平方完成を用いた有理関数の積分

平方完成を用いた有理関数の積分

区間上に定義された有理関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、多項式関数\begin{eqnarray*}g &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるということです。有理関数は連続であるため原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致します。ただ、有理関数をそのままの形で積分するのは容易ではありません。

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の分母を構成する多項式関数\(h\left( x\right) \)が因数分解可能である場合には部分分数分解を行うことにより有理関数を積分できることを明らかにしました。具体例を通じて簡単に復習します。

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の分母を構成する多項式関数\(h\left( x\right) \)はできるとは限らず、その場合には部分分数分解を用いた手法を利用できません。

定数\(a\in \mathbb{R} \)および非ゼロの定数\(b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\frac{1}{b}\arctan \left( \frac{x+a}{b}\right) &=&\frac{1}{b}\cdot \frac{d}{dx}\arctan \left( \frac{x+a}{b}\right) \\
&=&\frac{1}{b}\cdot \left. \frac{d}{dx}\arctan \left( y\right) \right\vert
_{y=\frac{x+a}{b}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{x+a}{b}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{1}{b}\cdot \left. \frac{1}{1+y^{2}}\right\vert _{y=\frac{x+a}{b}}\cdot \frac{1}{b} \\
&=&\frac{1}{b}\cdot \frac{1}{1+\left( \frac{x+a}{b}\right) ^{2}}\cdot \frac{1}{b} \\
&=&\frac{1}{b^{2}}\cdot \frac{1}{\frac{b^{2}+\left( x+a\right) ^{2}}{b^{2}}}
\\
&=&\frac{1}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\frac{1}{b}\arctan \left( \frac{x+a}{b}\right) =\frac{1}{\left(
x+a\right) ^{2}+b^{2}}
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{equation}
\int \frac{1}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}}dx=\frac{1}{b}\arctan \left(
\frac{x+a}{b}\right) +C \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)の分子を構成する多項式関数\(g\left( x\right) \)が定数関数であるものとします。つまり、定数\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation}\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }=\frac{c}{h\left( x\right) }
\quad \cdots (2)
\end{equation}と表すことができるということです。\(h\left(x\right) \)を因数分解できない場合には部分因数分解を利用できません。しかし、\(h\left( x\right) \)を平方完成できる場合には、\begin{equation}\frac{c}{h\left( x\right) }=\frac{c}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}} \quad \cdots (3)
\end{equation}となるため、\begin{eqnarray*}
\int \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }dx &=&\int \frac{c}{h\left(
x\right) }dx\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \frac{c}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}}dx\quad \because \left(
3\right) \\
&=&c\int \frac{c}{\left( x+a\right) ^{2}+b^{2}}dx \\
&=&c\cdot \frac{1}{b}\arctan \left( \frac{x+a}{b}\right) +C\quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となり、多項式関数の積分が完了します。ただし、\(C\)は積分定数です。

対数関数を用いた手法との併用

対数関数を用いた手法と平方完成を用いた手法を併用することもできます。

演習問題