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連続なベクトル値関数のスカラー倍の原始関数・不定積分・定積分（スカラー倍の法則）

〈　ベクトル値関数の原始関数と不定積分
連続なベクトル値関数のベクトル和の原始関数・不定積分・定積分（ベクトル和の法則）　〉
区間上に定義された連続なベクトル値関数と、そのスカラー倍として定義されるベクトル値関数について、両者の原始関数、不定積分、定積分の間に成立する関係について解説します。
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連続なベクトル値関数のスカラー倍の原始関数

区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられたとき、スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。

関数\(\boldsymbol{f}\)は定義域である区間\(I\)上で連続であるものとします。この場合、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(I\)上で連続になることが保証されます。区間上で連続な関数は原始関数を持つことが保証されるため、この場合、2つの関数\(\boldsymbol{f}\)および\(c\boldsymbol{f}\)はともに原始関数を持つことが保証されます。では、両者の原始関数の間にどのような関係が成り立つのでしょうか。

先の議論より関数\(\boldsymbol{f}\)は原始関数を持つことが保証されるため、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\begin{equation*}\boldsymbol{F}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in I:\boldsymbol{F}^{\prime }\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(\boldsymbol{F}\)を任意に選ぶということです。さらに、ベクトル\(\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだ上で、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{F}\left( x\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。この関数\(c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\)は微分可能であるとともに、関数\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:\left( c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\right) ^{\prime }\left(
x\right) =\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

つまり、区間上で連続な関数\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしている関数\(c\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}\)を\(c\)倍した上で任意のベクトル\(\boldsymbol{C}\)を加えれば、得られた関数\(c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\)は\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数になります。したがって、区間上で連続な関数\(\boldsymbol{f}\)の定数倍の形をしている関数\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数を探す際には、まずは\(c\)と\(\boldsymbol{f}\)を分けた上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の原始関数を探せばよいということになります。

命題（連続なベクトル値関数のスカラー倍の原始関数）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるものとする。この場合、\(\boldsymbol{f}\)と\(c\boldsymbol{f}\)はともに原始関数を持つ。そこで、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とベクトル\(\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだ上で関数\(c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すると、これは\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数になる。
証明

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区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は無数の原始関数を持つため、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数をすべて集めた集合を、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これと先の関数\(\boldsymbol{f}\)から新たなベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、この関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた連続であるため無数の原始関数を持ちます。この関数\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数をすべて集めた集合を、\begin{equation*}P\left( c\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。以上の2つの集合の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。

先に示したように、関数\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}\)とベクトル\(\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだとき、関数\(c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\)は関数\(c\boldsymbol{f}\)の原始関数になることが保証されるため、\(\boldsymbol{f}\)の何らかの原始関数をスカラー\(c\)倍した上で何らかのベクトル\(\boldsymbol{C}\)を加えることで得られるすべての関数からなる集合を、\begin{equation*}cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}=\left\{ c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\ |\ \boldsymbol{F}\in P\left( \boldsymbol{f}\right) \wedge
\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{equation*}
cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}\subset P\left( c\boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆に、\begin{equation*}
P\left( c\boldsymbol{f}\right) \subset cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}もまた成立するため（演習問題）、結局、\begin{equation*}
P\left( c\boldsymbol{f}\right) =cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}を得ます。つまり、関数\(c\boldsymbol{f}\)のすべての原始関数からなる集合（左辺）は、関数\(\boldsymbol{f}\)の何らかの原始関数をスカラー\(c\)倍した上で何らかのベクトルを加えることで得られるすべての関数からなる集合（右辺）と一致するということです。

命題（連続なベクトル値関数のスカラー倍の原始関数からなる集合）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。関数\(\boldsymbol{f}\)は連続であるものとする。この場合、\(\boldsymbol{f}\)と\(c\boldsymbol{f}\)は原始関数を持つとともに、以下の関係\begin{equation*}P\left( c\boldsymbol{f}\right) =cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(P\left( \boldsymbol{f}\right) \)は関数\(\boldsymbol{f}\)のすべての原始関数からなる集合であり、\(P\left( c\boldsymbol{f}\right) \)は関数\(c\boldsymbol{f}\)のすべての原始関数からなる集合であり、また、\begin{equation*}cP\left( \boldsymbol{f}\right) +\boldsymbol{C}=\left\{ c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\ |\ \boldsymbol{F}\in P\left( \boldsymbol{f}\right) \wedge
\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}である。

