成分ごとに単調なベクトル値関数
1変数の実数値関数の積分において、単調関数はリーマン積分可能であるという事実は積分可能性を判定するための基本的な指標の1つでした。本節では、この性質がベクトル値関数においてどのように拡張されるかを考えます。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
空間\(\mathbb{R} ^{m}\)には、数直線\(\mathbb{R} \)のような自然な全順序（大小関係）が標準的には存在しません。そのため、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が単調であるという場合、通常は個々の成分関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)に着目して以下のように定義します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のすべての成分関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が単調関数（単調増加関数または単調減少関数）である場合、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調（component-wise monotonic）であると言うこととします。
以上の定義において重要なことは、それぞれの成分関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)が単調増加であるか単調減少であるかは、成分ごとに独立して決まっていてよいという点です。例えば、\(f_{1}\)が単調増加関数で、\(f_{2}\)が単調減少関数であっても、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が成分ごとに単調であることとは、成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少であることを意味します。\(f_{1},f_{2}\)の一方が単調増加で他方が単調減少である場合にも\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調であることに注意してください。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少であることを意味します。\(f_{1},f_{2}\)の一方が単調増加で他方が単調減少である場合にも\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調であることに注意してください。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が成分ごとに単調であることとは、成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少であることを意味します。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少であることを意味します。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\)と\(x^{2}\)はともに\(\left[ 0,1\right] \)上において単調増加であるため\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\)と\(x^{2}\)はともに\(\left[ 0,1\right] \)上において単調増加であるため\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は床関数であり、\(x\)を超えない最大の整数を表します。床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は不連続ですが単調増加関数です。関数\(-x\)は連続な単調減少関数です。したがって\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は床関数であり、\(x\)を超えない最大の整数を表します。床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は不連続ですが単調増加関数です。関数\(-x\)は連続な単調減少関数です。したがって\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。
成分ごとに単調なベクトル値関数のリーマン積分可能性
成分ごとに単調なベクトル値関数はリーマン積分可能です。
命題（成分ごとに単調なベクトル値関数の積分可能性）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が成分ごとに単調であるならば、\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、それらの定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)の成分関数\begin{eqnarray*}f_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
f_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{3} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がそれぞれ単調増加または単調減少である場合には、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f_{1}\left(
x\right) dx\boldsymbol{i}+\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。したがって\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}xdx \\
\int_{0}^{1}x^{2}dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。したがって\(\boldsymbol{f}\)はリーマン積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}xdx \\
\int_{0}^{1}x^{2}dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ \frac{x^{3}}{3}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
例（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。第1成分の床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は\(x=1\)においてジャンプするため積分範囲を\(\left[ 0,1\right] \)と\(\left[ 1,2\right] \)に分割して計算すると、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx &=&\int_{0}^{1}0dx+\int_{1}^{2}1dx
\\
&=&\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ x\right] _{1}^{2} \\
&=&0+\left( 2-1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。第2成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx &=&\left[ -\frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{2} \\
&=&-2-0 \\
&=&-2
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
\left\lfloor x\right\rfloor \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調です。第1成分の床関数\(\left\lfloor x\right\rfloor \)は\(x=1\)においてジャンプするため積分範囲を\(\left[ 0,1\right] \)と\(\left[ 1,2\right] \)に分割して計算すると、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx &=&\int_{0}^{1}0dx+\int_{1}^{2}1dx
\\
&=&\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ x\right] _{1}^{2} \\
&=&0+\left( 2-1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。第2成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx &=&\left[ -\frac{x^{2}}{2}\right] _{0}^{2} \\
&=&-2-0 \\
&=&-2
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{2}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{2}\left\lfloor x\right\rfloor dx \\
\int_{0}^{2}\left( -x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
例（デジタル制御と物理現象）
デジタル信号で段階的に出力を上げるヒーターと、自然冷却される温度差を組み合わせたシステムをモデル化します。時点\(t\in \left[ 0,3\right] \)におけるシステムの出力状態ベクトルを、\begin{equation*}v\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
P\left( t\right) \\
C\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。ただし、\(P\left( t\right) \)は時点\(t\)における出力パワーです。デジタル制御により、1単位時間ごとに段階的に出力を上げる状況を、\begin{equation*}P\left( t\right) =10\left\lfloor t\right\rfloor
\end{equation*}と表現します。ただし、\(\left\lfloor t\right\rfloor \)は床関数です。これは\(t=1,2\)で不連続になりますが、単調増加関数です。また、\(C\left( t\right) \)は時点\(t\)における冷却係数です。時間の経過とともに冷却システムの効率がわずかに低下していく状況を、\begin{equation*}C\left( t\right) =5-\frac{t}{2}
\end{equation*}と表現します。これは単調減少関数です。第1成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}P\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{3}10\left\lfloor t\right\rfloor
dt \\
&=&\int_{0}^{1}0dt+\int_{1}^{2}10dt+\int_{2}^{3}20dt \\
