ベクトル値関数のベクトル和の定積分
1変数の実数関数の定積分に関しては和の法則が成り立ちますが、本節では、同様の性質がベクトル値関数においても引き継がれることを確認します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの1変数のベクトル値関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定め、\(\boldsymbol{g}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{eqnarray*}
f_{i} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
g_{i} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{eqnarray*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。
2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられれば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) +g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right) +g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数のベクトル和の定積分）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
例（リーマン積分可能な関数のベクトル和）
2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)からベクトル値関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともにリーマン積分可能であるならば\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx+\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx+\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（リーマン積分可能な関数のベクトル和）
2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)からベクトル値関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともにリーマン積分可能であるならば\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\\
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx+\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}+\left[
\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{3}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\\
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx+\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}+\left[
\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}g_{3}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。
例（リーマン積分可能な関数のベクトル和）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル和の法則を利用しない場合には2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が組み合わさった関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)を積分する必要があります。一方、ベクトル和の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\boldsymbol{f}\)の積分と関数\(\boldsymbol{g}\)の積分を別々に行い、最後に両者を加えるだけで済みます。ベクトル和の法則を利用すれば、複雑な問題を単純な問題の集まりに解体できるということです。
\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル和の法則を利用しない場合には2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が組み合わさった関数\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)を積分する必要があります。一方、ベクトル和の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\boldsymbol{f}\)の積分と関数\(\boldsymbol{g}\)の積分を別々に行い、最後に両者を加えるだけで済みます。ベクトル和の法則を利用すれば、複雑な問題を単純な問題の集まりに解体できるということです。
例（リーマン積分可能な関数のベクトル和）
区間\(\left[ 0,\pi \right] \)上に定義された連続な曲線\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と、同じく\(\left[ 0,\pi \right] \)上に定義された不連続な曲線\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq x<\frac{\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{4}\leq x<\frac{\pi }{2}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{2}\leq x<\frac{3\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{3\pi }{4}\leq x\leq \pi \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}について、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left(
x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル和の法則を使わずに計算しようとすると、\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の不連続点に合わせて積分範囲を4つに分割し、\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) +1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) +1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) -1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) -1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を計算する必要があります。この方法だと、本来一発で済むはずの\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分をわざわざ4回も行う必要があります。一方、ベクトル和の法則のもとでは、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx
\end{equation*}と\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{g}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を別々に行い、両者を合算すれば済みます。
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と、同じく\(\left[ 0,\pi \right] \)上に定義された不連続な曲線\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq x<\frac{\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{4}\leq x<\frac{\pi }{2}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{2}\leq x<\frac{3\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{3\pi }{4}\leq x\leq \pi \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}について、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left(
x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル和の法則を使わずに計算しようとすると、\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の不連続点に合わせて積分範囲を4つに分割し、\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) +1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) +1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) -1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) -1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を計算する必要があります。この方法だと、本来一発で済むはずの\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分をわざわざ4回も行う必要があります。一方、ベクトル和の法則のもとでは、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx
\end{equation*}と\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{g}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を別々に行い、両者を合算すれば済みます。
例（リーマン積分可能な関数のベクトル和）
