関数の差の定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(f-g\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、これらの定積分の間には以下の関係が成り立つことが保証されます。
x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、リーマン積分可能な2つの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまたリーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分と\(g\)の定積分の差をとれば\(f-g\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の積分可能性を検討する際には、積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが積分可能であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(4\)倍）および定数関数\(1\)の差であるため\(\left[ 1,2\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\left( 4x-1\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}4xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の差} \\
&=&4\int_{1}^{2}xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の定数倍} \\
&=&4\cdot \frac{1}{2}\left( 2^{2}-1^{1}\right) -1\left( 2-1\right) \quad
\because \text{定数関数および恒等関数の定積分} \\
&=&6-1 \\
&=&5
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<a<b
\end{equation*}です。関数\(l\left( x\right) \)および\(e^{x}\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加であるため、これらの関数はリーマン積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の差として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left[ \ln \left( x\right)
-e^{x}\right] dx \\
&=&\int_{a}^{b}\ln \left( x\right) dx-\int_{a}^{b}e^{x}dx
\end{eqnarray*}を満たします。指数関数や対数関数の定積分については場を改めて解説します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
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