滑らかな曲線の曲率

曲線の弧長関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は滑らかであるものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるとともに、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つということです。

滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する滑らかな曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( u\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ u\in \left[ a,t\right] \right\}
\end{equation*}が得られます。この曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を媒介変数表示すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{m}=f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。

点\(t\in \left[ a,b\right] \)を任意に選べば、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,t\right] \)上においても滑らかであるため、曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( u\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ u\in \left[ a,t\right] \right\}
\end{equation*}の長さが、\begin{equation*}
\int_{a}^{t}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( u\right) }{du}\right\Vert
du=\int_{a}^{t}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}du
\end{equation*}として定まります。このような事情を踏まえると、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}s\left( t\right) =\int_{a}^{t}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
u\right) }{du}\right\Vert du
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを弧長関数（arc length function）と呼びます。

曲線の弧長パラメータ表示

滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられている状況を想定します。つまり、\(s\)はそれぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}s\left( t\right) =\int_{a}^{t}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
u\right) }{du}\right\Vert du
\end{equation*}を定めます。\(\boldsymbol{f}\)は滑らかであるため\(\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( u\right) }{du}\right\Vert \)は連続関数であり、したがって微分積分学の第1基本定理より、\begin{equation*}\frac{d}{dt}\int_{a}^{t}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( u\right) }{du}\right\Vert du=\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( u\right) }{du}\right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{ds\left( t\right) }{dt}=\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\Vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、\(\boldsymbol{f}\)が滑らかであることから、\begin{equation}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert >0 \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{ds\left( t\right) }{dt}>0
\end{equation*}を得ます。任意の\(t\in \left[a,b\right] \)について同様であるため\(s\)は狭義単調増加関数であり、したがって\(s\)の逆関数が存在します。ただし、\begin{equation*}s\left( a\right) =\int_{a}^{a}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
u\right) }{du}\right\Vert du=0
\end{equation*}ゆえに\(s\)の値域は\(\left[ 0,s\left(b\right) \right] \)であることを踏まえた上で、\(s\)の逆関数を、\begin{equation*}t:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \left[ a,b\right] \end{equation*}で表記します。つまり、\(t\)がそれぞれの弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)に対して定める値\(t\left( s\right) \in \left[0,s\left( b\right) \right] \)は以下の条件\begin{equation*}s=\int_{a}^{t\left( s\right) }\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
u\right) }{du}\right\Vert du
\end{equation*}を満たします。パラメータの値が\(a\)から\(t\left(s\right) \)まで増加する場合の曲線の長さが\(s\)と一致するということです。さらに、\(s\in \left[ 0,s\left(b\right) \right] \)を選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{dt\left( s\right) }{ds} &=&\frac{1}{\frac{ds\left( t\left( s\right)
\right) }{dt}}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right)
}{dt}\right\Vert }\quad \because \left( 1\right) \\
&>&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。結果をまとめます。

以上の命題を踏まえた上で合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\circ t:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義すれば、これはそれぞれの弧長\(s\in \left[0,s\left( b\right) \right] \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) \left( s\right) =\boldsymbol{f}\left(
t\left( s\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\left( s\right) \right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\left( s\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。弧長が\(s\)である時点においてパラメータの値は\(a\)から\(t\left( s\right) \)まで増加しているため、\(\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right) \)すなわち\(\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) \left( s\right) \)の値は、点が曲線の始点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)から曲線に沿って弧長\(s\)分だけ移動した後の位置ベクトルに相当します。

この合成関数\(\boldsymbol{f}\circ t\)から定義される曲線\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) &=&\left\{ \left( \boldsymbol{f}\circ
t\right) \left( s\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\left( s\right) \right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\left( s\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \right\}
\end{eqnarray*}をもとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長パラメータ表示（arc length parametrization）と呼びます。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と弧長パラメータ表示\(C\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する同一の集合ですが、採用しているパラメータが異なります。

弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) \left( s\right) }{ds} &=&\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right) }{ds}\quad \because
\boldsymbol{f}\circ t\text{の定義} \\
&=&\frac{dt\left( s\right) }{ds}\cdot \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\vert _{t=t\left( s\right) }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{dt\left( s\right) }{ds}\cdot \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left(
s\right) \right) }{dt} \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right)
}{dt}\right\Vert }\cdot \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right)
}{dt}\quad \because \text{先の命題}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \frac{d\left( \boldsymbol{f}\circ t\right) \left( s\right) }{ds}\right\Vert &=&\left\Vert \frac{1}{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\left( s\right) \right) }{dt}\right\Vert }\cdot \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\left( s\right) \right) }{dt}\right\Vert \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left( s\right) \right)
}{dt}\right\Vert }\cdot \left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\left(
s\right) \right) }{dt}\right\Vert \quad \because \text{ノルムの斉次性} \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、弧長パラメータ表示の接線ベクトルの大きさは常に一定です。弧長パラメータ表示ではパラメータとして弧長を採用しているため、パラメータの値の変化が点の移動距離に対応しており、したがって曲線上の点が一定の速さで動きます。

曲線の単位接ベクトル

滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。この場合、任意の\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)かつ\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)\right\Vert >0\)が成り立つため、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }=\frac{\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}}{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert }
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{T}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)を\(t\)における単位接ベクトル（unit tangent vector）と呼びます。これは、これはパラメータの値\(t\)に対応する曲線上の点において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)がどちらの方向を向いているかを表す指標です。

