定数関数の原始関数
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。
定数関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（定数関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（定数関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( cx+C\right) \\
&=&c+0 \\
&=&c \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =cx+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( cx+C\right) \\
&=&c+0 \\
&=&c \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（定数関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\pi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =-\pi x+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\pi x+C\right) \\
&=&-\pi +0 \\
&=&-\pi \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =-\pi x+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( -\pi x+C\right) \\
&=&-\pi +0 \\
&=&-\pi \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
例（定数関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 0,1\right) \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \left(0,1\right) \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x+C\right) \\
&=&\frac{1}{2}+0 \\
&=&\frac{1}{2} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 0,1\right) \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \left(0,1\right) \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x+C\right) \\
&=&\frac{1}{2}+0 \\
&=&\frac{1}{2} \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
定数関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である定数関数について以下が成り立ちます。
命題（定数関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（定数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=cx+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（定数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\pi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\pi x+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\pi x+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（定数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 0,1\right) \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 0,1\right) \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
定数関数の定積分
定数関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、定数関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（定数関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{a}^{b} \\
&=&c\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{a}^{b} \\
&=&c\left( b-a\right)
\end{eqnarray*}となる。
例（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{0}^{1}=c\left(
1-0\right) =c \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{-1}^{0}=c\left[
0-\left( -1\right) \right] =c \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{-1}^{1}=c\left[
1-\left( -1\right) \right] =2c
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{0}^{1}=c\left(
1-0\right) =c \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{-1}^{0}=c\left[
0-\left( -1\right) \right] =c \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ cx\right] _{-1}^{1}=c\left[
1-\left( -1\right) \right] =2c
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\pi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{0}^{1}=-\pi \left(
1-0\right) =-\pi \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{-1}^{0}=-\pi \left[ 0-\left( -1\right) \right] =-\pi \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{-1}^{1}=-\pi \left[ 1-\left( -1\right) \right] =-2\pi
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{0}^{1}=-\pi \left(
1-0\right) =-\pi \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{-1}^{0}=-\pi \left[ 0-\left( -1\right) \right] =-\pi \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\pi x\right] _{-1}^{1}=-\pi \left[ 1-\left( -1\right) \right] =-2\pi
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x<0\right) \\
2 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ -1,0\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、定数関数\begin{equation*}
1:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ -1,0\right] \)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。続いて、\(f\)の\(\left[ 0,1\right] \)上での積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}2dx \\
&=&\left[ 2x\right] _{0}^{1}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&2\left( 1-0\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+2 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x<0\right) \\
2 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ -1,0\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、定数関数\begin{equation*}
1:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ -1,0\right] \)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。続いて、\(f\)の\(\left[ 0,1\right] \)上での積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}2dx \\
&=&\left[ 2x\right] _{0}^{1}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&2\left( 1-0\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+2 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。
定数関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
関数\(f\)が1次関数である場合、導関数\(\frac{df}{dx}\)は定数関数になりますが、定数関数は連続であるためリーマン積分可能であり、したがって純変化定理を利用できます。つまり、瞬間変化率\(\frac{df}{dx}\)が定数関数であるような状況においては、もとの1次関数\(f\)の変化量\(f\left( b\right) -f\left( a\right) \)は、定数関数の定積分と一致するということです。
例（定数関数と純変化量定理）
車にガソリンを注入している状況を想定します。時間の単位は「秒」であり、ガソリンの量の単位は「リットル」です。時点\(0\)に注入を開始後、時点\(t>0\)までの合計注入量を\(f\left( t\right) \)で表記します。任意の時点\(t>0\)におけるガソリンの瞬間流量が、\begin{equation}\frac{df\left( t\right) }{dt}=\frac{1}{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるものとします。つまり、ガソリンの流量は一定であり、\(1\)秒あたり\(0.5\)リットル入れられるということです。この場合、時点\(0\)から時点\(t\)までの\(t\)秒間での合計注入量は、\begin{equation*}\frac{1}{2}t
\end{equation*}ですが、同じことを純変化量定理から導きます。導関数\(\frac{df}{dt}\)は定数関数であるため、\(t>0\)を任意に選んだとき、\(\frac{df}{dt}\)は\(\left[ 0,t\right] \)上においてリーマン積分可能です。したがって、時点\(0\)から時点\(t\)までの\(t\)秒間での合計注入量は、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) -f\left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\frac{df\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{0}^{t}\frac{1}{2}ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s\right] _{0}^{t}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( t-0\right) \\
&=&\frac{1}{2}t
\end{eqnarray*}リットルとなります。これは先の結果と整合的です。また、時点\(t_{1}\)から時点\(t_{2}\)までの\(t_{2}-t_{1}\)秒間での合計注入量は、\begin{eqnarray*}f\left( t_{2}\right) -f\left( t_{1}\right) &=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{df\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{1}{2}ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s\right] _{t_{1}}^{t_{2}}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( t_{2}-t_{1}\right)
\end{eqnarray*}リットルとなります。
\end{equation}であるものとします。つまり、ガソリンの流量は一定であり、\(1\)秒あたり\(0.5\)リットル入れられるということです。この場合、時点\(0\)から時点\(t\)までの\(t\)秒間での合計注入量は、\begin{equation*}\frac{1}{2}t
\end{equation*}ですが、同じことを純変化量定理から導きます。導関数\(\frac{df}{dt}\)は定数関数であるため、\(t>0\)を任意に選んだとき、\(\frac{df}{dt}\)は\(\left[ 0,t\right] \)上においてリーマン積分可能です。したがって、時点\(0\)から時点\(t\)までの\(t\)秒間での合計注入量は、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) -f\left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\frac{df\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{0}^{t}\frac{1}{2}ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s\right] _{0}^{t}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( t-0\right) \\
&=&\frac{1}{2}t
\end{eqnarray*}リットルとなります。これは先の結果と整合的です。また、時点\(t_{1}\)から時点\(t_{2}\)までの\(t_{2}-t_{1}\)秒間での合計注入量は、\begin{eqnarray*}f\left( t_{2}\right) -f\left( t_{1}\right) &=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{df\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{1}{2}ds\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}s\right] _{t_{1}}^{t_{2}}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( t_{2}-t_{1}\right)
\end{eqnarray*}リットルとなります。
演習問題
問題（定数関数の積分）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 2,5\right] \)上において\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 2,5\right] \)上において\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
問題（定数関数の定積分）
車が時速\(100\)キロで\(3\)時間走行しました。速度が常に一定であった場合の総走行距離を積分を用いて求めてください。
問題（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,3\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,3\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
2 & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\leq 3\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能であることを示した上で、以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
2 & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\leq 3\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 0,3\right] \)上でリーマン積分可能であることを示した上で、以下の定積分\begin{equation*}\int_{0}^{3}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（定数関数の定積分）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。本文中では、微分積分学の基本定理を用いることにより、\(f\)の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) =c\left( b-a\right)
\end{equation*}であることを求めました。定積分の本来の定義にもとづいて同様の結果を導いてください。
\end{equation*}と表されるということです。本文中では、微分積分学の基本定理を用いることにより、\(f\)の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) =c\left( b-a\right)
\end{equation*}であることを求めました。定積分の本来の定義にもとづいて同様の結果を導いてください。
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