楕円運動の定式化
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とし、\(x\)軸に沿った半径\(A>0\)と\(y\)軸に沿った半径\(B>0\)を持つ楕円上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は楕円の方程式\begin{equation}\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。
円をパラメータ表示する際には動径\(OP\)と\(x\)軸の正方向のなす角、すなわち偏角をパラメータ\(\theta \)として採用しましたが、楕円の場合には偏角をパラメータ\(\theta \)として採用できません。そのことを示すために、楕円上の点\(P\)の座標を\(\left( x,y\right) \)とし、動径\(OP\)と\(x\)軸の正方向のなす角を\(\theta \)として議論を進めます。この場合、正接の定義より、\begin{equation}\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、\(x\)は動径\(OP\)を伸ばすことにより得られる半直線と半径\(A\)の円の交点の\(x\)座標であるため、\begin{equation*}\cos \left( \theta \right) =\frac{x}{A}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x=A\cos \left( \theta \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ち、\(y\)は動径\(OP\)を伸ばすことにより得られる半直線と半径\(B\)の円の交点の\(y\)座標であるため、\begin{equation*}\sin \left( \theta \right) =\frac{y}{B}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
y=B\sin \left( \theta \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\frac{y}{x}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{B\sin \left( \theta \right) }{A\cos \left( \theta \right) }\quad
\because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\frac{B}{A}\tan \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\tan \left( \theta \right) =\frac{B}{A}\tan \left( \theta \right)
\end{equation*}を得ますが、\(A\not=B\)である場合にこの等式は成り立ちません。したがって、楕円の場合にはパラメータ\(\theta \)として動径\(OP\)と\(x\)軸の正方向のなす角を採用できません。以下で代替的なパラメータを定義します。
\(x\)軸の正方向となす角が\(\theta \)であるような半直線を描いた上で、その半直線と半径\(A\)の円の交点\(P_{A}\)の座標を\(\left( x_{A},y_{A}\right) \)で表記し、その半直線と半径\(B\)の円の交点\(P_{B}\)の座標を\(\left(x_{B},y_{B}\right) \)で表記します。このとき、点\(P_{A}\)の\(x\)座標と点\(P_{B}\)の\(y\)座標の組\begin{equation*}\left( x_{A},y_{B}\right)
\end{equation*}をとれば、これは楕円上の点になります。この座標を具体的に特定すると、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta \right) &=&\frac{x_{A}}{A} \\
\sin \left( \theta \right) &=&\frac{y_{B}}{B}
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left( x_{A},y_{B}\right) =\left( A\cos \left( \theta \right) ,B\sin \left(
\theta \right) \right)
\end{equation*}となります。
以上の議論を踏まえた上で、逆に、楕円上の点\(P\)の座標が\(\left(x,y\right) \)である場合、それに対して以下の条件\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( A\cos \left( \theta \right) ,B\sin \left( \theta
\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{x}{A},\frac{y}{B}\right) =\left( \cos \left( \theta \right)
,\sin \left( \theta \right) \right)
\end{equation*}を満たす\(\theta \)をパラメータとして採用し、これを点\(P\)の離心角（eccentric angle）や離心近点角（eccentric anamaly）などと呼びます。
楕円上の点\(P\)の離心角を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると、定義より、\begin{eqnarray*}x &=&A\cos \left( \theta \right) \\
y &=&B\sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \right) \\
B\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&A\cos \left( \theta \right) i+B\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
このような事情を踏まえると、それぞれの離心角\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その離心角に対応する楕円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \right) \\
B\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。角度関数\(\boldsymbol{r}\)の成分関数を、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。つまり、任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( \theta \right) \\
y\left( \theta \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \right) \\
B\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
\begin{array}{c}
2\cos \left( \theta \right) \\
3\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。
\begin{array}{c}
R\cos \left( \theta \right) \\
R\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。これは半径\(R\)の円に他なりません。離心角\(\theta \)に対応するこの円上の点\(P\)の座標を\(\left(x,y\right) \)で表記する場合、\begin{eqnarray*}\frac{y}{x} &=&\frac{R\sin \left( \theta \right) }{R\cos \left( \theta
\right) } \\
&=&\tan \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、この場合の\(\theta \)は\(OP\)と\(x\)軸の正の部分のなす角、すなわち点\(P\)の偏角でもあります。
時間\(t\)の経過とともに離心角\(\theta \)が変化する状況を想定した上で、両者の対応関係を関数\begin{equation*}\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として表現します。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} \)における離心角が\(\theta\left( t\right) \in \mathbb{R} \)であるということです。初期時点\(t=0\)における角度を、\begin{equation*}\theta _{0}=\theta \left( 0\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。角度関数\(\theta \)が微分可能である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における離心角の瞬間変化率は、\begin{equation*}\theta ^{\prime }\left( t\right) =\frac{d\theta \left( t\right) }{dt}
