連続なベクトル値関数のベクトル差の原始関数
区間上に定義された2つのベクトル値\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)はともに定義域である区間\(I\)上で連続であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)もまた\(I\)上で連続になることが保証されます。区間上で連続な関数は原始関数を持つことが保証されるため、この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)および\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)はいずれも原始関数を持つことが保証されます。では、これらの原始関数の間にどのような関係が成り立つのでしょうか。
先の議論より関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)はともに原始関数を持つことが保証されるため、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)の原始関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{F} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{G} &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}をそれぞれ任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &I:\boldsymbol{F}^{\prime }\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) \\
\forall x &\in &I:\boldsymbol{G}^{\prime }\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たす関数\(\boldsymbol{F},\boldsymbol{G}\)をそれぞれ任意に選ぶということです。さらに、定数ベクトル\(\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだ上で、それぞれの実数\(x\in I\)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left[ \left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\right]
\left( x\right) =\boldsymbol{F}\left( x\right) -\boldsymbol{G}\left(
x\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義します。この関数\(\left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\)は微分可能であるとともに、関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の原始関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:\left[ \left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\right] ^{\prime }\left( x\right) =\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
つまり、区間上で連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル差の形をしている関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}\)と\(\boldsymbol{g}\)の原始関数\(\boldsymbol{G}\)の差をとった上でさらに任意の定数\(\boldsymbol{C}\)を加えれば、得られたベクトル値関数\(\left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\)は\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の原始関数になります。したがって、区間上で連続な関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル差の形をしている関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の原始関数を探す際には、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれの関数の原始関数を探せばよいということになります。
区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はともに無数の原始関数を持つため、\(\boldsymbol{f}\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記し、\(\boldsymbol{g}\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{g}\right)
\end{equation*}で表記します。これらの関数から新たな関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義すれば、この関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)もまた連続であるため無数の原始関数を持ちます。この関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right)
\end{equation*}で表記します。以上の3つの集合の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。
先に示したように、関数\(\boldsymbol{f}\)の原始関数\(\boldsymbol{F}\)と関数\(\boldsymbol{g}\)の原始関数\(\boldsymbol{G}\)および定数ベクトル\(\boldsymbol{C}\)をそれぞれ任意に選んだとき、関数\(\left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\)は関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の原始関数になることが保証されるため、\(\boldsymbol{f}\)の何らかの原始関数\(\boldsymbol{F}\)と\(\boldsymbol{g}\)の何らかの原始関数\(\boldsymbol{G}\)と何らかの定数\(\boldsymbol{C}\)を加えることで得られるすべての関数からなる集合を、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{f}\right) -P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}=\left\{ \left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\ |\
\boldsymbol{F}\in P\left( \boldsymbol{f}\right) \wedge \boldsymbol{G}\in
P\left( \boldsymbol{g}\right) \wedge \boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{f}\right) -P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}\subset P\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆に、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \subset P\left( \boldsymbol{f}\right) -P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}もまた成立するため（演習問題）、結局、\begin{equation*}
P\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) =P\left( \boldsymbol{f}\right)
-P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}を得ます。つまり、関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)のすべての原始関数からなる集合（左辺）は、関数\(\boldsymbol{f}\)の何らかの原始関数と関数\(\boldsymbol{g}\)の何らかの原始関数の差に何らかの定数ベクトルを加えることで得られるすべての関数からなる集合（右辺）と一致するということです。
-P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(P\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \)は関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)のすべての原始関数からなる集合、\(P\left( \boldsymbol{f}\right) \)は関数\(\boldsymbol{f}\)のすべての原始関数からなる集合、\(P\left( \boldsymbol{g}\right) \)は関数\(\boldsymbol{g}\)のすべての原始関数からなる集合であり、また、\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{f}\right) -P\left( \boldsymbol{g}\right) +\boldsymbol{C}=\left\{ \left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\ |\
\boldsymbol{F}\in P\left( \boldsymbol{f}\right) \wedge \boldsymbol{G}\in
P\left( \boldsymbol{g}\right) \wedge \boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}である。
連続なベクトル値関数のベクトル差の不定積分
連続なベクトル値関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、2つの連続関数の不定積分と、それらのベクトル差として定義される関数の不定積分の間には以下が成り立ちます。
