積分を用いたテイラーの定理の表現（積分型の剰余項）

ラグランジュの剰余項を用いたテイラーの定理

テイラーの定理について復習します。

点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)において関数が定める値\(f\left( x\right) \)とテイラー近似多項式が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =f\left( x\right) -P_{n-1,a}\left( x\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、テイラーの定理より、\begin{equation*}
R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項（\(n\)th degree Lagrange remainder of \(f\) at \(a\)）と呼びます。剰余項を用いて改めてテイラーの定理の主張を言い換えると、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x\)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

点\(c\)が2つの異なる点である\(a\)と\(x\)の間に存在することとは、\(0<\theta <1\)を満たす何らかの実数\(\theta \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}c=a+\theta \left( x-a\right)
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。以上を踏まえると、点\(a\)における\(f\)の\(n\)次のラグランジュ剰余項を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left(
x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(\theta \in \left( 0,1\right) \)です。以上を踏まえると、テイラーの定理を以下のように表現することもできます。

テイラーの定理の積分剰余形

剰余項は積分を用いて以下のように表現することもできます。

点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)において関数が定める値\(f\left( x\right) \)とテイラー近似多項式が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の誤差を、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =f\left( x\right) -P_{n-1,a}\left( x\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、先の命題より、\begin{equation*}
R_{n,a}\left( x\right) =\frac{1}{\left( n-1\right) !}\int_{a}^{x}f^{\left(
n\right) }\left( t\right) \left( x-t\right) ^{n-1}dt
\end{equation*}を得ます。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を積分型の剰余項（integral form of the remainder）と呼びます。

積分形の剰余項を用いたテイラー展開可能性の判定

積分型の剰余項\begin{equation*}
R_{n,a}\left( x\right) =\frac{1}{\left( n-1\right) !}\int_{a}^{x}f^{\left(
n\right) }\left( t\right) \left( x-t\right) ^{n-1}dt
\end{equation*}を用いて改めてテイラーの主張を言い換えると、\begin{equation*}
f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x\)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

さらに、関数\(f\)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるならば、すなわち無限回微分可能である場合には、\(f\left( x\right) \)の値を任意次数のテイラー近似多項式と積分型の剰余項の和として表現できます。つまり、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級である場合には、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P_{0,a}\left( x\right) +R_{1,a}\left( x\right) \\
f\left( x\right) &=&P_{1,a}\left( x\right) +R_{2,a}\left( x\right) \\
f\left( x\right) &=&P_{2,a}\left( x\right) +R_{3,a}\left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}など無限個の関係が成立するため、積分型の剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)を一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ R_{n,a}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能です。内点\(a\in I^{i}\)を固定した上でもう一方の点\(x\in I\backslash \left\{a\right\} \)を変化させると剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)が変化するため数列\(\left\{ R_{n,a}\left( x\right)\right\} \)もまた変化します。ただ、点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだときに、そこから得られる数列\(\left\{ R_{n,a}\left( x\right) \right\} \)が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }R_{n,a}\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \frac{1}{\left( n-1\right) !}\int_{a}^{x}f^{\left( n\right) }\left( t\right) \left( x-t\right) ^{n-1}dt\right] =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\backslash\left\{ a\right\} \)に対して定める値を、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という形で無限級数展開できることが保証されます。このとき、\(f\)は点\(a\)においてテイラー展開可能であると言い、右辺の無限級数を\(f\)の点\(a\)におけるテイラー級数と呼びます。

先の命題は以下のように言い換え可能です。

演習問題