\end{equation*}ですが、これを時点\(t\)における離心角速度（eccentric angular velocity）と呼びます。角度関数\(\theta \)が\(C^{1}\)級である場合、微分積分学の第2基本定理より、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\theta \left( t\right) -\theta \left( 0\right) =\int_{0}^{t}\theta ^{\prime
}\left( s\right) ds
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\theta \left( t\right) &=&\int_{0}^{t}\theta ^{\prime }\left( s\right)
ds+\theta \left( 0\right) \\
&=&\int_{0}^{t}\theta ^{\prime }\left( s\right) ds+\theta _{0}
\end{eqnarray*}と表現できます。
\end{equation}が成り立つこととして表現されます。この場合、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\theta \left( t\right) -\theta \left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\theta
^{\prime }\left( s\right) ds\quad \because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&\int_{0}^{t}\omega ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \omega s\right] _{0}^{t} \\
&=&\omega t
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\theta \left( t\right) &=&\omega t+\theta \left( 0\right) \\
&=&\omega t+\theta _{0}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\theta \left( t\right) =\omega t+\theta _{0}
\end{equation*}と表現できます。特に、初期時点\(0\)における角度が\(0\)である場合には、すなわち、\begin{equation*}\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\theta \left( t\right) =\omega t
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation}を定めるものとします。つまり、時間の経過とともに離心角速度が増加するということです。初期時点における離心角速度は、\begin{eqnarray*}
\theta _{0} &=&\theta \left( 0\right) \\
&=&0^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの楕円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を特定します。
\end{equation}と表現されるため、時点\(t\in \mathbb{R} \)における半径\(A,B>0\)の楕円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t\right) \\
B\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。このような運動を等角速楕円運動（uniform eccentric-angle motion on an ellipse）と呼びます。これを等速楕円運動と呼ばない理由は後に明らかになります。
\end{equation}と表現されるため、時点\(t\)における半径\(A,B>0\)の楕円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t\right) \\
B\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である場合、時点\(t\)における半径\(A,B>0\)の楕円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t^{2}\right) \\
B\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t^{2}\right) \\
B\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。
楕円運動の解析：速度ベクトル
楕円運動のもとでの速度は以下の通りです。
半径\(A,B>0\)の楕円運動において角度関数が\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\theta ^{\prime }\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
円運動では任意の時点において速度ベクトルと位置ベクトルは直交しましたが、楕円運動の場合、速度ベクトルと位置ベクトルは直交するとは限りません。実際、時点\(t\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\theta
^{\prime }\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\theta ^{\prime }\left( t\right) \left[ -A^{2}\sin \left( \theta \left(
t\right) \right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos
\left( \theta \left( t\right) \right) \sin \left( \theta \left( t\right)
\right) \right] \\
&=&\theta ^{\prime }\left( t\right) \left( B^{2}-A^{2}\right) \sin \left(
\theta \left( t\right) \right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{2}\left( B^{2}-A^{2}\right) \sin
\left( 2\theta \left( t\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\not=B\)の場合に両者は直交するとは限りません。両者が直交するための条件は、\begin{equation*}\sin \left( 2\theta \left( t\right) \right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\theta \left( t\right) =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\cdots
\end{equation*}です。つまり、各軸の頂点において両者は直交します。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\omega \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\omega \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \omega t\right) \\
B\cos \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( t\right) \\
B\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で半径\(A,B\)の楕円上を移動する楕円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t^{2}\right) \\
B\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2At\sin \left( t^{2}\right) \\
2Bt\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
楕円運動の解析：加速度ベクトル
楕円運動のもとでの加速度は以下の通りです。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が2階微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\theta ^{\prime \prime }\left( t\right)
\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) -\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定まる。
先の命題より、時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度が、\begin{equation}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\theta ^{\prime \prime }\left( t\right)