証明

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連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分

連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数の不定積分と、その関数のスカラー倍として定義される関数の不定積分の間には以下が成り立ちます。

命題（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるものとする。この場合、\(\boldsymbol{f}\)の不定積分と\(c\boldsymbol{f}\)の不定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int \left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=c\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
c\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}=\left\{ c\boldsymbol{F}+\boldsymbol{C}\ |\ \boldsymbol{F}\in \int \boldsymbol{f}\left( x\right)
dx\wedge \boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}である。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}\int \left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\int f_{1}\left( x\right) dx \\
\int f_{2}\left( x\right) dx\end{array}\right) +\boldsymbol{C} \\
&=&\left( c\int f_{1}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{i}+\left( c\int
f_{2}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{j}+\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}\int \left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\int f_{1}\left( x\right) dx \\
\int f_{2}\left( x\right) dx \\
\int f_{3}\left( x\right) dx\end{array}\right) +\boldsymbol{C} \\
&=&\left( c\int f_{1}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{i}+\left( c\int
f_{2}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{j}+\left( c\int f_{3}\left(
x\right) dx\right) \boldsymbol{k}+\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に関して以下の不定積分\begin{equation*}\int 12.345\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。スカラー倍の法則を利用しない場合には\(12.345\)という数字を抱えて計算する必要があり、計算ミスのリスクが高まります。一方、スカラー倍の法則のもとでは、\begin{equation*}\int 12.345\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=12.345\int \boldsymbol{f}\left(
x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の不定積分を特定する作業にリソースを集中し、最後に定数\(12.345\)を掛けた上で積分定数\(\boldsymbol{C}\)を加えるだけで済みます。スカラー倍の法則は計算リソースの節約をもたらします。
例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
連続な速度ベクトル関数\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)の不定積分\begin{equation}\int \boldsymbol{v}\left( t\right) dt \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。観測データが「分」単位で得られている一方で、最終的な不定積分を「秒」単位の基準で求めたい場合を考えます。単位変換後の速度ベクトル関数は\(\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) \)であるため、スケールを変えてから不定積分を特定する場合には、\begin{equation*}\int \frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}を計算することになります。一方、スカラー倍の法則より、\begin{equation*}
\int \frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt=\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つため、「分」単位で導出した不定積分\(\left( 1\right) \)に係数\(\frac{1}{60}\)を掛けて単位を調整しても同じ結果が得られることが保証されます。もしこの性質がなければ、不定積分を導出する直前にすべての単位をそろえなければならず、計算の自由度が制限されます。
例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の不定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\left[ -\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) \right] dx+\boldsymbol{C}\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\int \left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) dx+\boldsymbol{C}\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\int xdx \\
\int x^{2}dx\end{array}\right) +\boldsymbol{C} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}x^{2}+D_{1} \\
\frac{1}{3}x^{3}+D_{2}\end{array}\right) +\boldsymbol{C} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}x^{2} \\
\frac{1}{3}x^{3}\end{array}\right) +\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分

連続なベクトル値関数とそのスカラー倍として定義されるベクトル値関数の原始関数の間に成立する関係が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、両者の定積分の間に成立する関係を以下のように特定できます。

