平面運動の解析：ベクトル値関数の微積分の応用例

位置と変位

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上を移動する物体を観察し、経過時間と物体の位置（平面上での物体の位置ベクトル）の関係を区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として整理します。\(\boldsymbol{r}\)の成分関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、時点\(t\in I\)における物体の位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

本稿では議論を一般化するためにパラメータ\(t\)の定義域として区間\(I\subset \mathbb{R} \)を採用していますが、解析を具体化するために\(0\in I\)を初期時点と定め、時点\(t=0\)における物体の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( 0\right) \\
y\left( 0\right)
\end{array}\right) =x\left( 0\right) \boldsymbol{i}+y\left( 0\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}を起点として議論を進めます。便宜的に、時間の単位として「秒」を採用し、長さの単位として「メートル」を採用します。その上で、初期時点\(0\)から\(t\)秒経過した時点を「時点\(t\)」と呼び、時点\(t\)における点の位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)を時点\(t\)における物体の位置（position）と呼ぶこととします。

時点\(t\in I\)および\(t+h\in I\)を満たす非ゼロの実数\(h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を選んだとき、位置の変化量\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( t+h\right) -x\left( t\right) \\
y\left( t+h\right) -y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ x\left( t+h\right) -x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[
y\left( t+h\right) -y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を変位（displacement）と呼びます。これはどのような意味を持つ指標でしょうか。

時点\(t\)における物体の位置は\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり、時点\(t+h\)における物体の位置は\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)です。特に、\(h>0\)の場合の\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)は時点\(t\)から\(h\)秒後における物体の位置であり、\(h<0\)の場合の\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)は時点\(t\)から\(h\)秒前における物体の位置です。いずれにせよ、変位はこれらの位置の差\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)として定義されますが、これは始点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり終点が\(\boldsymbol{r}\left(t+h\right) \)であるような平面上のベクトルに相当します。ベクトルは「向き」と「大きさ」という2つの情報を持ちますが、変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の「向き」は時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点がどの向きに動いたかを表します。つまり、\begin{equation*}\text{時点}t\text{から時点}t+h\text{にかけて物体は}\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \text{方向へ移動する}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の「大きさ」に相当するノルム\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert \)は時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて物体がどれくらい動いたかを表します。つまり、\begin{equation*}\text{時点}t\text{から時点}t+h\text{にかけて物体は}\left\Vert
\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert
\text{だけ移動する}
\end{equation*}ということです。

変位は2つの時点\(t,t+h\)の前後において物体がどちらの方向にどれだけ移動したかを表す指標であり、その2つの時点の間にある\(h\)秒間に物体が実際にどのように動いたかについては何も教えてくれません。例えば、\(h\)秒間に点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)から\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)まで等しい速さで動いた場合、また、\(h\)秒間に点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)から\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)まで速さを変えながら動いた場合、また、\(h\)秒間に点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{r}\left(t+h\right) \)の間を何度も往復した場合などでは実際の点の動きは異なりますが、変位としては等しくなります。変位は2つの時点の前後における点の位置の変化に注目した指標だからです。

平均速度と瞬間速度

物体の位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられている状況を想定します。時点\(t\in I\)および\(t+h\in I\)を満たす\(h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を選んだとき、変位\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x\left( t+h\right) -x\left( t\right) \\
y\left( t+h\right) -y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ x\left( t+h\right) -x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[
y\left( t+h\right) -y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}とは始点が\(r\left( t\right) \)であり終点が\(r\left( t+h\right) \)であるような平面上のベクトルですが、これは2つの時点\(t\)および\(t+h\)の前後において、物体がどちらの方向にどれだけ動いたかを表します。さらに、変位を経過時間\(h\)で割ることにより得られる指標\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{x\left( t+h\right) -x\left( t\right) }{h} \\
\frac{y\left( t+h\right) -y\left( t\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\frac{x\left( t+h\right) -x\left( t\right) }{h}\boldsymbol{i}+\frac{y\left( t+h\right) -y\left( t\right) }{h}\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を平均速度（average velocity）や速度（velocity）などと呼びます。これはどのような意味を持つ指標でしょうか。

平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)は平面上のベクトルですが、その大きさは変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の\(\frac{1}{h}\)になっています。つまり、平均速度は単位時間（1秒）あたりの変位であり、\(h\)秒間に物体が平均的にどちらの方向にどれくらいのペースで動いたかを表す指標です。