\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) -\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが明らかになりました。\(\left( 1\right) \)の右辺の第1項を構成するベクトル\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は速度ベクトルと同一方向を向いているため、\(\left( 1\right) \)の第1項\begin{equation*}\theta ^{\prime \prime }\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は接線方向を向く加速度、すなわち接線加速度（tangential acceleration）です。円の場合とは異なり、楕円の場合には接線加速度の方向（速度ベクトルの方向）は位置ベクトルとは直交するとは限りません。一方、\(\left( 1\right) \)の右辺の第2項を構成するベクトル\begin{equation*}-\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は位置ベクトルとは逆向きのベクトルです。したがって、\(\left(1\right) \)の第2項\begin{equation*}-\left[ \theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は楕円の中心方向を向くベクトル、すなわち向心加速度（centripetal acceleration）です。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\omega \left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\omega \left(
\begin{array}{c}
-\omega A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
-\omega B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\omega ^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\omega ^{2}\boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を満たします。つまり、等角速楕円運動では向心加速度だけが存在します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =-\omega ^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t\right) \\
B\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
-B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を満たします。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =-\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t\right) \\
B\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で半径\(A,B\)の楕円上を移動する楕円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t^{2}\right) \\
B\sin \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2At\sin \left( t^{2}\right) \\
2Bt\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における加速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) -4t^{2}\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。等角速楕円運動の場合とは異なり、この例では接線加速度と向心加速度の双方が存在します。
楕円運動の解析：速さ
楕円運動のもとでの速さは以下の通りです。
半径\(A,B>0\)の楕円運動において角度関数が\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が微分可能であるならば、時点\(t\in \mathbb{R} \)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\left\vert \theta
^{\prime }\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta \left( t\right) \right)
}
\end{equation*}と定まる。
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\omega \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \omega t+\theta _{0}\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \omega t+\theta
_{0}\right) }
\end{equation*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\omega \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \omega t\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \omega t\right) }
\end{equation*}となります。等角速楕円運動であっても速さは一定ではないことに注意が必要です。これが等角速楕円運動を等速楕円運動と呼ばない根拠です。
\begin{array}{c}
-A\sin \left( t+\theta _{0}\right) \\
B\cos \left( t+\theta _{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( t+\theta _{0}\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( t+\theta _{0}\right) }
\end{equation*}を満たします。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( t\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( t\right) }
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で半径\(A,B\)の楕円上を移動する楕円運動を想定した場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2At\sin \left( t^{2}\right) \\
2Bt\cos \left( t^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。したがって、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =2t\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( t+\theta _{0}\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( t+\theta _{0}\right) }
\end{equation*}です。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =2t\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( t\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( t\right) }
\end{equation*}となります。
楕円運動の解析：道のり（弧長）
楕円運動のもとでの道のり（弧長）は以下の通りです。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が\(C^{1}\)級であるとともに単調関数であるものとする。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( a,b\right) &=&\int_{a}^{b}\left\vert \theta ^{\prime }\left(
t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( \theta \left( t\right)
\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) }dt \\
&=&\left\vert \int_{\theta \left( a\right) }^{\theta \left( b\right) }\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つ。ただし、\(\Lambda \left( a,b\right) \)は弧長である。
\end{equation*}が成り立つため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\int_{\omega a+\theta _{0}}^{\omega b+\theta _{0}}\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}となります。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\Lambda \left( a,b\right) =\int_{\omega a}^{\omega b}\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つため、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\int_{a+\theta _{0}}^{b+\theta _{0}}\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}となります。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}の場合には、\begin{equation*}
