ケプラーの法則：ベクトル値関数の微積分の応用例

正多面体モデル

ニコラウス・コペルニクス（Nicolaus Copernicus）の地動説が発表される以前の天動説ではそれぞれの惑星が個別に動いていると考えられていましたが、コペルニクスが太陽を中心に配置したことにより、太陽系は一定の距離を保って同心円状に配置された惑星の集まりとみなされるようになりました。しかし、そこには大きな謎が残されていました。

当時は6つの惑星が（水星、金星、地球、火星、木星、土星）知られていましたが、なぜ惑星は6つなのか。また、それぞれの惑星が太陽から特定の距離に配置されているのはなぜなのか。地動説を信奉するヨハネス・ケプラー（Johannes Kepler）は、古代ギリシア以来「完全な立体」と考えられてきた5種類の正多面体を用いて、これらの問いに答えようとしました。

6つの惑星軌道を維持するためには5つの隙間が必要です。そして、この世には正多面体は5種類（正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体）しか存在しません。5つの隙間と5つの正多面体という数の一致に運命を感じたケプラーは、太陽を中心として、各惑星の軌道球体の間に特定の順番で正多面体をはめ込んでいきました。ケプラーにとって正多面体モデルは、地動説が正しいことを証明するとともに、宇宙全体が数学的調和のもとで設計されていることを示す究極の理論でした。しかし、ケプラーは後に、この美しい理論を自ら捨て去ることになります。

理由は単純でした。観測事実と一致しなかったからです。ケプラーが天文学者ティコ・ブラーエ（Tycho Brahe）の膨大な観測データを用いて自身の理論を検証した結果、惑星の位置に無視できないズレが存在することが判明します。理論がどれほど美しくても、観測事実と一致しないなら、その理論は修正しなければならない。数年にわたる計算の末、ケプラーはついに、惑星は完全な円運動をするという常識を捨て去り、惑星は楕円運動を描いて運動するという結論に至りました。美しい理念よりも観測された事実を優先したケプラーの決断は、近代科学の精神を象徴する出来事です。

ケプラーの法則

ケプラーが膨大な計算の末に導きだしたのが、以下の3つの法則です。

ケプラーの第1法則（楕円軌道の法則）によると、惑星は太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を動きます。

ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）によると、惑星と太陽を結ぶ線分（動径）が単位時間に掃く面積は常に一定です。これにより、惑星が太陽に近い時には速く、遠い時にはゆっくりと動くことが数学的に証明されました。

ケプラーの第3法則（調和の法則）によると、惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例します。この法則により、個々の惑星の運動だけでなく、太陽系全体の構造を支配する統一的な数学的関係が明らかになりました。

これらの法則は、当初は観測にもとづく経験則として発表されましたが、その約50年後、アイザック・ニュートン（Isaac Newton）により、彼らの運動方程式と万有引力の法則から導出できることが証明されました。

本稿では、このケプラーの洞察がどのようにニュートン力学によって裏付けられるのか、ベクトル値関数の微積分を用いてその証明を辿ります。

ケプラーの第2法則

地動説の想定より、太陽の位置を3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の原点\(O\)とみなした上で固定します。時点\(t\in \mathbb{R} \)における、問題としている惑星の位置ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}で表記します。さらに、この位置ベクトルの大きさを、\begin{equation*}
r\left( t\right) =\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と同一方向にある単位ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{r}\left(
t\right) }{\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert }=\frac{\boldsymbol{r}\left( t\right) }{r\left( t\right) }
\end{equation*}で表記します。これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =r\left( t\right) \boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

太陽や惑星の質量は惑星の運動中に変化しないものと仮定し、時間\(t\)に依存しない定数として扱います。太陽の質量を表す定数を、\begin{equation*}M>0
\end{equation*}で表記し、惑星の質量を表す定数を、\begin{equation*}
m>0
\end{equation*}で表記します。万有引力定数を、\begin{equation*}
G>0
\end{equation*}と表記する場合、万有引力の法則より、時点\(t\)において太陽と惑星の間に働く力の大きさは、\begin{equation*}G\frac{mM}{\left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となります。太陽を固定された中心とみなす場合、この力は常に惑星を太陽の方へとまっすぐ引き寄せる力として作用しています。したがって、時点\(t\)において惑星に働く力は、\begin{equation}\boldsymbol{F}\left( t\right) =-G\frac{mM}{\left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。

その一方で、ニュートンの運動の第2法則より、時点\(t\)において惑星に働く力は、\begin{equation*}\boldsymbol{F}\left( t\right) =m\boldsymbol{a}\left( t\right)
\end{equation*}としても記述されます。ただし、\(\boldsymbol{a}\left(t\right) \)は時点\(t\)における惑星の加速度です。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}m\boldsymbol{a}\left( t\right) =-G\frac{mM}{\left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =-\frac{GM}{\left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、惑星の加速度ベクトルは常に位置ベクトルの反対方向、すなわち太陽方向を向いており、太陽は惑星をまっすぐ自分の方へ引き寄せ続けています。

