放物運動（斜方投射）

斜方投射

物体を斜め上方に射出し、あとは重力に任せて落下させるような運動を斜方投射（projectile motion）と呼びます。ここでは空気の摩擦や抵抗などの影響を無視します。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に直交座標を導入し、物体の位置を平面上の点として表現します。平面上を移動する物体を観察し、経過時間と物体の位置（平面上での点の位置ベクトル）の関係をベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として整理します。また、その成分関数をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
x &:&\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \\
y &:&\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で表記します。つまり、初期時点、すなわち計測を開始した時点\(t=0\)における物体の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( 0\right) \\
y\left( 0\right)
\end{array}\right) =x\left( 0\right) \boldsymbol{i}+y\left( 0\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}であり、時点\(0\)からさらに時間が\(t\geq 0\)だけ経過した時点における物体の位置ベクトルは、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) =x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}であるということです。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。原点\(\left( 0,0\right) \)を物体の初期位置と合致させます。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。

便宜的に、時間の単位として「秒」を採用し、長さの単位として「メートル」を採用します。また、初期時点\(0\)から\(t\)秒経過した時点を「時点\(t\)」と呼び、時点\(t\)における物体の位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)を時点\(t\)における物体の位置と呼ぶこととします。

時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における物体の速度（瞬間速度）は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) \\
&=&\frac{dx\left( t\right) }{dt}\boldsymbol{i}+\frac{dy\left( t\right) }{dt}\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}であり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における物体の加速度（瞬間加速度）は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{a}\left( t\right) &=&\frac{d\boldsymbol{v}\left( t\right) }{dt}
\\
&=&\frac{d^{2}\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt^{2}} \\
&=&\left( \frac{\frac{d^{2}x\left( t\right) }{dt^{2}}}{\frac{d^{2}y\left(
t\right) }{dt^{2}}}\right) \\
&=&\frac{d^{2}x\left( t\right) }{dt^{2}}\boldsymbol{i}+\frac{d^{2}y\left(
t\right) }{dt^{2}}\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}です。物体が動く、止まる、加速する、減速するなど、運動の状態が変化するということは、その物体の加速度の変化として記述されます。

ニュートンの運動の第2法則より、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation}\boldsymbol{F}\left( t\right) =m\left( t\right) \boldsymbol{a}\left(
t\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\left( t\right) =\frac{\boldsymbol{F}\left( t\right) }{m\left(
t\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(m\left( t\right) \)は時点\(t\)における物体の質量であり、\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)は時点\(t\)における物体の加速度であり、\(\boldsymbol{F}\left( t\right) \)は時点\(t\)において物体に作用する力です。つまり、物体の加速度\(\boldsymbol{a}\left( t\right) \)は物体に作用する力\(\boldsymbol{F}\left( t\right) \)に比例し、物体の質量\(m\left( t\right) \)に反比例します。

物体の質量は時間が変化しても一定であるため、定数\(m>0\)が存在して、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation*}m\left( t\right) =m
\end{equation*}が成り立ちます。また、物体に作用する力\(\boldsymbol{F}\left( t\right) \)として重力だけを考慮しているため、質量\(m\)の物体に働く重力の大きさは、重力定数\(g>0\)を用いて\(mg\)と記述されます。時間\(t\)の経過とともに物体が位置を変えても重力定数\(g\)はほぼ一定であるため、任意の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation*}\boldsymbol{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-mg\end{array}\right) =-mg\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。これらと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}-mg\boldsymbol{j}=m\boldsymbol{a}\left( t\right)
\end{equation*}を得ます。さらに\(m>0\)であるため両辺を\(m\)で割ることができ、その結果\(m\)が消去されて、\begin{equation}\boldsymbol{a}\left( t\right) =-g\boldsymbol{j} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。時間が経過しても加速度は一定であるということです。ちなみに、\begin{equation*}
\left\Vert -g\boldsymbol{j}\right\Vert =g
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{a}\left( t\right) \right\Vert =g
\end{equation*}を得ます。つまり、加速度の大きさは重力定数\(g\approx 9.8m/s^{2}\)と一致します。

時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における速度は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{v}\left( t\right) &=&\int \boldsymbol{a}\left( t\right) dt+\boldsymbol{C}\quad \because \boldsymbol{a}\left( t\right) =\frac{d\boldsymbol{v}\left( t\right) }{dt} \\
&=&\int \left( -g\boldsymbol{j}\right) dt+\boldsymbol{C}\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&-gt\boldsymbol{j}+\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( 0\right) =\boldsymbol{C}
\end{equation*}となり、したがって、\begin{equation}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =-gt\boldsymbol{j}+\boldsymbol{v}\left(
0\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。

時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における物体の位置は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\int \boldsymbol{v}\left( t\right) dt+\boldsymbol{D}\quad \because \boldsymbol{v}\left( t\right) =\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt} \\
&=&\int \left[ -gt\boldsymbol{j}+\boldsymbol{v}\left( 0\right) \right] dt+\boldsymbol{D}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&-\frac{1}{2}gt^{2}\boldsymbol{j}+t\boldsymbol{v}\left( 0\right) +\boldsymbol{D}
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\boldsymbol{D}
\end{equation*}となりますが、これと\(\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\boldsymbol{0}\)より、\begin{equation*}\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) =-\frac{1}{2}gt^{2}\boldsymbol{j}+t\boldsymbol{v}\left( 0\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