\Lambda \left( a,b\right) =\int_{a}^{b}\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( u\right)
+B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}となります。
\end{equation*}である中で半径\(A,B\)の楕円上を移動する楕円運動を想定した場合、\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\int_{a^{2}}^{b^{2}}\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left(
u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}となります。
楕円運動のフレネ標構
楕円運動のもとでの単位接ベクトルと主法線ベクトルおよび曲率は以下の通りです。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表記する。\(\theta \)が\(C^{2}\)級の正則関数である場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{T}\left( t\right) &=&\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) }}\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{N}\left( t\right) &=&\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) }}\left(
\begin{array}{c}
-B\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
\kappa \left( t\right) &=&\frac{AB}{\left[ A^{2}\sin ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) \right] ^{\frac{3}{2}}}
\end{eqnarray*}が成り立つ。ただし、\(\boldsymbol{T}\left( t\right) \)は単位接ベクトル、\(\boldsymbol{N}\left( t\right) \)は主法線ベクトル、\(\kappa \left( t\right) \)は曲率である。
単位接ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{T}\left( t\right) =\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) }}\left(
\begin{array}{c}
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は進行方向を表すため、これは楕円の接線方向を向く単位ベクトルです。これは、物体は瞬間的には接線方向へ進もうとすることを意味します。単位接ベクトルは接線加速度と同じ方向を向いています。一方、主法線ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{N}\left( t\right) =\frac{\theta ^{\prime }\left( t\right) }{\left\vert \theta ^{\prime }\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta
\left( t\right) \right) }}\left(
\begin{array}{c}
-B\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
-A\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}は進行方向に対して真横から働く単位ベクトルであり、これは物体が曲がる方向を表します。ここでのポイントは、円運動とは異なり、楕円運動の場合には主法線ベクトルは楕円の中心を向いているとは限らず、ゆえに主法線ベクトルと向心加速度の向きは一致するとは限らないということです。
時点\(t\in \mathbb{R} \)における加速度をフレネ分解すると、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =v^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{T}\left( t\right) +\kappa \left( t\right) \left[ v\left( t\right) \right] ^{2}\boldsymbol{N}\left( t\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、楕円運動の速さの変化を担う接線加速度のスカラーは、\begin{equation*}
v^{\prime }\left( t\right) =\frac{d}{dt}\left[ \left\vert \theta ^{\prime
}\left( t\right) \right\vert \sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( \theta \left(
t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta \left( t\right) \right) }\right]
\end{equation*}である一方で、向きの変化を担う法線加速度のスカラーは、\begin{equation*}
\kappa \left( t\right) \left[ v\left( t\right) \right] ^{2}=\frac{AB\left[
\theta ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}{\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left(
\theta \left( t\right) \right) +B^{2}\cos ^{2}\left( \theta \left( t\right)
\right) }}
\end{equation*}です。特に、等速円運動の場合には接線成分が消失しましたが、等角速楕円運動の場合には\(\theta ^{\prime }\left( t\right) \)が定数であったとしても接線加速度は消失しません。
楕円の中心の一般化
これまでは楕円の中心が原点\(O\)である状況を想定しましたが、中心を任意に設定した場合にも同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、座標が\(\left( c_{1},c_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であるような点\(C\)を中心とする半径\(A,B>0\)の楕円上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は楕円の方程式\begin{equation*}\frac{\left( x-c_{1}\right) ^{2}}{A^{2}}+\frac{\left( y-c_{2}\right) ^{2}}{B^{2}}=1
\end{equation*}を満たします。
楕円上の点\(P\)の離心角を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると、定義より、\begin{eqnarray*}x &=&A\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
y &=&B\sin \left( \theta \right) +c_{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
B\sin \left( \theta \right) +c_{2}\end{array}\right) \\
&=&\left[ A\cos \left( \theta \right) +c_{1}\right] \boldsymbol{i}+\left[
B\sin \left( \theta \right) +c_{2}\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
このような事情を踏まえると、それぞれの離心角\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その離心角に対応する楕円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \right) +c_{1} \\
B\sin \left( \theta \right) +c_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの楕円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( \theta \left( t\right) \right) \\
