ベクトル値関数のスカラー倍の定積分
1変数の実数関数の定積分に関しては定数倍の法則が成り立ちますが、本節では、同様の性質がベクトル値関数においても引き継がれることを確認します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
スカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{f}\left(
x\right) =\left(
\begin{array}{c}
cf_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
cf_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。
関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数のスカラー倍の定積分）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx=c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（リーマン積分可能な関数のスカラー倍）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx \\
&=&c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\boldsymbol{i}+c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
&=&c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\boldsymbol{i}+c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（リーマン積分可能な関数のスカラー倍）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)がリーマン積分可能であるならば\(c\boldsymbol{f}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) dx &=&c\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx \\
&=&c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\boldsymbol{i}+c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+c\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
&=&c\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx\boldsymbol{i}+c\int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right) dx\boldsymbol{j}+c\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx\boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（リーマン積分可能な関数のスカラー倍）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に関して以下の定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}12.345\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。スカラー倍の法則を利用しない場合には\(12.345\)という数字を抱えて計算する必要があり、計算ミスのリスクが高まります。一方、スカラー倍の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}12.345\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=12.345\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分に集中し、最後に係数\(12.345\)を掛けるだけで済みます。スカラー倍の法則は計算リソースの節約をもたらします。
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。スカラー倍の法則を利用しない場合には\(12.345\)という数字を抱えて計算する必要があり、計算ミスのリスクが高まります。一方、スカラー倍の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}12.345\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=12.345\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分に集中し、最後に係数\(12.345\)を掛けるだけで済みます。スカラー倍の法則は計算リソースの節約をもたらします。
例（リーマン積分可能な関数のスカラー倍）
時点\(t\)における速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)が与えられているものとします。時点\(t=0\)から\(t=T>0\)までの変位は、\begin{equation}\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt \quad \cdots (1)
\end{equation}として得られます。観測データが「分」単位で得られている一方で、最終的な変位を「秒」単位の基準で求めたい場合を考えます。単位変換後の速度ベクトルは\(\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) \)であるため、スケールを変えてから積分する場合には、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}を計算することになります。一方、スカラー倍の法則より、\begin{equation*}
\int_{0}^{T}\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt=\frac{1}{60}\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つため、「分」基準で導出した変位\(\left( 1\right) \)に係数\(\frac{1}{60}\)を掛けて単位を調整しても同じ結果が得られることが保証されます。つまり、どのタイミングで単位を変換しても、物理的な到達地点（変位）は変わらないということです。もしこの性質がなければ、常に積分する直前にすべての単位をそろえなければならず、計算の自由度が制限されます。
\end{equation}として得られます。観測データが「分」単位で得られている一方で、最終的な変位を「秒」単位の基準で求めたい場合を考えます。単位変換後の速度ベクトルは\(\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) \)であるため、スケールを変えてから積分する場合には、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}を計算することになります。一方、スカラー倍の法則より、\begin{equation*}
\int_{0}^{T}\frac{1}{60}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt=\frac{1}{60}\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つため、「分」基準で導出した変位\(\left( 1\right) \)に係数\(\frac{1}{60}\)を掛けて単位を調整しても同じ結果が得られることが保証されます。つまり、どのタイミングで単位を変換しても、物理的な到達地点（変位）は変わらないということです。もしこの性質がなければ、常に積分する直前にすべての単位をそろえなければならず、計算の自由度が制限されます。
例（リーマン積分可能な関数のスカラー倍）
