関数の差の定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(f-g\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、\(f\)の定積分と\(g\)の定積分の差をとれば\(f-g\)の定積分が得られることが保証されます。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の積分可能性を検討する際には、積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが積分可能であることを確認すればよいということになります。
命題（関数の差の定積分）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、\(f-g\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつであるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left(
x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
例（リーマン積分可能な関数の差）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。差の法則を利用しない場合には2つの関数\(f,g\)が組み合わさった関数\(f-g\)を積分する必要があります。一方、差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left(
x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(f\)の積分と関数\(g\)の積分を別々に行い、最後に両者の差をとるだけで済みます。差の法則を利用すれば、複雑な問題を単純な問題の集まりに解体できるということです。
\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。差の法則を利用しない場合には2つの関数\(f,g\)が組み合わさった関数\(f-g\)を積分する必要があります。一方、差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left( f-g\right) \left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left(
x\right) dx-\int_{a}^{b}g\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つため、関数\(f\)の積分と関数\(g\)の積分を別々に行い、最後に両者の差をとるだけで済みます。差の法則を利用すれば、複雑な問題を単純な問題の集まりに解体できるということです。
例（リーマン積分可能な関数の差）
区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}と、同じく\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された不連続な関数\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x<\frac{1}{4}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{4}\leq x<\frac{1}{2}\right) \\
-1 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq x<\frac{3}{4}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{3}{4}\leq x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}について、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left[ f\left( x\right) -g\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。差の法則を使わずに計算しようとすると、\(g\left( x\right) \)の不連続点に合わせて積分範囲を4つに分割し、\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{1}{4}}\left( x^{2}+1\right) dx+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}x^{2}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\left( x^{2}-1\right) dx+\int_{\frac{3}{2}}^{1}x^{2}dx
\end{equation*}を計算する必要があります。この方法だと、本来一発で済むはずの\(f\left( x\right) \)の積分をわざわざ4回も行う必要があります。一方、差の法則のもとでは、\(f\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と\(g\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{1}{4}}1dx+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}0dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\left( -1\right) dx+\int_{\frac{3}{2}}^{1}0dx
\end{equation*}を別々に行い、両者の差をとれば済みます。
\end{equation*}と、同じく\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された不連続な関数\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x<\frac{1}{4}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{1}{4}\leq x<\frac{1}{2}\right) \\
-1 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq x<\frac{3}{4}\right) \\
0 & \left( if\ \frac{3}{4}\leq x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}について、以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left[ f\left( x\right) -g\left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算しようとしている状況を想定します。差の法則を使わずに計算しようとすると、\(g\left( x\right) \)の不連続点に合わせて積分範囲を4つに分割し、\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{1}{4}}\left( x^{2}+1\right) dx+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}x^{2}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\left( x^{2}-1\right) dx+\int_{\frac{3}{2}}^{1}x^{2}dx
\end{equation*}を計算する必要があります。この方法だと、本来一発で済むはずの\(f\left( x\right) \)の積分をわざわざ4回も行う必要があります。一方、差の法則のもとでは、\(f\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と\(g\left( x\right) \)の積分\begin{equation*}\int_{0}^{\frac{1}{4}}1dx+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}0dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\left( -1\right) dx+\int_{\frac{3}{2}}^{1}0dx
\end{equation*}を別々に行い、両者の差をとれば済みます。