単位接ベクトルは単位ベクトルであるため、その大きさは\(1\)です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が滑らかであるだけでなく2階微分可能でもある場合には\(\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(t\right) \right\Vert }\)すなわち\(\boldsymbol{T}\)もまた微分可能であるため、その導関数\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の存在を保証できます。この場合、任意の\(t\in \left[ a,b\right] \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right)
=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \)は直交します。

曲線の曲率

滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。さらに、\(s\)の逆関数を\(t:\mathbb{R} \supset s\left( \left[ a,b\right] \right) \rightarrow \left[ a,b\right] \)で表記した上で合成関数\(f\circ t:\mathbb{R} \supset s\left( \left[ a,b\right] \right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。

パラメータの値\(t\in \left[ a,b\right] \)における単位接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}と定義されます。弧長\(s\in s\left( \left[ a,b\right] \right) \)に対応するパラメータの値は\(t\left( s\right) \in \left[ a,b\right] \)であるため、そこでの単位接ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\left( s\right) \right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( t\left( s\right) \right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
t\left( s\right) \right) \right\Vert }
\end{equation*}です。これは弧長\(s\)に対応する点において曲線がどちらの方向を向いているかを表す指標です。

弧長が\(s\in s\left( \left[ a,b\right] \right) \)である場合、そこでの単位接ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( t\left( s\right) \right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( t\left( s\right) \right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
t\left( s\right) \right) \right\Vert }
\end{equation*}として定まります。これは弧長\(s\)に関する関数であるため、以下の指標\begin{equation*}\kappa \left( s\right) =\left\Vert \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\left(
s\right) \right) }{ds}\right\Vert
\end{equation*}が定義可能です。これを弧長\(s\)における曲率（curvature）と呼びます。これは弧長\(s\)に対応する点における単位接ベクトルの瞬間変化率の大きさです。

パラメータの値\(t\in \left[ a,b\right] \)に対応する弧長は\(s\left( t\right) \)であるため、そこでの曲率は、\begin{eqnarray*}\kappa \left( s\left( t\right) \right) &=&\left\Vert \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\left( s\left( t\right) \right) \right) }{ds}\right\Vert \quad
\because \text{曲率の定義} \\
&=&\left\Vert \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{ds}\right\Vert \quad
\because t\text{は}s\text{の逆関数}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
\frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d\boldsymbol{T}\left(
t\left( s\left( t\right) \right) \right) }{dt}\quad \because t\text{は}s\text{の逆関数} \\
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\left( s\right) \right) }{ds}\right\vert _{s=s\left( t\right) }\cdot \frac{ds\left( t\right) }{dt}\quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{d\boldsymbol{T}\left( t\left( s\left( t\right) \right) \right) }{ds}\cdot \left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert \quad
\because \text{先の命題} \\
&=&\frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{ds}\cdot \left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert \quad \because t\text{は}s\text{の逆関数}
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\kappa \left( s\left( t\right) \right) &=&\left\Vert \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{ds}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \frac{\frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{dt}}{\left\Vert
\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert }\right\Vert \\
&=&\frac{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{T}\left( t\right) }{dt}\right\Vert }{\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert }\quad
\because \text{ノルムの斉次性} \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{eqnarray*}を得ます。そこで、改めてこれを、\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)
\right\Vert }
\end{equation*}で表記し、これを\(t\)における曲率（curvature）と呼びます。

空間上に存在する曲線の曲率

これまでは\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する曲線について考えてきましたが、ここでは\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲線に議論の対象を限定します。この場合、曲率を以下のように導出できます。

先に示したように単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left(t\right) \)とその微分\(\boldsymbol{T}^{\prime}\left( t\right) \)は直交します。単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)は単位ベクトルである一方で、その微分\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \)は単位ベクトルではありません。曲率は、\begin{equation*}\kappa \left( t\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)
\right\Vert }
\end{equation*}であるため、\(\kappa \left( t\right)\not=0\)である場合には\(\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert >0\)となり、したがって、この場合には\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left(t\right) \)を単位ベクトル化することにより得られる以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert }
\end{equation*}が定義可能です。これを\(t\)における単位主法線ベクトル（principal unit normal vector）や単位法線ベクトル（unit normal）などと呼びます。

単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と単位種法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)の外積を、\begin{equation*}\boldsymbol{B}\left( t\right) =\boldsymbol{T}\left( t\right) \times
\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(t\)における従法線ベクトル（binormal vector）と呼びます。法線ベクトルの定義より、\(\boldsymbol{B}\left(t\right) \)は\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)の双方と垂直です。

平面上に存在する曲線の曲率

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線に関しては、曲率を以下のように導出できます。

1変数関数のグラフの曲率

有界閉区間上に定義された1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線ですが、これはどのようなベクトル値関数によって表現できるでしょうか。それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義すれば、この\(\boldsymbol{g}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{g}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{g}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{g}\right) =G\left( f\right)
\end{equation*}を得ます。この曲線\(C\left( \boldsymbol{g}\right) \)の曲率は以下のようにして導出可能です。

演習問題