\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int \boldsymbol{g}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int \boldsymbol{g}\left( x\right) dx+\boldsymbol{C}=\left\{ \left( \boldsymbol{F}-\boldsymbol{G}\right) +\boldsymbol{C}\ |\ \boldsymbol{F}\in \int \boldsymbol{f}\left( x\right)
dx\wedge \boldsymbol{G}\in \int \boldsymbol{g}\left( x\right) dx\wedge
\boldsymbol{C}\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}である。
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
4x^{3} \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
e^{x}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}のベクトル差\(\boldsymbol{f}\left(x\right) -\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int \left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{g}\left( x\right) \right] dx &=&\int \boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int \boldsymbol{g}\left( x\right) dx\quad \because \text{ベクトル差の法則} \\
&=&\int \left(
\begin{array}{c}
4x^{3} \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) dx-\int \left(
\begin{array}{c}
1 \\
e^{x}\end{array}\right) dx \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) +\boldsymbol{C}_{1}-\left(
\begin{array}{c}
x \\
e^{x}\end{array}\right) +\boldsymbol{C}_{2} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{4}-x \\
\cos \left( x\right) -e^{x}\end{array}\right) +\boldsymbol{C}
\end{eqnarray*}です。
t\right) \right] dt
\end{equation*}を求めます。ベクトル差の法則がなければ、2つの要素の影響が複雑に組み合わさった状態のまま、1つの関数として不定積分を計算する必要があります。ベクトル差の法則のもとでは、\begin{equation*}
\int \left[ \boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left(
t\right) \right] dt=\int \boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) dt-\int
\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) dt+C
\end{equation*}が成り立つため、エンジニアは\(\int \boldsymbol{v}_{A}\left(t\right) dt\)と\(\int \boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) dt\)を別々に計算し、最後に両者の差をとることができます。また、両者を別々に計算しておけば、\(\boldsymbol{v}_{A}\)と\(\boldsymbol{v}_{B}\)の一方が変化した場合、全体の計算をやり直す必要はなく、一方の計算をやり直すだけで済みます。
連続なベクトル値関数のベクトル差の定積分
2つの連続関数およびそれらの差として定義される関数の原始関数の間に成立する関係が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、これらの関数の定積分の間に成立する関係を以下のように特定できます。
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、区間上で連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル差の形をしている関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)が与えられたとき、その区間の部分集合であるような任意の有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)上で\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)および\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)はいずれもリーマン積分可能であるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の定積分と\(\boldsymbol{g}\)の定積分のベクトル差をとれば\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、区間上で連続な関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル差の形をしている関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)の定積分を求める際には、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれの関数の定積分を求めればよいということになります。
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
6x^{2} \\
2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
3x^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}のベクトル差\(\boldsymbol{f}\left(x\right) -\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の\(\left[ 0,1\right] \)上における定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{g}\left(
x\right) \right] dx &=&\int_{0}^{1}\boldsymbol{f}\left( x\right)
dx-\int_{0}^{1}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx\quad \because \text{ベクトル差の法則} \\
&=&\int_{0}^{1}\left(
\begin{array}{c}
6x^{2} \\
2\end{array}\right) dx-\int_{0}^{1}\left(
\begin{array}{c}
2x \\
3x^{2}\end{array}\right) dx \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ 2x^{3}\right] _{0}^{1} \\
\left[ 2x\right] _{0}^{1}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\left[ x^{2}\right] _{0}^{1} \\
\left[ x^{3}\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
2\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を求めます。ベクトル差の法則がなければ、2つの要素の影響が複雑に組み合わさった状態のまま、1つの関数として不定積分を計算する必要があります。ベクトル差の法則のもとでは、\begin{equation*}
\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) \right] dt=\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right)
dt-\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) dt+C
\end{equation*}が成り立つため、エンジニアは衛星\(A\)の変位\(\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) dt\)と衛星\(B\)の変位\(\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{B}\left(t\right) dt\)を別々に計算し、最後に両者の差をとることができます。
演習問題
\begin{array}{c}
4 \\
2t\end{array}\right)
\end{equation*}であり、船\(B\)の速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{B}=\left(
\begin{array}{c}
4+\sin \left( \pi t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}です。時点\(t=2\)における船\(A\)から見た船\(B\)の相対位置ベクトルを求めてください。
\begin{array}{c}
t^{2} \\
-t\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。基準点\(Q\)自体も動いており、その速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{Q}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
3t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}です。動点\(P\)の本来の速度ベクトル\(\boldsymbol{v}_{P}\left(t\right) \)を求めてください。
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