定数ベクトルと連続なベクトル値関数の外積の積分
区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が区間\(I\)上で連続である場合には、これとベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{3}\)から定義されるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}は連続であるため、定積分と原始関数が存在するとともに両者は一致します。しかも、以下の関係\begin{equation*}
\int \left( \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\boldsymbol{c}\times \int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \left[ \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\left( x\right) \right] dx=\boldsymbol{c}\times \int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、以上を踏まえると、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、定積分に関して、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left(
x\right) dx=\boldsymbol{c}\times \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right)
dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right) \right]
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left(
x\right) dx=\boldsymbol{c}\times \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right)
dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{c}\right) \left( x\right) dx
&=&\int \left( -\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx
\\
&=&-\boldsymbol{c}\times \int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}を得ます。
\end{equation*}として得られます。特に、位置ベクトルが定数ベクトル\(\boldsymbol{r}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}H &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}_{0}\times \boldsymbol{F}\left(
t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{r}_{0}\times \int_{0}^{T}\boldsymbol{F}\left( t\right)
dt\quad \because \text{外積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ち、逆に、力が定数ベクトル\(\boldsymbol{F}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}H &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{F}_{0}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{T}\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\times \boldsymbol{F}_{0}\quad \because \text{外積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{r}=\left(
\begin{array}{c}
r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}であるものとします。このアームの先端に、時間とともに連続に変化する力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}が加わっているものとします。外積の法則を使わない場合には、アームの始点に加わった角力積を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
r_{2}\sin \left( t\right) -r_{3}\cos \left( t\right) \\
-r_{1}\sin \left( t\right) \\
r_{1}\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、外積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{r}\times \int_{0}^{\pi }\boldsymbol{F}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、力積\(\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{F}\left(t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\)のもとでも、両者の外積計算を行うだけで角力積を導出できます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}と変化するものとします。このアームの先端には常に一定の力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
F_{1} \\
F_{2} \\
F_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}が加わっているものとします。外積の法則を使わない場合には、アームの始点に加わった角力積を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{F}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
F_{3}\sin \left( t\right) \\
-F_{3}\cos \left( t\right) \\
F_{2}\cos \left( t\right) -F_{1}\sin \left( t\right)
\end{array}\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、力\(\boldsymbol{F}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算やり直す必要があります。一方、外積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{F}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\times \boldsymbol{F}
\end{eqnarray*}として計算できるため、\(\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような力\(\boldsymbol{F}\)のもとでも、両者の外積計算を行うだけで角力積を導出できます。
連続なベクトル値関数の外積の積分
区間上に定義された2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに区間\(I\)上で\(C^{1}\)級である場合には、以下の関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{f}^{\prime }\times \boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}はともに連続であるため、これらの関数の定積分がそれぞれ存在するとともに、それらは原始関数と一致します。しかも、以下の関係\begin{equation*}
\int \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left(
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) -\int \left( \boldsymbol{f}^{\prime }\times \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime
}\left( x\right) \right] dx=\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) -\int \left[ \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\times \boldsymbol{g}\left( x\right) \right] dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、以上を踏まえると、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、定積分に関して、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}^{\prime }\right)
\left( x\right) dx=\left[ \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}^{\prime
}\times \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right) \right] dx=\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\times \boldsymbol{g}\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left[
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) -\int \left( \boldsymbol{f}^{\prime }\times \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}^{\prime }\right)
\left( x\right) dx=\left[ \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}^{\prime
}\times \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) -\int \left( \boldsymbol{f}^{\prime }\times \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって移項することにより、\begin{equation*}
\int \left( \boldsymbol{f}^{\prime }\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) -\int \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}^{\prime }\right)
\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}を得ます。
\end{equation}として得られます。速度ベクトルを\(\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)で表記します。質量を\(m>0\)とするとき、ニュートンの運動方程式\begin{equation}\boldsymbol{F}\left( t\right) =m\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことに注目する場合には、\begin{eqnarray*}
H &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times m\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 2\right) \\
&=&m\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \right] dt \\
&=&m\left\{ \left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] _{0}^{T}-\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t\right) \times \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt\right\} \quad
\because \text{外積の積分} \\
&=&m\left\{ \left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] _{0}^{T}-\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}\left( t\right)
\times \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt\right\} \\
&=&m\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] _{0}^{T}\quad \because \boldsymbol{v}\left( t\right) \times
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{0} \\
&=&m\boldsymbol{r}\left( T\right) \times \boldsymbol{v}\left( T\right) -m\boldsymbol{r}\left( 0\right) \times \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}を得ます。
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\boldsymbol{g}\)は連続であるため\(\boldsymbol{G}\)は\(C^{1}\)級であることに注意してください。したがって先の命題より、\begin{equation*}\int \left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{G}\right) \left( x\right) -\int
\left( \boldsymbol{f}^{\prime }\cdot \boldsymbol{G}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) dx=\left[ \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{G}\right) \left(
x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}^{\prime }\cdot
\boldsymbol{G}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2} \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- 外積\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left( x\right) \)を先に求めた上で、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left(x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算してください。 - 外部の部分積分を用いて先の定積分を計算し、先と結果が一致することを確認してください。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{r}\left( \pi \right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{r}^{\prime }\left( \pi \right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以下の定積分\begin{equation*}
I=\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \right] dt
\end{equation*}を求めてください。
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \times \boldsymbol{g}\left(
x\right) \right] dx=\left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right)
dx\right) \times \left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が成り立つとは限らないことを示す反例を提示してください。
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