物体の動きを正確に描写するためには、より短い経過時間\(h\)の中での物体の動きを観察した上で、その平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)を見る必要があります。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、位置関数\(\boldsymbol{r}\)の点\(t\)における微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x^{\prime }\left( t\right) \\
y^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{x\left( t+h\right) -x\left( t\right) }{h}
\\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{y\left( t+h\right) -y\left( t\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとれば、それは時点\(t\)における瞬間的な平均速度が得られます。これを時点\(t\)における瞬間速度（instaneous velocity）や速度（velocity）などと呼び、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{\prime }\left( t\right) \\
y^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x^{\prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+y^{\prime }\left( t\right)
\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}で表記します。速度もまた平面上のベクトルですが、これは、時点\(t\)における物体の動きを正確に記述しています。

位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を点\(t\in I\)において微分すれば、時点\(t\)における物体の速度\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}が得られることが明らかになりました。これは、時点\(t\)という瞬間において物体がどちらの方向へどれだけ動いているかを表す指標です。\(\boldsymbol{r}\)が定義域\(I\)上で微分可能であるならば、それぞれの時点\(t\in I\)における物体の瞬間速度\(\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)を特定するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{v}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が存在することが保証されます。つまり、速度関数\(\boldsymbol{v}\)は位置関数\(\boldsymbol{r}\)の導関数\(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\)です。さらに、位置関数\(\boldsymbol{r}\)が連続である場合には純変化量定理（微分積分学の第2定理）が要求する条件が満たされるため、\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( b\right) -\boldsymbol{r}\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) dt \\
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}が成り立つことが保証されます。つまり、速度関数\(\boldsymbol{v}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば時点\(a\)から時点\(b\)へかけての変位が得られます。

これまでの議論を整理すると、位置関数\(\boldsymbol{r}\)を点\(t\)において微分すれば時点\(t\)における物体の速度\(\boldsymbol{v}\left(t\right) \)が得られる一方で、速度関数\(\boldsymbol{v}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば時点\(a\)から時点\(b\)へかけての変位\(\boldsymbol{r}\left( b\right) -\boldsymbol{r}\left( a\right) \)が得られるということになります。

位置関数\(\boldsymbol{r}\)の形状が分からない場合でも速度関数\(\boldsymbol{v}\)の形状が明らかであれば、純変化量定理を用いることにより変位を特定できます。

平均加速度と瞬間加速度

位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の導関数\(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は速度関数\(\boldsymbol{v}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と一致し、これはそれぞれの時点\(t\)における点の速度\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}を特定します。時点\(t\in I\)および\(t+h\in I\)を満たす\(h\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を選んだとき、速度の差\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{\prime }\left( t+h\right) -x^{\prime }\left( t\right) \\
y^{\prime }\left( t+h\right) -y^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ x^{\prime }\left( t+h\right) -x^{\prime }\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ y^{\prime }\left( t+h\right) -y^{\prime }\left(
t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}とは、2つの時点\(t\)および\(t+h\)の前後において、物体の速度がどのように変化したかを表すベクトルです。このベクトルの向きは時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点の速度がどちらの方向へ変化したかを表します。つまり、\begin{equation*}\text{時点}t\text{から時点}t+h\text{にかけて速度は}\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) \text{方向へ変化する}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、速度の差\(\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) \)の大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)は時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて速度がどれくらい変化したかを表します。つまり、\begin{equation*}\text{時点}t\text{から時点}t+h\text{にかけて速度は}\left\Vert
\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert
\text{だけ変化する}
\end{equation*}ということです。

速度の差に相当するベクトル\(\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) \)は2つの時点\(t\)と\(t+h\)の前後において物体の速度がどのように変化したかを描写する指標であり、その2つの時点の間にある\(h\)秒間に物体の速度が実際にどのように変化したかについては何も教えてくれません。このベクトルを経過時間\(h\)で割ることにより得られる指標\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right] \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{h}\left[ x^{\prime }\left( t+h\right) -x^{\prime }\left( t\right) \right] \\
\frac{1}{h}\left[ y^{\prime }\left( t+h\right) -y^{\prime }\left( t\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\frac{1}{h}\left[ x^{\prime }\left( t+h\right) -x^{\prime }\left(
t\right) \right] \boldsymbol{i}+\frac{1}{h}\left[ y^{\prime }\left(
t+h\right) -y^{\prime }\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を平均加速度（average acceleration）と呼びます。これはどのような意味を持つ指標でしょうか。

平均加速度\(\frac{\boldsymbol{v}\left(t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) }{h}\)は平面上のベクトルですが、その大きさは速度の差\(\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left(t\right) \)の\(\frac{1}{h}\)になっています。つまり、平均加速度は単位時間（1秒）あたりの速度の差であり、\(h\)秒間に物体の速度が平均的にどちらの方向にどれくらいのペースで変化したかを表す指標です。

