ベクトル値関数と線形写像の合成関数の定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
さらに、\(m\)次元ベクトルを\(n\)次元ベクトルに変換する線形写像\begin{equation*}\boldsymbol{F}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。線形写像の定義より、\(\boldsymbol{F}\)は加法性と斉次性\begin{eqnarray*}&&\left( L_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{m}:\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\right) =\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{v}\right) +\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{w}\right) \\
&&\left( L_{2}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{m}:\boldsymbol{F}\left( k\boldsymbol{v}\right) =k\boldsymbol{F}\left(
\boldsymbol{v}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である場合には定積分\(\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\)が\(m\)次元ベクトルとして定まるため、線形写像\(\boldsymbol{F}\)による像\begin{equation}\boldsymbol{F}\left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}が\(n\)次元ベクトルとして定まります。一方、合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \left[a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
F_{n}\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
F_{j}:\mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( j=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}は線形写像\(\boldsymbol{F}\)の成分関数に相当する多変数の実数値関数です。
関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である場合には合成関数\(\boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\)もまた\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるとともに、その定積分は\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
dx=\boldsymbol{F}\left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) dx=\boldsymbol{F}\left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
dx=\boldsymbol{F}\left( \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が成り立つ。
ちなみに、先の命題において\(\boldsymbol{F}\)が線形写像ではない場合には、命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{F}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{v}\right) =\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{F}\)は線形写像ではなく、さらに、\begin{equation*}\int_{0}^{2\pi }\left( \boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\right) \left(
x\right) dx\not=\boldsymbol{F}\left( \int_{0}^{2\pi }\boldsymbol{f}\left(
x\right) dx\right)
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
定数ベクトルとベクトル値関数の内積の定積分
ベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{m}\)とベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられれば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める実数値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{f}\left( x\right) \right]
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。証明では線形写像に関する先の命題を利用します。
dx=\boldsymbol{c}\cdot \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}として得られます。特に、速度ベクトルが定数ベクトル\(\boldsymbol{v}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}_{0}\right] dt \\
&=&\boldsymbol{v}_{0}\cdot \int_{0}^{T}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt\quad
\because \text{内積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ち、逆に、力が定数ベクトル\(\boldsymbol{F}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{F}_{0}\cdot \boldsymbol{v}\left(
t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{F}_{0}\cdot \int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\quad
\because \text{内積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2t \\
3t^{2} \\
5\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}のもとで移動しました。常に一定の風が吹いており、風による力が定数ベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
F_{1} \\
F_{2} \\
F_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}として表現されているものとします。内積の法則を使わない場合には、風がドローンに対して行った仕事を、\begin{eqnarray*}
W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\int_{0}^{10}\left( 2F_{1}t+3F_{2}t^{2}+5F_{3}\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、風の向き\(\boldsymbol{F}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、内積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{v}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{F}\cdot \int_{0}^{10}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、ドローンの総変位\(\int_{0}^{10}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような風\(\boldsymbol{F}\)が吹いても、両者の内積計算を行うだけで仕事を導出できます。
\boldsymbol{v}=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}のもとで移動しました。ドローンが受ける風の力は、突風の影響により、\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
0.5t \\
\sin \left( \frac{\pi }{10}t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,10\right] \right)
\end{equation*}と変化しました。内積の法則を使わない場合には、風がドローンに対して行った仕事を、\begin{eqnarray*}
W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{10}\left( 0.5v_{1}t+v_{2}\sin \left( \frac{\pi }{10}t\right)
\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、ドローンの速度\(\boldsymbol{v}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、内積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}W &=&\int_{0}^{10}\left[ \boldsymbol{F}\left( t\right) \cdot \boldsymbol{v}\right] dt \\