y\left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) +c_{1} \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right) +c_{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を特定します。
速度、加速度、速さ、道のり、フレネ標構に関しても先と同様の議論が可能です。
\end{equation}と表現されます。中心が\(\left( 1,1\right) \)であり半径が\(A,B>0\)であるような楕円上を動く点の時点\(t\in \mathbb{R} \)における位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) +1 \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right) +1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) +1 \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right) +1\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t+\theta _{0}\right) +1 \\
B\sin \left( t+\theta _{0}\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
A\cos \left( t\right) +1 \\
B\sin \left( t\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
3次元空間への拡張：斜面上での楕円運動
これまでは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上での楕円運動について考えてきましたが、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に平面を自由に設定した上で、その平面上で行われる楕円運動を記述するためにはどうすればよいでしょうか。
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とする半径\(A,B>0\)の楕円上を動く場合、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =A\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{i}+B\sin \left( \theta
\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}として与えられます。ただし、\(\theta \)は点\(P\)の離心角であり、さらに\(\boldsymbol{i}\)と\(\boldsymbol{j}\)は直交する単位ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に設定された平面上の楕円を表現するためには、その平面に対応する2つの直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\)を以下の要領で特定することになります。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の方程式\begin{equation*}ax+by+cz+d=0
\end{equation*}が与えられれば、平面の法線ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left(
\begin{array}{c}
a \\
b \\
c\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}として得られます。続いて、法線ベクトル\(\boldsymbol{n}\)と直交する任意の単位ベクトルを1つ選びます。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{n}=0 \\
&&\left( b\right) \ \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert =1
\end{eqnarray*}を満たすベクトル\(\boldsymbol{u}\in \mathbb{R} ^{3}\)を特定します。最後に、外積を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{u}}{\left\Vert
\boldsymbol{n}\times \boldsymbol{u}\right\Vert }
\end{equation*}とすれば、\(\boldsymbol{n}\)および\(\boldsymbol{u}\)の双方と直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{3}\)が得られます。
以上の要領で、与えられた平面に対応する2つの直交する単位ベクトル\(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{3}\)が得られた状況を想定します。さらに、この平面上の点\(P\)が、原点\(O\)を中心とする半径\(A,B>0\)の楕円上を動く状況を想定します。ベクトル\(\boldsymbol{u}\)から測った点\(P\)の離心角を\(\theta\in \mathbb{R} \)で表記すると、点\(P\)の座標\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =A\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+B\sin \left( \theta
\right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}として与えられます。
このような事情を踏まえると、それぞれの離心角\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その離心角に対応する楕円上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =A\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+B\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}を特定するベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の終集合と位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の始集合はともに\(\mathbb{R} \)であるため合成関数\begin{equation*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} \)について、そのときの楕円上の点の位置ベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&\boldsymbol{r}\left( \theta \left( t\right) \right) \\
&=&A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{u}+B\sin \left(
\theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{v}
\end{eqnarray*}を特定します。
速度、加速度、速さ、道のり、フレネ標構に関しても先と同様の議論が可能です。ちなみに、楕円運動ではねじれが発生しないため、時間が変化しても従法線ベクトルは変化せず、捩率は常にゼロです。
x+y+z=0
\end{equation*}を満たす点\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)からなる平面\begin{equation*}\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x+y+z=0\right\}
\end{equation*}を想定します。この平面の法線ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。法線ベクトル\(\boldsymbol{u}\)と直交するベクトルとして、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を採用します。これを単位ベクトル化すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となります。双方と直交するベクトルは、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \times \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 0\end{vmatrix}
\\
-\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 0\end{vmatrix}
\\
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1\end{vmatrix}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。これを単位ベクトル化すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。半径が\(A,B>0\)であり中心が原点\(\left(0,0,0\right) \)であるような楕円を想定します。離心角\(\theta \in \mathbb{R} \)に対応する点の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( \theta \right) =A\cos \left( \theta \right) \boldsymbol{u}+B\sin \left( \theta \right) \boldsymbol{v}