ただし、これだけでは惑星がどのような軌跡を描き、どのような速さで動くのかを直感的に理解するのは困難です。そこで、この物理的な力の働きを図形的な面積の変化として捉え直すために面積速度（area velocity）という概念を導入します。面積速度とは、一言で言えば太陽と惑星を結ぶ線（動径）が、単位時間あたりに掃き出す（塗りつぶす）扇形の面積のことです。

時点\(t\)における太陽の位置は原点\(O\)である一方で、惑星の位置\(P\)を表す位置ベクトルは\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)です。そこからわずかな時間\(\Delta t\)が経過すると、太陽の位置は原点\(O\)のままである一方で、惑星の位置\(Q\)を表す位置ベクトルは\(\boldsymbol{r}\left( t+\Delta t\right) \)へと変化します。この時間\(\Delta t\)において動径は\(OP\)から\(OQ\)へ変化しますが、\(\Delta t\)が十分小さい場合には、太陽と惑星を結ぶ動径が掃き出す扇形の面積は、三角形\(OPQ\)の面積と近似的に等しくなります。2つのベクトルによって張られる三角形の面積はそれらの外積の大きさの半分と一致するため、\begin{equation*}\text{三角形}OPQ\text{の面積}=\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{r}\left(
t+\Delta t\right) \right\Vert
\end{equation*}を得ます。先の議論より、\(\Delta t\)が十分小さい場合には以下の近似関係\begin{equation*}\text{扇形}OPQ\text{の面積}\approx \frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{r}\left(
t+\Delta t\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つため、これを、\begin{equation*}
\Delta S\approx \frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{r}\left( t+\Delta t\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記します。両辺を\(\Delta t\)で割ると、\begin{equation*}\frac{\Delta S}{\Delta t}\approx \frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left(
t\right) \times \frac{\boldsymbol{r}\left( t+\Delta t\right) }{\Delta t}\right\Vert
\end{equation*}を得ます。\(\Delta t\rightarrow 0\)の場合の両辺の極限をとると、\begin{equation*}\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}\approx \frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}となり、時点\(t\)における扇形の面積の瞬間変化率が得られます。そこでこれを時点\(t\)における面積速度と呼び、\begin{equation*}h\left( t\right) =\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記します。時点\(t\)における惑星の速度ベクトルを\(\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)と表記するのであれば、\begin{equation*}h\left( t\right) =\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}となります。さらに、\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{v}\left(t\right) \)のなす角が\(\theta \left( t\right)\in \left[ 0,\pi \right] \)である場合には、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \sin \left( \theta
\left( t\right) \right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
h\left( t\right) =\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right)
\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \sin \left(
\theta \left( t\right) \right)
\end{equation*}と表現できます。

ケプラーの第2法則とは、この面積速度\(h\left(t\right) \)が時間\(t\)が変化しても常に一定であることとして定式化されます。

先の命題より、面積速度\begin{eqnarray*}
h\left( t\right) &=&\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right)
\times \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \sin \left( \theta
\left( t\right) \right)
\end{eqnarray*}が一定であることが明らかになりましたが、これは何を意味するのでしょうか。

もし惑星が円軌道を描いているならば、太陽と惑星の間の距離\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert \)は一定であるとともに、惑星の位置ベクトルと速度ベクトルがなす角\(\theta \left( t\right) \)も一定です。そのような中で\(h\left( t\right) \)が一定であることは、惑星の速さ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)もまた一定であることを意味します。つまり、ケプラーの第2法則と円軌道のもとでは、惑星の速さは常に一定です。

惑星が楕円軌道を描いている場合には話が変わります。惑星が楕円の長径方向にある場合、すなわち惑星の位置が太陽から最も遠い遠日点である場合、太陽との距離\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert \)が最大になるとともに、遠日点では惑星の位置ベクトルと速度ベクトルが直交するため\(\sin \left( \theta \left( t\right) \right) =1\)となります。そのような中で\(h\left( t\right) \)が一定であることは、速さ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)が最小値をとることを意味します。逆に、惑星が楕円の短径方向にある場合、すなわち惑星の位置が太陽から最も近い近日点である場合、太陽との距離\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right)\right\Vert \)が最小になるとともに、近日点でも惑星の位置ベクトルと速度ベクトルが直交するため\(\sin \left( \theta \left( t\right) \right)=1\)となります。そのような中で\(h\left( t\right) \)が一定であることは、速さ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)が最大値をとることを意味します。つまり、ケプラーの第2法則と楕円軌道のもとでは、遠日点において惑星の速さが最小化され、近日点において惑星の速さは最大化されます。これをもう少し直感的に説明すると以下のようになります。