&=&\boldsymbol{v}\cdot \int_{0}^{10}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、力の合計\(\int_{0}^{10}\boldsymbol{F}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような速度\(\boldsymbol{v}\)のもとでも、両者の内積計算を行うだけで仕事を導出できます。
定数ベクトルとベクトル値関数の外積の定積分
ベクトル\(\boldsymbol{c}\in \mathbb{R} ^{3}\)とベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられれば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が定義可能です。
関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\right) \left(
x\right) dx=\boldsymbol{c}\times \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ \boldsymbol{c}\times \boldsymbol{f}\left( x\right) \right]
dx=\boldsymbol{c}\times \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。証明では線形写像に関する先の命題を利用します。
x\right) dx=\boldsymbol{c}\times \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}として得られます。特に、位置ベクトルが定数ベクトル\(\boldsymbol{r}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}H &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}_{0}\times \boldsymbol{F}\left(
t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{r}_{0}\times \int_{0}^{T}\boldsymbol{F}\left( t\right)
dt\quad \because \text{外積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ち、逆に、力が定数ベクトル\(\boldsymbol{F}_{0}\)である場合には、\begin{eqnarray*}H &=&\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times \boldsymbol{F}_{0}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{T}\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\times \boldsymbol{F}_{0}\quad \because \text{外積の法則}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\boldsymbol{r}=\left(
\begin{array}{c}
r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}であるものとします。このアームの先端に、時間とともに変化する力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}が加わっているものとします。外積の法則を使わない場合には、アームの始点に加わった角力積を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
r_{2}\sin \left( t\right) -r_{3}\cos \left( t\right) \\
-r_{1}\sin \left( t\right) \\
r_{1}\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算をやり直す必要があります。一方、外積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}\left( t\right) \right] dt \\
&=&\boldsymbol{r}\times \int_{0}^{\pi }\boldsymbol{F}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}として計算できるため、力積\(\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{F}\left(t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\)のもとでも、両者の外積計算を行うだけで角力積を導出できます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}と変化するものとします。このアームの先端には常に一定の力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
F_{1} \\
F_{2} \\
F_{3}\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,\pi \right)
\end{equation*}が加わっているものとします。外積の法則を使わない場合には、アームの始点に加わった角力積を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{F}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
F_{3}\sin \left( t\right) \\
-F_{3}\cos \left( t\right) \\
F_{2}\cos \left( t\right) -F_{1}\sin \left( t\right)
\end{array}\right) dt
\end{eqnarray*}として計算することになるため、力\(\boldsymbol{F}\)を変えるたびに被積分関数の再構成と積分の計算やり直す必要があります。一方、外積の法則を使う場合には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{H} &=&\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{r}\left( t\right) \times
\boldsymbol{F}\right] dt \\
&=&\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\times \boldsymbol{F}
\end{eqnarray*}として計算できるため、\(\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{r}\left( t\right) dt\)さえ先に計算しておけば、あとはどのような力\(\boldsymbol{F}\)のもとでも、両者の外積計算を行うだけで角力積を導出できます。
演習問題
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、線形写像\(\boldsymbol{F}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( v,w\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{F}\left( v,w\right) =\left(
\begin{array}{c}
v+w \\
v-w\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の関係\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
dx=\boldsymbol{F}\left( \int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right)
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{F}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{v}\right) =\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\boldsymbol{F}\)が線形写像ではないことを示してください。
- 以下の関係\begin{equation*}\int_{0}^{2\pi }\left( \boldsymbol{F}\circ \boldsymbol{f}\right) \left(
x\right) dx=\boldsymbol{F}\left( \int_{0}^{2\pi }\boldsymbol{f}\left(
x\right) dx\right)
\end{equation*}が成立しないことを示してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるとともに、ボートには川の流れの一定の力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が働いているものとします。力がした仕事を求めた上で、その結果を解釈してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
0\end{array}\right) \quad \left( t\in 0,2\pi \right)
\end{equation*}と円運動しているものとします。この質点には常に一定の力\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が加わっているものとします。角力積を求めてください。
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