関数の和の上リーマン積分と下リーマン積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるものとします。このとき、関数\(f+g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界です。有界閉区間上に定義された有界関数は上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能であるため\(f,g,f+g\)はいずれも上リーマン積分かつ下リーマン積分可能ですが、これらの上リーマン積分と下リーマン積分の間には以下の関係が成り立ちます。
dx &\leq &\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &\geq &\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つ。
ちなみに、上の命題の主張において等号は成立するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &=&\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &=&\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f,g\)は明らかに有界ですが、上積分と下積分については、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \overline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &<&\overline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &>&\underline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます（演習問題）。
関数の和の定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(f+g\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、これらの定積分の間には以下の関係が成り立つことが保証されます。証明では上積分と下積分に関する先の命題を利用します。
x\right) dx+\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、リーマン積分可能な2つの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまたリーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分と\(g\)の定積分の和をとれば\(f+g\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の積分可能性を検討する際には、積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが積分可能であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。定数関数\(1\)は\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}1dx=1\left( b-a\right) =\left( b-a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}です。関数\(4x\)は積分可能な関数\(x\)の定数倍（\(4\)倍）であるため積分可能です。関数\(1\)は積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の和として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left( 4x+1\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int_{a}^{b}4xdx+\int_{a}^{b}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の和} \\
&=&4\cdot \frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) +\left( b-a\right) \quad
\because \text{積分可能な関数の定数倍} \\
&=&2\left( b^{2}-a^{2}\right) +\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left( 1^{2}-0^{2}\right) +\left(
1-0\right) =3 \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left[ 1^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] +\left[ 1-\left( -1\right) \right] =2 \\
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&2\left( 1^{2}-0^{2}\right) +\left(
1-0\right) =3
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<a<b
\end{equation*}です。関数\(\ln \left( x\right) \)および関数\(e^{x}\)はともに\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加であるため、これらの関数はリーマン積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の和として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能です。定積分を具体的に導出する方法については場を改めて解説します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right. \\
g\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \overline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &<&\overline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\overline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx \\
\left( b\right) \ \underline{\int }_{0}^{1}\left( f+g\right) \left( x\right)
dx &>&\underline{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) dx+\underline{\int }_{0}^{1}g\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。
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