\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)からベクトル値関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともにリーマン積分可能であるならば\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx-\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)からベクトル値関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともにリーマン積分可能であるならば\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)もまたリーマン積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}&&\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\\
&=&\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx \\
&=&\left[ \int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}g_{1}\left(
x\right) dx\right] \boldsymbol{i}+\left[ \int_{a}^{b}f_{2}\left( x\right)
dx-\int_{a}^{b}g_{2}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{j}+\left[
\int_{a}^{b}f_{3}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}g_{3}\left( x\right) dx\right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。

以下の定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル差の法則を利用しない場合には2つの関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が組み合わさった関数\(\boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\)を積分する必要があります。一方、ベクトル差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( \boldsymbol{f}-\boldsymbol{g}\right) \left( x\right)
dx=\int_{a}^{b}\boldsymbol{f}\left( x\right) dx-\int_{a}^{b}\boldsymbol{g}\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\boldsymbol{f}\)の積分と関数\(\boldsymbol{g}\)の積分を別々に行い、最後に両者の差をとるだけで済みます。ベクトル差の法則を利用すれば、複雑な問題を単純な問題の集まりに解体できるということです。

区間\(\left[ 0,\pi \right] \)上に定義された連続な曲線\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と、同じく\(\left[ 0,\pi \right] \)上に定義された不連続な曲線\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq x<\frac{\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{4}\leq x<\frac{\pi }{2}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ \frac{\pi }{2}\leq x<\frac{3\pi }{4}\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) & \left( if\ \frac{3\pi }{4}\leq x\leq \pi \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}について、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{g}\left(
x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。ベクトル差の法則を使わずに計算しようとすると、\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の不連続点に合わせて積分範囲を4つに分割し、\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) -1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) -1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) +1 \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) +1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を計算する必要があります。この方法だと、本来一発で済むはずの\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分をわざわざ4回も行う必要があります。一方、ベクトル差の法則のもとでは、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{f}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) dx
\end{equation*}と\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\pi }\boldsymbol{g}\left( x\right) dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) dx+\int_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi }\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) dx
\end{equation*}を別々に行い、両者の差をとれば済みます。

2台のドローンの相対的な位置関係を解析します。時点\(t\)におけるドローン\(A\)の速度ベクトルが\(\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) \)であり、ドローン\(B\)の速度ベクトルが\(\boldsymbol{v}_{B}\left(t\right) \)であるものとします。ドローンはデジタル制御であり、\(\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) \)および\(\boldsymbol{v}_{B}\left(t\right) \)は1秒ごとに急激に方向を変える不連続な関数です。時点\(t\)における2台の相対速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right)
\end{equation*}です。時点\(t=0\)において2つのドローンが同じ場所から出発した場合、時点\(t=T>0\)における両者の間の距離を特定するためには、相対距離を積分して、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) \right] dt
\end{equation*}を計算することになります。ベクトル差の法則を利用しない場合、毎秒ごとに\(\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) \)を計算し、その不連続な関数を各秒ごとに区切って積分することを強いられます。一方、ベクトル差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ \boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) -\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) \right] dt=\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right)
dt-\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つため、ドローン\(A\)の総移動量\(\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{A}\left( t\right) dt\)とドローン\(B\)の総移動量\(\int_{0}^{T}\boldsymbol{v}_{B}\left( t\right) dt\)を別々に計算し、最後に両者の差をとることができます。このように分離して考えれば、一方のドローンの速度が変わった場合などに一方の総移動量だけを修正すればよく、全体の積分計算をやり直す必要がありません。

ドローンを1秒間、速度\(\left( 1,2\right) \)で直進するという理想速度\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}のもとで飛行させようとしましたが、実際には風の影響を受けたため、実測速度は、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
1.2 \\
2.1\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<0.6\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0.8 \\
2\end{array}\right) & \left( if\ 0.6\leq t\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}でした。この1秒間における、理想地点からの累積誤差ベクトル（ドリフト量）を求めてください。

リーダー機\(L\)と随伴機\(F\)が飛行しています。リーダー機は途中で急な回避運動をとったため、その速度は、\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{L}\left( t\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
100 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0\leq t<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
80 \\
50\end{array}\right) & \left( if\ 1\leq t\leq 2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}でした。他方で、随伴機は一定の速度\begin{equation*}
\boldsymbol{v}_{F}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
90 \\
25\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ 0,2\right] \right)
\end{equation*}で飛行しました。2秒間の飛行において、随伴機がリーダー機に対して最終的にどれだけ相対位置を変化させたか（相対変位）を明らかにした上で、その結果を解釈してください。