定数ベクトルと連続なベクトル値関数の内積の積分
区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が区間\(I\)上で連続である場合には、これとベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{m}\)から定義される実数値関数\begin{equation*}\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は連続であるため、定積分と原始関数が存在するとともに両者は一致します。しかも、以下の関係\begin{equation*}
\int \left( \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\boldsymbol{c}\cdot \int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \left[ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right) \right] dx=\boldsymbol{c}\cdot \int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、以上を踏まえると、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、定積分に関して、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right) \right]
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right) \right] dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}として得られます。特に、速度ベクトルが定数ベクトル\(\boldsymbol{v}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}_{0}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}_{0}\cdot \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt\quad \because \text{内積の対称性} \\
&=&\boldsymbol{v}_{0}\cdot \int_{0}^{T}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt\quad
\because \text{内積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆に、力が定数ベクトル\(\boldsymbol{F}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}_{0}\cdot \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{F}_{0}\cdot \int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\quad
\because \text{内積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
3t^{2} \\
5\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}のもとで移動しました。\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)は連続です。常に一定の風が吹いており、風による力が定数ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
F_{1} \\
F_{2} \\
F_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}として表現されているものとします。内積の法則を使わない場合には、風がドローンに対して行った仕事を、\begin{eqnarray*}
W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\int_{0}^{10}\left( 2F_{1}t+3F_{2}t^{2}+5F_{3}\right) dt
\end{eqnarray*}と計算することになるため、風の向き\(\boldsymbol{F}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、内積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{F}\cdot \int_{0}^{10}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、ドローンの総変位\(\int_{0}^{10}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような風\(\boldsymbol{F}\)が吹いても、両者の内積計算を行うだけで仕事を導出できます。
\boldsymbol{v}=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}のもとで移動しました。ドローンが受ける風の力は、突風の影響により、\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
0.5t \\
\sin \left( \frac{\pi }{10}t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}と変化しました。\(\boldsymbol{F}\left( t\right) \)は連続です。内積の法則を使わない場合には、風がドローンに対して行った仕事を、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{10}\left( 0.5v_{1}t+v_{2}\sin \left( \frac{\pi }{10}t\right)
\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、ドローンの速度\(\boldsymbol{v}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、内積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\right] dt \\
&=&\boldsymbol{v}\cdot \int_{0}^{10}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、力の合計\(\int_{0}^{10}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような速度\(\boldsymbol{v}\)のもとでも、両者の内積計算を行うだけで仕事を導出できます。
連続なベクトル値関数の内積の積分（内積に関する部分積分）
区間上に定義された2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに区間\(I\)上で\(C^{1}\)級である場合には、以下の関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\cdot \boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}^{\prime } &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}はともに連続であるため、これらの関数の定積分がそれぞれ存在するとともに、それらは原始関数と一致します。しかも、以下の関係\begin{equation*}
\int \left( \boldsymbol{f}^{\prime }\cdot \boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
-\int \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left(
x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int \left[ \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) \right] dx=\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) -\int \left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right) \right] dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、以上を踏まえると、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、定積分に関して、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}^{\prime }\cdot \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) dx=\left[ \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\cdot
\boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) \right] dx=\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot
\boldsymbol{g}\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left[
\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}が成り立つことが導かれます。
x\right) dx=\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
-\int \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left(
x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}^{\prime }\cdot \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) dx=\left[ \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right)
\left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\cdot
\boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation}として得られます。速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\left(t\right) \)と位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の間に以下の関係\begin{equation}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことに注目する場合には、\begin{eqnarray*}
W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] _{0}^{T}-\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}^{\prime }\left( t\right)
\cdot \boldsymbol{r}\left( t\right) \right] dt\quad \because \text{内積の積分}
\end{eqnarray*}を得ます。一方、質量を\(m>0\)とするとき、ニュートンの運動方程式\begin{equation}\boldsymbol{F}\left( t\right) =m\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right)
\quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つことに注目する場合には、\begin{eqnarray*}
W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int_{0}^{T}\left[ m\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \cdot
\boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt\quad \because \left( 3\right) \\
&=&m\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \cdot
\boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt \\
&=&m\left\{ \left[ \boldsymbol{v}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] _{0}^{T}-\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}\left( t\right)
\cdot \boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \right] dt\right\} \\
&=&m\left\{ \left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert ^{2}\right] _{0}^{T}-\left[ \frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\right\Vert ^{2}\right] _{0}^{T}\right\} \quad \because \frac{d}{dt}\left\Vert v\left( t\right) \right\Vert ^{2}=2\boldsymbol{v}\left( t\right)
\cdot \boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&m\left\{ \left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert ^{2}\right] _{0}^{T}-\frac{1}{2}\left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\right\Vert ^{2}\right] _{0}^{T}\right\} \\
&=&\frac{1}{2}m\left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert
^{2}\right] _{0}^{T} \\
&=&\frac{1}{2}m\left\Vert \boldsymbol{v}\left( T\right) \right\Vert ^{2}-\frac{1}{2}m\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}
\end{eqnarray*}を得ます。
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるため\(\boldsymbol{F}\)は\(C^{1}\)級であることに注意してください。したがって先の命題より、\begin{equation*}\int \left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\left( \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) -\int
\left( \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\left[ \left( \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\boldsymbol{v}=\left(
\begin{array}{c}
10 \\
5\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}で飛行しており、周囲の風の力ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
3t^{2}\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)から\(t=2\)までに風がドローンに対して行った仕事\(W\)を求めてください。
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x \\
2x\end{array}\right)
\end{eqnarray*}に関して、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を求めてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}に沿って運動しています。物体には時間とともに変化する力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{t} \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}が作用しています。時点\(t=0\)から時点\(t=\frac{\pi }{2}\)までにこの力がした仕事\(W\)を求めてください。
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