命題（連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)は連続であるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)と\(c\boldsymbol{f}\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、両者の定積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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つまり、区間上で連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、その区間の部分集合であるような任意の有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(\boldsymbol{f}\)と\(c\boldsymbol{f}\)はともにリーマン積分可能であるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の定積分を\(c\)倍すれば、\(c\boldsymbol{f}\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、区間上で連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしている関数\(c\boldsymbol{f}\)の定積分を求める際には、まずは\(c\)と\(\boldsymbol{f}\)を分けた上で、\(\boldsymbol{f}\)の定積分を求めればよいということになります。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left( c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{i}+\left(
c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&c\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx \\
\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left( c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{i}+\left(
c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{j}+c\left(
\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
ドローンの飛行テストから得られた速度ベクトルに関する観測データが、\begin{equation*}
v\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
60t \\
30t^{2}\end{array}\right) \quad \left( 0\leq t\leq 2\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、時間の単位は分であり、速度の単位はメートル毎分であるものとします。時点\(t=0\)から\(t=2\)までのドローンの変位を求めます。ただし、最終的な回答はメートル毎秒の基準で導出する必要があるものとします。この場合、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2}\frac{1}{60}v\left( t\right) dt &=&\frac{1}{60}\int_{0}^{2}v\left( t\right) dt\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&\frac{1}{60}\int_{0}^{2}\left(
\begin{array}{c}
60t \\
30t^{2}\end{array}\right) dt \\
&=&\frac{1}{60}\left(
\begin{array}{c}
\left[ 30t^{2}\right] _{0}^{2} \\
\left[ 10t^{3}\right] _{0}^{2}\end{array}\right) \\
&=&\frac{1}{60}\left(
\begin{array}{c}
120 \\
80\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
\frac{4}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、観測データのもとでの変位\begin{equation*}
\int_{0}^{2}v\left( t\right) dt
\end{equation*}をあらかじめ計算しておけば、その値に係数\(\frac{1}{60}\)を掛けるだけで単位の変換に対応できます。もし「メートル毎ミリ秒」など別の単位系への変更が必要になっても、最終的に掛ける係数を調整するだけでよく、積分をやり直す必要はありません。
例（連続なベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left[ -\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) \right] dx\quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\int_{a}^{b}\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) dx\quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}xdx \\
\int_{a}^{b}x^{2}dx\end{array}\right) \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b} \\
\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right] _{a}^{b}\end{array}\right) \\
&=&-\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2} \\
\frac{1}{3}b^{3}-\frac{1}{3}a^{3}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{a^{2}-b^{2}}{2} \\
\frac{a^{3}-b^{3}}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題（原始関数に関するスカラー倍の法則）
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。ある原始関数\(\boldsymbol{F}\in P\left( cf\right) \)が与えられたとき、\begin{equation*}\boldsymbol{G}\left( x\right) =\frac{1}{c}\boldsymbol{F}\left( x\right)
\end{equation*}と定義される関数\(\boldsymbol{G}\)が\(\boldsymbol{f}\)の原始関数であることを証明してください。
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問題（不定積分に関するスカラー倍の法則）
以下のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
3x^{2} \\
e^{x}\end{array}\right)
\end{equation*}について、不定積分\begin{equation*}
\int 4\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

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問題（不定積分および定積分に関するスカラー倍の法則）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =2\cos \left( x\right) \boldsymbol{i}+2\sin
\left( x\right) \boldsymbol{j}+2x\boldsymbol{k}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。

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問題（速度ベクトルと変位）
ある移動体の速度ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。この移動体の時点\(t=0\)から\(t=\pi \)までの変位を求めたいのですが、移動体の出力調整により、実際の速度は常に\(3.5\)倍の\(3.5\boldsymbol{v}\left( t\right) \)であることが明らかになりました。実際の変位を求めてください。
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問題（動的な単位変換とパラメータ解析）
実験用ドローンの加速度ベクトルが、基準環境（重力\(g\)）において、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
6t\end{array}\right)
\end{equation*}であると計測されました。このドローンを、重力が基準の\(k\)倍である特殊な環境で稼働させます。このとき、速度ベクトルは基準環境の\(k\)倍、すなわち\(k\boldsymbol{a}\left( t\right) \)になるものと仮定します。ただし、時点\(t=0\)においてドローンは静止状態\(\boldsymbol{v}\left( 0\right) =\boldsymbol{0}\)かつ初期位置は原点\(\boldsymbol{r}\left( 0\right) =\boldsymbol{0}\)であるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. 基準環境における位置関数の一般式を求めてください。
  2. 特殊環境における位置関数の一般式を\(k\)を含んだ形で求めてください。
  3. 特殊環境において時点\(t=3\)における変位の大きさを測定したところ、基準環境で計算される値のちょうど\(5\)倍になっていました。この事実から、重力倍率\(k\)の値を導出してください。
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〈　ベクトル値関数の原始関数と不定積分
連続なベクトル値関数のベクトル和の原始関数・不定積分・定積分（ベクトル和の法則）　〉
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