ベクトル値関数のノルムと定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を定める実数値関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界かつリーマン積分可能である場合、関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上において有界かつリーマン積分可能であるとともに、両者の定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\left\Vert \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert \leq
\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定積分のノルムは関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)の定積分を上回らないということです。
\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}が成り立つ。
\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert dt
\end{equation*}が成り立ちます。左辺中の\(\int_{a}^{b}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\)は速度ベクトルを積分したものであるため変位、すなわち出発点から到達点までを結ぶベクトルを表します。したがって左辺は変位の大きさ、すなわち出発点と到達点の直線距離（最短距離）を表します。一方、右辺は速さを積分したものであるため道のりを表します。つまり、途中で曲がったり行ったり来たりしたとしても、移動した距離をすべて正の数としてカウントした上での総量が右辺です。したがって先の不等式は、出発点から到達点への直線距離が、出発点から到達点への道のり以下であるという主張に相当します。これは直感と符合します。物体が出発点から到達点まで直進した場合には直線距離と道のりは一致するため不等式は等号で成立し、そうではない場合、すなわち途中で少しでも進む向きを変えた場合には道のりは直線距離よりも長くなるため不等式は狭義の不等号で成立します。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。この場合、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{v}\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right) dt \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \sin \left( t\right) \right] _{0}^{\pi } \\
\left[ -\cos \left( t\right) \right] _{0}^{\pi }\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \pi \right) -\sin \left( 0\right) \\
-\cos \left( \pi \right) +\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \int_{0}^{\pi }\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\right\Vert
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+2^{2}} \\
&=&2
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert &=&\sqrt{\cos
^{2}\left( t\right) +\sin ^{2}\left( t\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\pi }\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert dt
&=&\int_{0}^{\pi }1dt \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{\pi } \\
&=&\pi
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
\left\Vert \int_{0}^{\pi }\boldsymbol{v}\left( t\right) dt\right\Vert
<\int_{0}^{\pi }\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert dt
\end{equation*}が成立します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。先の速度\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)のもとで物体は常に一定の速さ\(1\)で進んでいますが、向きが刻々と変化します。したがって、直線距離（左辺）は道のり（右辺）よりも小さくなります。
積分不等式の等号成立条件
先の命題中の不等式\begin{equation*}
\left\Vert \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert \leq
\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}はどのような条件のもとで等号で成立するのでしょうか。
先に例を通じて確認したように、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)を速度ベクトルとみなす解釈のもとでは、物体が出発点から到達点まで直進する場合に直線距離（左辺）と道のり（右辺）が一致するため不等式が等号で成立します。物体が直進することとは速度ベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が常に一定方向に固定されていることを意味します。実際、以下の命題が成り立ちます。
x\right) \boldsymbol{e}
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\left\Vert \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert
=\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
\begin{array}{c}
x \\
2x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は常に\(\left( 1,2\right) \)方向を向いています。これを単位ベクトル化すると、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sqrt{5}} \\
\frac{2}{\sqrt{5}}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。関数\(\phi :\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を、\begin{equation*}\phi \left( x\right) =\sqrt{5}x
\end{equation*}と定義すれば、これは非負値をとるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0,1\right] :\boldsymbol{f}\left( x\right) =\phi \left(
x\right) \boldsymbol{e}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\Vert \int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert
=\int_{0}^{1}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left(
\begin{array}{c}
x \\
2x\end{array}\right) dx \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ x^{2}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert &=&\sqrt{\frac{1}{4}+1} \\
&=&\sqrt{\frac{5}{4}} \\
&=&\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert &=&\sqrt{x^{2}+4x^{2}}
\\
&=&\sqrt{5x^{2}} \\
&=&\sqrt{5}x\quad \because x\in \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ゆえに、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
&=&\int_{0}^{1}\sqrt{5}xdx \\
&=&\left[ \frac{\sqrt{5}}{2}x^{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\Vert \int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert
=\int_{0}^{1}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}を得ます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
定積分のノルムの評価
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がリーマン積分可能であることが判明している中で、定積分の大きさ\begin{equation}\left\Vert \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を評価しようとしている状況を想定します。\(\boldsymbol{f}\)を積分するのが困難である場合には\(\left( 1\right) \)を直接計算できません。その一方で、ノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を積分するのが容易である場合には、先の命題より、\begin{equation*}\left\Vert \int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\right\Vert \leq
\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)がとり得る範囲を上から評価することはできます。
\begin{array}{c}
\cos \left( x^{2}\right) \\
\sin \left( x^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、\(T>0\)について、\begin{equation}\left\Vert \int_{0}^{T}f\left( x\right) dx\right\Vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を評価しようとしている状況を想定します。\(\cos \left( x^{2}\right) \)や\(\sin \left( x^{2}\right) \)を積分するのは困難であるため\(\left( 1\right) \)を計算できません。その一方で、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert &=&\sqrt{\cos
^{2}\left( x^{2}\right) +\sin ^{2}\left( x^{2}\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{T}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert dx
&=&\int_{0}^{T}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{0}^{T} \\
&=&T
\end{eqnarray*}であり、したがって先の命題より、\begin{equation*}
\left\Vert \int_{0}^{T}f\left( x\right) dx\right\Vert \leq T
\end{equation*}を得ます。
演習問題
\begin{array}{c}
e^{t}\cos \left( t\right) \\
e^{t}\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。速さは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right) \right\Vert =e^{t}
\end{equation*}であるため、この物体は指数関数的に加速しながら向きを変えて移動しています。以下の問いに答えてください。
- 速度を\(\left[ 0,\pi \right] \)上で積分することにより得られる変位のノルム（直線距離）を求めてください。
- 速度のノルム（速さ）を積分することにより得られる道のりを求めてください。
- 両者を比較した上で、その結果を解釈してください。
\right\Vert \leq 10
\end{equation*}を満たす範囲に制限されているものとします。以下の問いに答えてください。
- 時点\(t=1\)において探索機が原点からもっとも遠い地点に到達するために\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)が満たすべき条件を、積分不等式の等号成立条件を用いて説明してください。
- 探索機の進路に横風が吹き、速度ベクトルが、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
10 \\
\sin \left( 2\pi t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}となった場合、時点\(t=1\)における到達地点の原点からの距離と、実際の総走行距離を求めた上で両者を比較し、結果を解釈してください。
=0\Rightarrow \int_{0}^{1}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( t\right)
\right\Vert dt=0
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。その上で、結果を解釈してください。
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