例（リーマン積分可能な関数の差）
2台の車の相対的な位置関係を解析します。時点\(t\)における車\(A\)の速度ベクトルが\(v_{A}\left(t\right) \)であり、車\(B\)の速度ベクトルが\(v_{B}\left( t\right) \)であるものとします。時点\(t\)における2台の相対速度は、\begin{equation*}v_{A}\left( t\right) -v_{B}\left( t\right)
\end{equation*}です。時点\(t=0\)において2台の車が同じ場所から出発した場合、時点\(t=T>0\)における両者の間の距離を特定するためには、相対距離を積分して、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ v_{A}\left( t\right) -v_{B}\left( t\right) \right] dt
\end{equation*}を計算することになります。差の法則を利用しない場合には各時点\(t\)における相対速度を計算し、それを積分することを強いられます。一方、差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ v_{A}\left( t\right) -v_{B}\left( t\right) \right] dt=\int_{0}^{T}v_{A}\left( t\right) dt-\int_{0}^{T}v_{B}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つため、車\(A\)の総移動量\(\int_{0}^{T}v_{A}\left( t\right) dt\)と車\(B\)の総移動量\(\int_{0}^{T}v_{B}\left( t\right) dt\)を別々に計算し、最後に両者の差をとることができます。このように分離して考えれば、一方の車の速度が変わった場合などに一方の総移動量だけを修正すればよく、全体の積分計算をやり直す必要がありません。
\end{equation*}です。時点\(t=0\)において2台の車が同じ場所から出発した場合、時点\(t=T>0\)における両者の間の距離を特定するためには、相対距離を積分して、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ v_{A}\left( t\right) -v_{B}\left( t\right) \right] dt
\end{equation*}を計算することになります。差の法則を利用しない場合には各時点\(t\)における相対速度を計算し、それを積分することを強いられます。一方、差の法則のもとでは、\begin{equation*}\int_{0}^{T}\left[ v_{A}\left( t\right) -v_{B}\left( t\right) \right] dt=\int_{0}^{T}v_{A}\left( t\right) dt-\int_{0}^{T}v_{B}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つため、車\(A\)の総移動量\(\int_{0}^{T}v_{A}\left( t\right) dt\)と車\(B\)の総移動量\(\int_{0}^{T}v_{B}\left( t\right) dt\)を別々に計算し、最後に両者の差をとることができます。このように分離して考えれば、一方の車の速度が変わった場合などに一方の総移動量だけを修正すればよく、全体の積分計算をやり直す必要がありません。
例（リーマン積分可能な関数の差）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4x-1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(4\)倍）および定数関数\(1\)の差であるため\(\left[ 1,2\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\left( 4x-1\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}4xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の差} \\
&=&4\int_{1}^{2}xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の定数倍} \\
&=&4\cdot \frac{1}{2}\left( 2^{2}-1^{1}\right) -1\left( 2-1\right) \quad
\because \text{定数関数および恒等関数の定積分} \\
&=&6-1 \\
&=&5
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(4\)倍）および定数関数\(1\)の差であるため\(\left[ 1,2\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\left( 4x-1\right) dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}4xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の差} \\
&=&4\int_{1}^{2}xdx-\int_{1}^{2}1dx\quad \because \text{積分可能な関数の定数倍} \\
&=&4\cdot \frac{1}{2}\left( 2^{2}-1^{1}\right) -1\left( 2-1\right) \quad
\because \text{定数関数および恒等関数の定積分} \\
&=&6-1 \\
&=&5
\end{eqnarray*}となります。
例（リーマン積分可能な関数の差）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right) -e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<a<b
\end{equation*}です。関数\(l\left( x\right) \)および\(e^{x}\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加であるため、これらの関数はリーマン積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の差として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left[ \ln \left( x\right)
-e^{x}\right] dx \\
&=&\int_{a}^{b}\ln \left( x\right) dx-\int_{a}^{b}e^{x}dx
\end{eqnarray*}を満たします。指数関数や対数関数の定積分については場を改めて解説します。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
0<a<b
\end{equation*}です。関数\(l\left( x\right) \)および\(e^{x}\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加であるため、これらの関数はリーマン積分可能です。したがって\(f\)は積分可能な関数の差として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\left[ \ln \left( x\right)
-e^{x}\right] dx \\
&=&\int_{a}^{b}\ln \left( x\right) dx-\int_{a}^{b}e^{x}dx
\end{eqnarray*}を満たします。指数関数や対数関数の定積分については場を改めて解説します。
演習問題
問題（リーマン積分可能な関数の差）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}-3
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（リーマン積分可能な関数の差）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}+x-e^{x}+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示してください。
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