惑星に作用する力が太陽からの万有引力だけである状況を想定しているため、惑星の加速度ベクトル\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)は常に太陽を向いており、それ以外の方向の加速度成分は存在しないこと\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =-\frac{GM}{\left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{r}}\left( t\right)
\end{equation*}を先に示しました。加速度ベクトル\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)が太陽の方向を向いている状況において、これを軌道の接線方向へ伸びるベクトルと、それと垂直なベクトルの和として分解するとどうなるでしょうか。

楕円軌道では惑星が長径方向または短径方向にある場合を除き、動径は接線と直交せず、両者は斜めに交わります。したがって、そのような場合には太陽を向いている加速度の一部が接線方向の成分として現れます。具体的には、惑星が太陽に近づく局面では加速度の一部が進む方向（接線方向）の成分として現れるため惑星は加速し、惑星が太陽から遠ざかる局面では加速度の一部が進む方向とは逆方向（接線方向）の成分として現れるため惑星は減速します。つまり、惑星は太陽の近くでは速くなり、遠くでは遅くなるということです。

平面極座標のもとでのケプラーの第2法則

ケプラーの第2法則の証明から明らかになったように、任意の時点\(t\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\frac{d}{dt}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実は外積\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left( t\right) \)が定数ベクトルであること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{3},\ \forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{c}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。外積の定義より、\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{v}\left( t\right) \)すなわち\(\boldsymbol{c}\)は\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{v}\left(t\right) \)の双方と垂直であるため、\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{r}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{c}=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、惑星の軌道は\(\boldsymbol{c}\)を法線ベクトルとする空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する2次元平面\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{c}=0\right\}
\end{equation*}と一致します。

惑星の運動は2次元平面に収まることが明らかになったため、惑星の運動を平面上の極座標すなわち円座標系を用いて記述できます。具体的には以下の通りです。

太陽の位置を平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の極\(O\)と定めた上で、極\(O\)を始点とし、惑星が最も太陽に近づく点（近日点）に向かって半直線を引き、これを極軸と定めます。惑星の位置\(P\)の直交座標が\(\boldsymbol{r}\in \mathbb{R} ^{2}\)であり、極座標が\(\left(r,\theta \right) \in \lbrack 0,+\infty )\times \lbrack 0,2\pi )\)である場合、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{r}=\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、極座標\(\left( r,\theta \right) \)の値は時間\(t\in \mathbb{R} \)の経過とともに変化するものとし、その関係がベクトル値関数\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として表現されているものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} \)における惑星の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるということです。

時点\(t\in \mathbb{R} \)における動径方向の単位ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、方位角方向の単位ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{\theta }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \theta \left( t\right) \right) \\
\cos \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。これを用いると、時点\(t\)における惑星の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right) \\
r\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&r\left( t\right) \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right)
\end{eqnarray*}と表現され、速度ベクトルは、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r^{\prime }\left( t\right) \cos \left( \theta \left( t\right) \right)
-r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \sin \left( \theta \left(
t\right) \right) \\
r^{\prime }\left( t\right) \sin \left( \theta \left( t\right) \right)
+r\left( t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \cos \left( \theta \left(
t\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&r^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{r}\left( t\right) +r\left(
t\right) \theta ^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{e}_{\theta }\left(
t\right)
\end{eqnarray*}と表現されます。つまり、\(r^{\prime }\left( t\right) \)は動径方向の速度成分（遠ざかる・近づく速さ）であり、\(r\left( t\right) \theta ^{\prime}\left( t\right) \)は横断方向の速度成分（回転する速さ）です。

以上の表記を踏まえると、ケプラーの第2法則を以下のように表現できます。

ケプラーの第1法則

ケプラーの第2法則は、惑星に作用する力が太陽からの万有引力だけである状況では面積速度が一定になるという主張であり、これはどのような軌道の上でも成立する運行法則です。つまり、第2法則は惑星の軌道が楕円であるとまでは言っていません。

惑星の軌道が楕円であることを主張するのがケプラーの第1法則です。

ケプラーの第3法則

ケプラーの第1法則により、惑星の軌道が太陽を焦点とする楕円であることが明らかになりました。また、第2法則ではその軌道上を惑星がどのような面積速度のもとで移動するかが示されました。

ここまでの議論を、軌道の幾何学的な大きさと、一周にかかる時間（周期）の関係へと拡張するのがケプラーの第3法則です。

ケプラーの第3法則\begin{equation*}
\frac{T^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi ^{2}}{GM}
\end{equation*}を構成する比例定数\begin{equation*}
\frac{4\pi ^{2}}{GM}
\end{equation*}は惑星の質量\(m\)に依存しません。したがって、どの惑星の公転周期\(T\)と長半径\(a\)からでも同一の太陽質量\begin{equation*}M=\frac{4a^{2}\pi ^{2}}{GT^{2}}
\end{equation*}が導かれます。

演習問題