ドローンのモーターへの指令値がマイクロ秒単位のデジタル信号として与えられるものとし、時点\(t\)における指令値ベクトルを\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)で表記します。ドローンの機体性能やバッテリー電圧に依存する係数を\(k\)で表記します。ドローンの各モーターは指令\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)を受け、機体の速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\left( t\right) \)が\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)に一致するように回転数を調整するものとします。理想的な状態では、\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =\boldsymbol{u}\left( t\right)
\end{equation*}が成り立つため、時点\(t=0\)から\(t=T>0\)までのドローンの変位は、\begin{equation}\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt=\int_{0}^{T}\boldsymbol{u}\left( t\right) dt \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。命令\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)が同じでも、向かい風が強い、あるいはバッテリー電圧が低いため、機体が指令通りの速度を出せず、常に指令の\(k\)倍の速度しか出せない状況下では、\begin{equation}\boldsymbol{v}\left( t\right) =k\boldsymbol{u}\left( t\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、この場合のドローンの変位は、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{T}k\boldsymbol{u}\left( t\right) dt\quad \because \left( 2\right) \\
&=&k\int_{0}^{T}\boldsymbol{u}\left( t\right) dt\quad \because \text{スカラー倍の法則}
\end{eqnarray*}となります。つまり、理想状態\(k=1\)における変位\(\left( 1\right) \)をあらかじめ計算しておけば、実際の出力\(k\)のもとで変位を計算し直す必要はなく、理想値\(\left(1\right) \)に係数\(k\)を掛けるだけで、出力\(k\)のもとでの変位を瞬時に特定できます。指令\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)の形状が複雑であるほど、このメリットは大きくなります。
\end{equation*}が成り立つため、時点\(t=0\)から\(t=T>0\)までのドローンの変位は、\begin{equation}\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt=\int_{0}^{T}\boldsymbol{u}\left( t\right) dt \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。命令\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)が同じでも、向かい風が強い、あるいはバッテリー電圧が低いため、機体が指令通りの速度を出せず、常に指令の\(k\)倍の速度しか出せない状況下では、\begin{equation}\boldsymbol{v}\left( t\right) =k\boldsymbol{u}\left( t\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、この場合のドローンの変位は、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}\left( t\right) dt &=&\int_{0}^{T}k\boldsymbol{u}\left( t\right) dt\quad \because \left( 2\right) \\
&=&k\int_{0}^{T}\boldsymbol{u}\left( t\right) dt\quad \because \text{スカラー倍の法則}
\end{eqnarray*}となります。つまり、理想状態\(k=1\)における変位\(\left( 1\right) \)をあらかじめ計算しておけば、実際の出力\(k\)のもとで変位を計算し直す必要はなく、理想値\(\left(1\right) \)に係数\(k\)を掛けるだけで、出力\(k\)のもとでの変位を瞬時に特定できます。指令\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)の形状が複雑であるほど、このメリットは大きくなります。
演習問題
問題（パルス状の制御信号）
平面上を動くロボットに、断続的な推力を与える状況を想定します。時点\(t=0\)から\(t=2\)の間で、1秒ごとに推力の方向が切り替わる制御ベクトル\begin{equation*}f\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。このロボットの出力を\(k=1.5\)倍に強化したときの、\(2\)秒間の合計移動量を計算します。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。このロボットの出力を\(k=1.5\)倍に強化したときの、\(2\)秒間の合計移動量を計算します。以下の問いに答えてください。
- 標準出力\(k=1\)のもとでの合計移動量を計算してください。
- 出力を\(k=1.5\)に強化した場合の合計移動量を、スカラー倍の法則を利用せずに計算してください。
- 出力を\(k=1.5\)に強化した場合の合計移動量を、スカラー倍の法則を利用して計算してください。
- 以上の結果をもとに、スカラー倍の法則のメリットを説明してください。
問題（ドローンの総変位の計算）
あるドローンが、デジタル制御信号\(\boldsymbol{u}\left( t\right) \)にもとづいて以下の速度ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{v}\left( t\right) =k\boldsymbol{u}\left( t\right)
\end{equation*}のもとで2秒間移動しました。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{u}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
3t^{2} \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4t\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
k=\frac{\ln \left( 7\right) \sqrt{314}}{2.718}
\end{equation*}です。この2秒間でのドローンの総変位を求めてください。
\end{equation*}のもとで2秒間移動しました。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{u}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
3t^{2} \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
3 \\
4t\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
k=\frac{\ln \left( 7\right) \sqrt{314}}{2.718}
\end{equation*}です。この2秒間でのドローンの総変位を求めてください。
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