連続なベクトル値関数のスカラー関数倍の積分（スカラー関数倍の部分積分）

区間上に定義された実数値関数\(c:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がともに\(C^{1}\)級であるならば、\begin{equation*}\int \left( c\boldsymbol{f}^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) -\int \left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left[
\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

時点\(t\geq 0\)における位置ベクトルが、\begin{equation*}r\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}である場合、速度は、\begin{equation*}
r^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}である。その上で、定積分\begin{equation*}
I=\int_{0}^{\pi }tr^{\prime }\left( t\right) dt
\end{equation*}を求めます。スカラー関数倍の部分積分を用いずに計算する場合には、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{\pi }tr^{\prime }\left( t\right) dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }t\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
1\end{array}\right) dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
t\cos \left( t\right) \\
t\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) dt
\end{eqnarray*}と進めることになり面倒です。一方、スカラー関数倍の部分積分を用いて計算する場合には、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{\pi }tr^{\prime }\left( t\right) dt \\
&=&\left[ tr\left( t\right) \right] _{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }t^{\prime
}r\left( t\right) dt \\
&=&\left[ \left(
\begin{array}{c}
t\sin \left( t\right) \\
-t\cos \left( t\right) \\
t^{2}\end{array}\right) \right] _{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
-\cos \left( t\right) \\
t\end{array}\right) dt \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\pi \sin \left( \pi \right) \\
-\pi \cos \left( \pi \right) \\
\pi ^{2}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\left[ -\cos \left( t\right) \right] _{0}^{\pi } \\
\left[ -\sin \left( t\right) \right] _{0}^{\pi } \\
\left[ \frac{1}{2}t^{2}\right] _{0}^{\pi }\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\pi \\
\pi ^{2}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \pi \right) +\cos \left( 0\right) \\
-\sin \left( \pi \right) +\sin \left( 0\right) \\
\frac{1}{2}\pi ^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\pi \\
\pi ^{2}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
\frac{1}{2}\pi ^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-2 \\
\pi \\
\frac{1}{2}\pi ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。この例では、\(tr^{\prime }\left( t\right) \)の積分よりも\(t^{\prime }r\left( t\right) \)の積分の方が有用であるため、スカラー関数倍の部分積分が計算の省力化に貢献しています。一般に、\(c\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \)の積分よりも\(\left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) \)の積分の方が容易である場合、スカラー関数倍の部分積分は有用です。

区間上に定義された実数値関数\(c:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がともに\(C^{1}\)級であるならば、先の命題より、\begin{equation*}\int \left( c\boldsymbol{f}^{\prime }\right) \left( x\right) dx=\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) -\int \left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\int \left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) -\int \left( c\boldsymbol{f}^{\prime
}\right) \left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。ゆえに、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c^{\prime }\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\left[
\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}^{\prime }\right) \left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。

区間上に定義された実数値関数\(c:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級でありベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が連続であるものとします。連続関数は原始関数を持つため\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在するとともに、\begin{equation*}\forall x\in I:\boldsymbol{F}^{\prime }\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるため\(\boldsymbol{F}\)は\(C^{1}\)級であることに注意してください。したがって先の命題より、\begin{equation*}\int \left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\left( c\boldsymbol{F}\right) \left( x\right) -\int \left( c^{\prime }\boldsymbol{F}\right) \left(
x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=\left[ \left( c\boldsymbol{F}\right) \left( x\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left(
c^{\prime }\boldsymbol{F}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。

速度ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
-\sin \left( t\right) \\
e^{t}\end{array}\right)
\end{equation*}である状況において、\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }e^{-t}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}を計算してください。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) =-\boldsymbol{f}\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす状況において、以下の不定積分\begin{equation*}
I=\int x^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}を積分記号を用いずに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) ,x\)を用いて表してください。