&=&\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ 10t\right] _{1}^{2}+\left[ 20t\right] _{2}^{3} \\
&=&0+\left( 20-10\right) +\left( 60-40\right) \\
&=&30
\end{eqnarray*}が成り立ち、第2成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}C\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{3}\left( 5-\frac{t}{2}\right) dt
\\
&=&\left[ 5t-\frac{t^{2}}{4}\right] _{0}^{3} \\
&=&\left( 15-\frac{9}{4}\right) -0 \\
&=&\frac{51}{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}v\left( t\right) dt &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{3}P\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{3}C\left( t\right) dt\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
30 \\
\frac{51}{4}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。ちなみに、累積供給エネルギーが累積冷却キャパシティーを上回った時点をオーバーヒートの簡易的な判定基準として定義すると、定数\(K\in \mathbb{R} \)のもとで、以下の条件\begin{equation*}\int_{0}^{T}P\left( t\right) dt>\int_{0}^{T}K\cdot C\left( t\right) dt
\end{equation*}を満たす\(T\)の最小値を探すことが目標になります。
\begin{array}{c}
P\left( t\right) \\
C\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}で表記します。ただし、\(P\left( t\right) \)は時点\(t\)における出力パワーです。デジタル制御により、1単位時間ごとに段階的に出力を上げる状況を、\begin{equation*}P\left( t\right) =10\left\lfloor t\right\rfloor
\end{equation*}と表現します。ただし、\(\left\lfloor t\right\rfloor \)は床関数です。これは\(t=1,2\)で不連続になりますが、単調増加関数です。また、\(C\left( t\right) \)は時点\(t\)における冷却係数です。時間の経過とともに冷却システムの効率がわずかに低下していく状況を、\begin{equation*}C\left( t\right) =5-\frac{t}{2}
\end{equation*}と表現します。これは単調減少関数です。第1成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}P\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{3}10\left\lfloor t\right\rfloor
dt \\
&=&\int_{0}^{1}0dt+\int_{1}^{2}10dt+\int_{2}^{3}20dt \\
&=&\left[ 0\right] _{0}^{1}+\left[ 10t\right] _{1}^{2}+\left[ 20t\right] _{2}^{3} \\
&=&0+\left( 20-10\right) +\left( 60-40\right) \\
&=&30
\end{eqnarray*}が成り立ち、第2成分については、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}C\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{3}\left( 5-\frac{t}{2}\right) dt
\\
&=&\left[ 5t-\frac{t^{2}}{4}\right] _{0}^{3} \\
&=&\left( 15-\frac{9}{4}\right) -0 \\
&=&\frac{51}{4}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{3}v\left( t\right) dt &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{3}P\left( t\right) dt \\
\int_{0}^{3}C\left( t\right) dt\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
30 \\
\frac{51}{4}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。ちなみに、累積供給エネルギーが累積冷却キャパシティーを上回った時点をオーバーヒートの簡易的な判定基準として定義すると、定数\(K\in \mathbb{R} \)のもとで、以下の条件\begin{equation*}\int_{0}^{T}P\left( t\right) dt>\int_{0}^{T}K\cdot C\left( t\right) dt
\end{equation*}を満たす\(T\)の最小値を探すことが目標になります。
演習問題
問題（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
以下のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x+1 \\
-3x^{2}+4\end{array}\right) \quad \left( x\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}が成分ごとに単調であることを示した上で、定積分を求めてください。
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
2x+1 \\
-3x^{2}+4\end{array}\right) \quad \left( x\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}が成分ごとに単調であることを示した上で、定積分を求めてください。
問題（成分ごとに単調なベクトル値関数の定積分）
以下のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x} \\
\cos \left( x\right) \\
5\end{array}\right) \quad \left( x\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}が成分ごとに単調であることを示した上で、定積分を求めてください。
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x} \\
\cos \left( x\right) \\
5\end{array}\right) \quad \left( x\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}が成分ごとに単調であることを示した上で、定積分を求めてください。
問題（単調性と積分の線形性・順序性）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\boldsymbol{f}\)は成分ごとに単調であることを示した上で、定積分を求めてください。
- 以下の不等式\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) \leq \int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right)
dx\leq \boldsymbol{f}\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つか判定してください。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{2}\)について\(\boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{b}\)が成り立つことは\(a_{1}\leq b_{1}\)かつ\(a_{2}\leq b_{2}\)が成り立つことを意味します。 - ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が成分ごとに単調である場合、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( a\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\leq \boldsymbol{f}\left( b\right) \end{equation*}は常に成り立つか、先の結果を踏まえつつ考察してください。
問題（制御システムとオーバーヒートの予測）
ある精密機器の冷却システムにおいて、時点\(t\in \left[ 0,2\right] \)における熱供給パワー\(P\left( t\right) \)と冷却効率\(C\left( t\right) \)が以下のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
P\left( t\right) \\
C\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
20\left\lfloor t\right\rfloor \\
10-2t\end{array}\right)
\end{equation*}で表されているものとします。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{c}
P\left( t\right) \\
C\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
20\left\lfloor t\right\rfloor \\
10-2t\end{array}\right)
\end{equation*}で表されているものとします。以下の問いに答えてください。
- この関数\(\boldsymbol{v}\)がリーマン積分可能であることを示してください。
- 累積エネルギー供給\begin{equation*}E\left( t\right) =\int_{0}^{t}P\left( t\right) dt
\end{equation*}と累積冷却能力\begin{equation*}
L\left( t\right) =\int_{0}^{t}C\left( t\right) dt
\end{equation*}をそれぞれ\(t\)の関数として求めてください。 - この機器は、累積エネルギー供給が累積冷却能力を上回った瞬間にオーバーヒートします。オーバーヒートが発生する時点\(t\in \left[ 0,2\right] \)を求めてください。
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