射出角度を用いた位置ベクトルの表現

物体の軌跡はベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{r}\right) =\left\{ \boldsymbol{r}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{equation*}として表現されますが、この曲線の\(t=0\)における接線の傾きは接ベクトル\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{r}\left( 0\right) }{dt}=\boldsymbol{v}\left( 0\right)
\end{equation*}と一致します。さらに、物体の射出角度を\(\theta \in \mathbb{R} \)で表記すると以下の図が得られます。

初期時点における速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( 0\right) =\frac{dx\left( 0\right) }{dt}\boldsymbol{i}+\frac{dy\left( 0\right) }{dt}\boldsymbol{j}
\end{equation*}ですが、正弦と余弦の定義より、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta \right) &=&\frac{\frac{dx\left( 0\right) }{dt}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert } \\
\sin \left( \theta \right) &=&\frac{\frac{dy\left( 0\right) }{dt}}{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{dx\left( 0\right) }{dt} &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\right\Vert \cos \left( \theta \right) \\
\frac{dy\left( 0\right) }{dt} &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\right\Vert \sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation}
\boldsymbol{v}\left( 0\right) =\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\right\Vert \cos \left( \theta \right) \boldsymbol{i}+\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert \sin \left( \theta \right) \boldsymbol{j}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&-\frac{1}{2}gt^{2}\boldsymbol{j}+t\boldsymbol{v}\left( 0\right) \quad \because \text{先の命題} \\
&=&-\frac{1}{2}gt^{2}\boldsymbol{j}+t\left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left(
0\right) \right\Vert \cos \left( \theta \right) \boldsymbol{i}+\left\Vert
\boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert \sin \left( \theta \right)
\boldsymbol{j}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert \cos \left( \theta
\right) t\boldsymbol{i}+\left[ \left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\right\Vert \sin \left( \theta \right) t-\frac{1}{2}gt^{2}\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
x\left( t\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
\cos \left( \theta \right) t \\
y\left( t\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
\sin \left( \theta \right) t-\frac{1}{2}gt^{2}
\end{eqnarray*}を得ます。

物体の飛距離

物体が地表（\(x\)軸）に着地した時点における総飛距離を\(d\in \mathbb{R} \)で表記します。これは\(y\left( t\right) =0\)を満たす\(t\in \mathbb{R} _{+}\)のもとでの\(x\left( t\right) \)の値に他なりません。つまり、\begin{equation*}d=x\left( t\right) \quad s.t.\quad y\left( t\right) =0
\end{equation*}です。制約条件を変形すると、\begin{eqnarray*}
y\left( t\right) =0 &\Leftrightarrow &\left\Vert \boldsymbol{v}\left(
0\right) \right\Vert \sin \left( \theta \right) t-\frac{1}{2}gt^{2}=0\quad
\because \text{先の命題} \\
&\Leftrightarrow &t=\frac{2}{g}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right)
\right\Vert \sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
d &=&x\left( \frac{2}{g}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
\sin \left( \theta \right) \right) \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert \cos \left( \theta
\right) \frac{2}{g}\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert \sin
\left( \theta \right) \quad \because \text{先の命題}
\\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}\left[
2\sin \left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) \right] }{g} \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}\sin
\left( 2\theta \right) }{g}\quad \because \text{2倍角の公式}
\end{eqnarray*}を得ます。

上の命題より、射出速度\(\boldsymbol{v}\left( 0\right) \)と重力定数\(g\)が一定である場合、\(\sin \left( 2\theta \right) \)を最大化する射出角度\(\theta \)のもとで飛距離\(d\)は最大化されます。\(\sin \left( 2\theta \right) \)の最大値は\(1\)ですが、これは、\begin{equation*}2\theta =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\theta =\frac{\pi }{4}
\end{equation*}のもとで達成されます。つまり、射出速度と重力定数が一定である場合には、射出角度を\(45\)度に設定すれば飛距離は最大化されます。

軌跡の形状

斜方投射された物体の時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における位置ベクトルは、\begin{eqnarray*}x\left( t\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
\cos \left( \theta \right) t \\
y\left( t\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert
\sin \left( \theta \right) t-\frac{1}{2}gt^{2}
\end{eqnarray*}として与えられることが明らかになりました。ここから\(t\)を消去して\(x\)と\(y\)の関係式を得ることにより、物体の軌跡が以下のようにして得られます。

以上の命題より、斜方投射された物体の軌跡は放物線であることが明らかになりました。ただし、\begin{equation*}
-\frac{g}{2\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}\cos
^{2}\left( \theta \right) }<0
\end{equation*}ゆえに放物線は上に凸であるとともに、放物線の頂点座標は、\begin{equation*}
\left( \frac{\left\Vert \boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}\sin
\left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) }{g},\frac{\left\Vert
\boldsymbol{v}\left( 0\right) \right\Vert ^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right)
}{2g}\right)
\end{equation*}です。