速度の変化を正確に描写するためには、より短い経過時間\(h\)の中での速度の変化を観察した上で、その平均加速度\(\frac{\boldsymbol{v}\left(t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) }{h}\)を見る必要があります。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、速度関数\(\boldsymbol{v}=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\)の点\(t\)における微分係数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{v}\left( t+h\right) -\boldsymbol{v}\left( t\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \boldsymbol{r}^{\prime }\left(
t+h\right) -\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right] \\
&=&\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{\prime \prime }\left( t\right) \\
y^{\prime \prime }\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x^{\prime \prime }\left( t\right) \boldsymbol{i}+y^{\prime \prime }\left(
t\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}をとれば、それは時点\(t\)における瞬間的な加速度が得られます。これを時点\(t\)における瞬間加速度（instantaneous acceleration）や加速度（acceleration）などと呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right)
\end{equation*}で表記します。加速度は時点\(t\)における速度の変化を正確に記述しています。

位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の導関数\(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\)すなわち速度関数\(\boldsymbol{v}\)は経過時点と物体の速度の関係を表します。さらに、速度関数\(\boldsymbol{v}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を点\(t\in I\)において微分すれば（位置関数\(\boldsymbol{r}\)を点\(t\)において2階微分すれば）、時点\(t\)における点の加速度\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right)
\end{equation*}が得られることが明らかになりました。これは、時点\(t\)という瞬間において物体の速度がどのように変化しているかを表す指標です。位置関数\(\boldsymbol{r}\)が定義域\(I\)上で\(2\)階微分可能であるならば、それぞれの時点\(t\in I\)における物体の加速度\(\boldsymbol{a}\left( t\right) =\boldsymbol{v}^{\prime}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime \prime }\left( t\right) \)を特定するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{a}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が存在することが保証されます。これは速度関数\(\boldsymbol{v}\)の導関数であり、位置関数\(\boldsymbol{r}\)の2階導関数に相当します。さらに、速度関数\(\boldsymbol{v}\)が連続である場合には純変化定理（微分積分学の第2定理）が要求する条件が満たされるため、\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( b\right) -\boldsymbol{v}\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{v}^{\prime }\left( t\right) dt \\
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{a}\left( t\right) dt
\end{eqnarray*}が成り立つことが保証されます。つまり、加速度関数\(\boldsymbol{a}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば、時点\(a\)から時点\(b\)へかけての点の速度の変化が得られます。

これまでの議論を整理すると、速度関数\(\boldsymbol{v}\)を点\(t\)において微分すれば時点\(t\)における物体の加速度\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)が得られる一方で、加速度関数\(\boldsymbol{a}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば時点\(a\)から時点\(b\)へかけての速度の変化\(\boldsymbol{v}\left( b\right) -\boldsymbol{v}\left( a\right) \)が得られるということになります。

速度関数\(\boldsymbol{v}\)の形状が分からない場合でも、加速度関数\(\boldsymbol{a}\)の形状が明らかであれば、純変化量定理を用いることにより速度の変化を特定できます。

速さ

位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を点\(t\in I\)において微分すれば、時点\(t\)における点の速度\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right)
\end{equation*}が得られることが明らかになりました。速度は時点\(t\)において物体がどちらの方向にどれだけ動いているかを表す指標です。速度\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)はベクトルですが、\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)の向きは物体が移動する方向を表し、\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)の大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert \)は物体がどれだけ動いているかを表します。特に、速度の大きさ\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert
\end{equation*}を時点\(t\)における速さ（speed）と呼びます。

道のり（弧長）

平面上を動く物体の位置ベクトルが位置関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)によって表現されている場合、物体の軌跡全体は曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ r\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}として表現されます。時点\(t\)における速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{\prime }\left( t\right) \\
y^{\prime }\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、時点\(t\)における速さは、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
x^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ y^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}です。\(a<b\)を満たす\(a,b\in I\)を任意に選びます。位置関数\(\boldsymbol{r}\)が\(C^{1}\)級である場合、曲線\(C\left( \boldsymbol{r}\right) \)上の弧\begin{equation*}\left\{ r\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq a\leq t\leq b<+\infty \right\}
\end{equation*}の弧長（arc length）は、\begin{eqnarray*}
\Lambda \left( a,b\right) &=&\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert dt \\
&=&\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ x^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
y^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}dt
\end{eqnarray*}として得られますが、これは時点\(t=a\)から\(t=b\)までの物体の移動距離、すなわち道のり(distance traveled)を表します。特に、初期時点\(t=0\)から時点\(T>0\)までの道のりは、\begin{eqnarray*}\Lambda \left( 0,T\right) &=&\int_{0}^{T}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime
}\left( t\right) \right\Vert dt \\
&=&\int_{0}^{T}\sqrt{\left[ x^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[
y^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}dt
\end{eqnarray*}です。

演習問題