベクトル値関数は無限個の点において連続）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上の無限個の点において連続である。
先の命題の対偶をとると以下が得られます。
命題（ベクトル値関数がリーマン積分可能ではないための条件）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(\left[ a,b\right] \)上の有限個の点においてのみ連続である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ではない。
この命題は、有限個の点においてのみ連続なベクトル値関数はリーマン積分可能ではないという主張であり、無限個の点において不連続なベクトル値関数はリーマン積分可能ではないという主張ではないことに注意してください。実際、無限個の点において不連続でありながらリーマン積分可能なベクトル値関数は存在します。
不連続なベクトル値関数がリーマン積分可能であるための条件
不連続なベクトル値関数が有限個の点においてのみ連続である場合には、そのベクトル値関数はリーマン積分可能ではないことが明らかになりました。一方、不連続なベクトル値関関数が有限個の点においてのみ不連続である場合には、そのベクトル値関数はリーマン積分可能であることが保証されます。
命題（不連続なベクトル値関数がリーマン積分可能であるための条件）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(\left[ a,b\right] \)上で不連続であり、なおかつ、\(\boldsymbol{f}\)が不連続な点の個数が有限である場合には、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である。
これまでの議論を整理します。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された有界なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について、以下が成り立ちます：
- \(\boldsymbol{f}\)が連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能である。
- \(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能ならば、\(\boldsymbol{f}\)は無限個の点において連続である。
- \(\boldsymbol{f}\)が有限個の点においてのみ連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能ではない。
- \(\boldsymbol{f}\)が有限個の点においてのみ不連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能である。
- \(\boldsymbol{f}\)が無限個の点において連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるケースと、リーマン積分可能ではないケースがある。
- \(\boldsymbol{f}\)が無限個の点において不連続ならば、\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるケースと、リーマン積分可能ではないケースがある。
演習問題
問題（連続性とリーマン積分可能性）
以下の条件を満たすベクトル値関数の具体例を挙げてください。
- 無限個の点において連続であるとともにリーマン積分可能なベクトル値関数。
- 無限個の点において連続であるとともにリーマン積分可能ではないベクトル値関数。
- 無限個の点において不連続であるとともにリーマン積分可能なベクトル値関数。
- 無限個の点において不連続であるとともにリーマン積分可能ではないベクトル値関数。
問題（ベクトル値関数のリーマン積分可能性）
トマレ関数を\(T:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。その上で、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert T\left( x\right) \right\vert \\
\left\vert x\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるか判定してください。
\begin{array}{c}
\left\vert T\left( x\right) \right\vert \\
\left\vert x\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるか判定してください。
問題（デジタル信号における信号の復元）
ある通信システムにおいて、時点\(t\in \left[ 0,1\right] \)における受信信号がベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{s}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
v\left( t\right) \\
\phi \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}として観測されているものとします。ただし、\(v\left( t\right) \)は電圧であり、\(\phi \left( t\right) \)は位相です。機器の不具合により、信号には以下の特性があることがわかりました。まず、電圧\(v\left( t\right) \)は時点\(t=\frac{1}{2}\)において急激な電圧変化を起こす。具体的には、\begin{equation*}v\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
5 & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{2}\right) \\
2 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。また、位相\(\phi \left( t\right) \)は高周波ノイズの影響により、有理数時刻で\(1\)を示し、無理数時刻で\(0\)を示すものとする。つまり、\begin{equation*}\phi \left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ t\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ t\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{c}
v\left( t\right) \\
\phi \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}として観測されているものとします。ただし、\(v\left( t\right) \)は電圧であり、\(\phi \left( t\right) \)は位相です。機器の不具合により、信号には以下の特性があることがわかりました。まず、電圧\(v\left( t\right) \)は時点\(t=\frac{1}{2}\)において急激な電圧変化を起こす。具体的には、\begin{equation*}v\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
5 & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{2}\right) \\
2 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。また、位相\(\phi \left( t\right) \)は高周波ノイズの影響により、有理数時刻で\(1\)を示し、無理数時刻で\(0\)を示すものとする。つまり、\begin{equation*}\phi \left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ t\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ t\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}である。以下の問いに答えてください。
- 受信信号\(\boldsymbol{s}\left( t\right) \)は区間\(\left[ 0,1\right] \)においてリーマン積分可能であるか判定してください。
- システムの累積電力は積分の平均値\(\int_{0}^{1}v\left( t\right) dt\)で評価されるものとします。これを計算してください。
- この通信データから、累積の位相変化量をリーマン積分によって算出できるでしょうか。実務的な観点から考察してください。
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