探査ロボットが、内部プログラムによる自律移動ベクトル\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)と、外部から受ける風の干渉ベクトル\(\boldsymbol{g}\left( t\right) \)の合成速度のもとで移動しているものとします。時点\(t=0\)から\(t=1\)までの、このロボットの総変位を導出します。ただし、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{2}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2\end{array}\right) & \left( if\ \frac{1}{2}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)は滑らかな曲線である一方で、\(\boldsymbol{g}\)は不連続な曲線です。ベクトル和の法則を利用しない場合には自律移動分と風の干渉分が混ざった状態\(\boldsymbol{f}\left( t\right) +\boldsymbol{g}\left( t\right) \)のまま積分することになるため、以下の計算\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left[ \boldsymbol{f}\left( t\right) +\boldsymbol{g}\left(
t\right) \right] dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) +2 \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right) -2\end{array}\right) dt
\end{equation*}を強いられます。一方、ベクトル和の法則を利用する場合、自律移動分\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の影響\begin{equation*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( t\right) dt=\int_{0}^{1}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) dt
\end{equation*}と風の干渉分\(\boldsymbol{g}\left(t\right) \)の影響\begin{equation*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{g}\left( t\right) dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2\end{array}\right) dt
\end{equation*}を別々に計算した上で、最後に合算できます。このように分離して考えれば、風の強さが変わった場合や風が吹かなかった場合などを考える際に\(\int_{0}^{1}\boldsymbol{g}\left( t\right) dt\)だけを修正すればよく、全体の積分計算をやり直す必要がありません。
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<\frac{1}{2}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2\end{array}\right) & \left( if\ \frac{1}{2}\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\boldsymbol{f}\)は滑らかな曲線である一方で、\(\boldsymbol{g}\)は不連続な曲線です。ベクトル和の法則を利用しない場合には自律移動分と風の干渉分が混ざった状態\(\boldsymbol{f}\left( t\right) +\boldsymbol{g}\left( t\right) \)のまま積分することになるため、以下の計算\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left[ \boldsymbol{f}\left( t\right) +\boldsymbol{g}\left(
t\right) \right] dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) +2 \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right) -2\end{array}\right) dt
\end{equation*}を強いられます。一方、ベクトル和の法則を利用する場合、自律移動分\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の影響\begin{equation*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( t\right) dt=\int_{0}^{1}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right) dt
\end{equation*}と風の干渉分\(\boldsymbol{g}\left(t\right) \)の影響\begin{equation*}\int_{0}^{1}\boldsymbol{g}\left( t\right) dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) dt+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-2\end{array}\right) dt
\end{equation*}を別々に計算した上で、最後に合算できます。このように分離して考えれば、風の強さが変わった場合や風が吹かなかった場合などを考える際に\(\int_{0}^{1}\boldsymbol{g}\left( t\right) dt\)だけを修正すればよく、全体の積分計算をやり直す必要がありません。
演習問題
問題（航空機の到達地点計算）
小型航空機が離陸地点を原点\(\left( 0,0\right) \)として2時間飛行しました。時点\(t\in \left[ 0,2\right] \)における航空機の対気速度ベクトル（機体が自力で進む速度）を\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)で表記し、風速ベクトル（周囲の空気の流れ）を\(\boldsymbol{g}\left(t\right) \)で表記します。航空機は最初の1時間は東へ、次の1時間は北東へ進むように操縦されました。そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
200 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
100\sqrt{2} \\
100\sqrt{2}\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。また、飛行開始から1.5時間を境に、突風の影響で風向きが真逆になりました。そのことを、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
20 \\
20\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1.5\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-20 \\
-20\end{array}\right) & \left( if\ 1.5\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。2時間後の航空機の到達地点を求めてください。
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
200 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
100\sqrt{2} \\
100\sqrt{2}\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。また、飛行開始から1.5時間を境に、突風の影響で風向きが真逆になりました。そのことを、\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
20 \\
20\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1.5\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-20 \\
-20\end{array}\right) & \left( if\ 1.5\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。2時間後の航空機の到達地点を求めてください。
問題（CGアニメーション）
3DCGやアニメーションの物理シミュレーションでは、キャラクターの動きに様々なエフェクト（ベクトル）を足し合わせます。時点\(t\in \left[ 0,2\right] \)におけるキャラクターの基本歩行ベクトル\(\boldsymbol{m}\left( t\right) \)に、爆風による衝撃ベクトル\(\boldsymbol{s}\left(t\right) \)を加算して、キャラクターの最終的な位置を計算する状況を想定します。キャラクターが常に一定の速度で斜め右上に進む状況を、\begin{equation*}\boldsymbol{m}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}と表現します。1秒経過した瞬間に爆発が発生し、\(0.5\)秒間だけ強い衝撃が加わる状況を、\begin{equation*}\boldsymbol{s}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
10 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t<1.5\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 1.5\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}と表現します。1秒経過した瞬間に爆発が発生し、\(0.5\)秒間だけ強い衝撃が加わる状況を、\begin{equation*}\boldsymbol{s}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
10 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t<1.5\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 1.5\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現します。以下の問いに答えてください。
- 基本地点を原点\(\left(0,0\right) \)とした上で、\(2\)秒後のキャラクターの最終位置を求めてください。
- 先の結果を観察した後、監督が「爆風をもう少し弱く（\(10\rightarrow 6\)）、爆発の時間を短く（\(0.5\rightarrow 0.3\)）」と指示を出しました。修正を加えた場合、キャラクターの最終位置はどこに変化するか計算してください。
- 先の結果を観察した後、監督が「爆風が発生している間だけ地面との摩擦が強く働くように」と指示を出しました。時点\(t\in \left[ 0,2\right] \)における摩擦による減速効果が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left\{ \begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t<1.3\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 1.3\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現される場合、キャラクターの最終位置はどこに変化するか計算してください。
ログイン
会員向けコンテンツです。
まだ会員登録がお済みでない方は、会員登録ページよりアカウントを作成してください。