WIIS

1変数関数の積分

1変数関数の和の上積分・下積分・定積分(和の法則)

目次

Mailで保存
Xで共有

関数の和の上リーマン積分と下リーマン積分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるものとします。このとき、関数\(f+g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界です。有界閉区間上に定義された有界関数は上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能であるため\(f,g,f+g\)はいずれも上リーマン積分かつ下リーマン積分可能ですが、これらの上リーマン積分と下リーマン積分の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(関数の和の上リーマン積分と下リーマン積分)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるならば、\(f\)と\(g\)と\(f+g\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上において上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &\leq &\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &\geq &\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

ちなみに、上の命題の主張において等号は成立するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &=&\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &=&\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界な関数の和の上積分と下積分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f,g\)は明らかに有界ですが、上積分と下積分については、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \overline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &<&\overline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &>&\underline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます(演習問題)。

 

関数の和の定積分

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、これらの定積分の間には以下の関係が成り立つことが保証されます。証明では上積分と下積分に関する先の命題を利用します。

命題(関数の和の定積分)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、\(f+g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left(
x\right) dx+\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、リーマン積分可能な2つの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまたリーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分と\(g\)の定積分の和をとれば\(f+g\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の積分可能性を検討する際には、積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが積分可能であることを確認すればよいということになります。

例(リーマン積分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4x+1
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。定数関数\(1\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}1dx=1\left( b-a\right) =\left( b-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}です。関数\(4x\)は積分可能な関数\(x\)の定数倍(\(4\)倍)であるため積分可能です。関数\(1\)は積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の和として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 4x+1\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}4xdx+\int_{a}^{b}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の和} \\
&=&4\cdot \frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) +\left( b-a\right) \quad
\because \text{積分可能な関数の定数倍} \\
&=&2\left( b^{2}-a^{2}\right) +\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left( 1^{2}-0^{2}\right) +\left(
1-0\right) =3 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left[ 1^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] +\left[ 1-\left( -1\right) \right] =2 \\
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left( 1^{2}-0^{2}\right) +\left(
1-0\right) =3
\end{eqnarray*}などとなります。

例(リーマン積分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right) +e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<a<b
\end{equation*}です。関数\(\ln \left( x\right) \)および関数\(e^{x}\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加であるため、これらの関数はリーマン積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の和として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能です。定積分を具体的に導出する方法については場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(リーマン積分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}+3
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(リーマン積分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+x+e^{x}+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(有界な関数の和の上積分と下積分)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right. \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \overline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &<&\overline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &>&\underline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録