\end{equation*}です。離心角速度\(\omega \)のもとでの等角速楕円運動を想定します。つまり、\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} :\theta \left( t\right) =\omega t+\theta _{0}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、時点\(t\in \mathbb{R} \)における楕円上の点の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{r}\circ \theta \right) \left( t\right) &=&A\cos \left(
\theta \left( t\right) \right) \boldsymbol{u}+B\sin \left( \theta \left(
t\right) \right) \boldsymbol{v} \\
&=&A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) \boldsymbol{u}+B\sin \left(
\omega t+\theta _{0}\right) \boldsymbol{v} \\
&=&\frac{A\cos \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを改めて、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\frac{A\cos \left( \omega t+\theta
_{0}\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{B\sin \left( \omega t+\theta _{0}\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}と表記します。特に、\begin{equation*}
\theta _{0}=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\frac{A\cos \left( \omega t\right) }{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) +\frac{B\sin \left( \omega t\right) }{\sqrt{6}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
楕円の弧長パラメータ表示
楕円運動を分析する際には、楕円の幾何学的性質とともに、点が楕円上を動く際の速度も考慮する必要があるため、点の移動速度の変化を角度関数\(\theta \left( t\right) \)を用いて表現しました。一方、楕円の幾何学的性質、すなわち楕円の形状に関する性質を調べる際には点が動く速さという情報はノイズになります。ただし、楕円を弧長パラメータ表示するのは容易ではありません。
初期時点\(t=0\)における離心角を、\begin{equation*}\theta _{0}=\theta \left( 0\right) =0
\end{equation*}と設定します。楕円の幾何学的性質に興味があるため、点が楕円をちょうど1周（\(2\pi \)ラジアン）するのに要する時間\begin{equation*}T
\end{equation*}に注目しても一般性は失われません。つまり、\begin{equation*}
\theta \left( T\right) =2\pi
\end{equation*}が成り立つということです。
角度関数\(\theta :\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに狭義単調増加関数であるものとします。つまり、反時計回りの運動を想定するということです。この場合、角度関数の逆関数\begin{equation*}\theta ^{-1}:\mathbb{R} \supset \theta \left( \mathbb{R} _{+}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在するため、\begin{equation*}
T=\theta ^{-1}\left( 2\pi \right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、1周期分の時間パラメータ\(t\)の定義域は、\begin{eqnarray*}I &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq t\leq T\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq t\leq \theta ^{-1}\left( 2\pi \right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。
弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}s\left( t\right) &=&\Lambda \left( 0,t\right) \\
&=&\int_{\theta \left( 0\right) }^{\theta \left( t\right) }\sqrt{A^{2}\sin
^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du \\
&>&0
\end{eqnarray*}を定めるため\(s\)は狭義単調増加関数です。ゆえに逆関数\begin{equation*}s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow I
\end{equation*}が存在しますが、弧長関数\begin{equation*}
s\left( t\right) =\int_{\theta \left( 0\right) }^{\theta \left( t\right) }\sqrt{A^{2}\sin ^{2}\left( u\right) +B^{2}\cos ^{2}\left( u\right) }du
\end{equation*}の逆関数を具体的に解くことは容易ではありません。したがって、楕円の弧長パラメータ表示\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\circ s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を具体的に特定することも困難です。これは円運動との大きな違いです。
演習問題
\begin{array}{c}
A\cos \left( \omega t\right) \\
B\sin \left( \omega t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t\)における点\(P\)の速さ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)を求めてください。
- 点\(P\)が長軸上にあるとき、および短軸上にあるときの速さをそれぞれ求めてください。
- 速さ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)が長軸上で最小値をとり、短軸上で最大値をとることを示してください。
\begin{array}{c}
A\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
B\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- 原点\(O\)から点\(P\)までの距離（動径）を離心角\(\theta \)の関数\begin{equation*}r\left( \theta \right) =\left\Vert \boldsymbol{r}\left( \theta \right)\right\Vert
\end{equation*}として表現してください。その上で、動径\(r\left( \theta \right) \)が最大および最小となる離心角\(\theta \)の値と、そのときの動径\(r\left( \theta \right) \)をそれぞれ求めてください。 - 時点\(t\)における位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と速度ベクトル\(\boldsymbol{r}^{\prime}\left( t\right) \)を\(z\)成分が\(0\)であるような3次元ベクトルとみなした場合、時点\(t\)における面積速度は、\begin{equation*}S\left( t\right) =\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}と定義されます。これを離心角速度\(\theta ^{\prime}\left( t\right) \)を用いて表現してください。 - 離心角速度\(\theta ^{\prime }\left(t\right) \)が一定である場合には面積速度\(S\left( t\right) \)もまた一定になることを示してください。
- ランナーが最も強い横G（法線加速度）を感じる地点は、トラックのどの地点でしょうか。
- その地点での曲率\(\kappa \left( t\right) \)と、ランナーが受ける法線加速度の大きさを求めてください。
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