絶対値関数の原始関数
区間上に定義された絶対値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるということです。
絶対値関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（絶対値関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（絶対値関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x^{2}}{2}+C & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-\frac{x^{2}}{2}+C & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは\(f\)の原始関数になります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x^{2}}{2}+C & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-\frac{x^{2}}{2}+C & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これは\(f\)の原始関数になります。
絶対値関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である絶対値関数について以下が成り立ちます。
命題（絶対値関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（絶対値関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（絶対値関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int 5\left\vert x\right\vert dx \\
&=&5\cdot \int \left\vert x\right\vert dx \\
&=&5\cdot \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C \\
&=&\frac{5x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int 5\left\vert x\right\vert dx \\
&=&5\cdot \int \left\vert x\right\vert dx \\
&=&5\cdot \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C \\
&=&\frac{5x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（絶対値関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x-1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
x=g\left( u\right) =u+1
\end{equation*}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば値域は\(\mathbb{R} \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。\(g\)の逆関数は、\begin{equation}u=g^{-1}\left( u\right) =x-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \left\vert x-1\right\vert dx \\
&=&\int \left\vert u\right\vert g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left\vert u\right\vert du \\
&=&\frac{\left\vert u\right\vert u}{2}+C \\
&=&\frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
x=g\left( u\right) =u+1
\end{equation*}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば値域は\(\mathbb{R} \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。\(g\)の逆関数は、\begin{equation}u=g^{-1}\left( u\right) =x-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \left\vert x-1\right\vert dx \\
&=&\int \left\vert u\right\vert g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left\vert u\right\vert du \\
&=&\frac{\left\vert u\right\vert u}{2}+C \\
&=&\frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
絶対値関数の定積分
絶対値関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、絶対値関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（絶対値関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b\left\vert b\right\vert -a\left\vert a\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b\left\vert b\right\vert -a\left\vert a\right\vert }{2}
\end{eqnarray*}となる。
例（絶対値関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left\vert x\right\vert dx \\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}-0 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}\left\vert x\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{-1}^{0} \\
&=&0+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left\vert x\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{-1}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{x\left\vert x\right\vert }{2}+C
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left\vert x\right\vert dx \\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}-0 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}\left\vert x\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{-1}^{0} \\
&=&0+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left\vert x\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{x\left\vert x\right\vert }{2}\right] _{-1}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。
例（絶対値関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x-1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}+C
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&0+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{-1}^{0} \\
&=&-\frac{1}{2}+2 \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{-1}^{1} \\
&=&0+2 \\
&=&2
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}+C
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&0+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{-1}^{0} \\
&=&-\frac{1}{2}+2 \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{1}\left\vert x-1\right\vert dx
\\
&=&\left[ \frac{\left\vert x-1\right\vert \left( x-1\right) }{2}\right] _{-1}^{1} \\
&=&0+2 \\
&=&2
\end{eqnarray*}です。
絶対値ベキ関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
例（絶対値関数と純変化量定理）
数直線上を装置が移動する状況を想定します。時点\(t\in \mathbb{R} \)における装置の位置を\(x\left( t\right) \in \mathbb{R} \)で表記し、速度を\(v\left(t\right) =x^{\prime }\left( t\right) \geq 0\)で表記します。この装置の速度は、基準時点\(t=0\)からの経過時間の大きさに比例する形で制御されており、具体的には、\begin{equation}v\left( t\right) =k\left\vert t\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}であるものとします。ただし、\(k>0\)は定数です。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を選んだとき、時点\(a\)から\(b\)までの間の装置の変位は、\begin{equation*}x\left( b\right) -x\left( a\right)
\end{equation*}で得られますが、純変化量定理より、\begin{eqnarray*}
x\left( b\right) -x\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}k\left\vert t\right\vert dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&k\int_{a}^{b}\left\vert t\right\vert dx \\
&=&k\left[ \frac{t\left\vert t\right\vert }{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&k\left( \frac{b\left\vert b\right\vert -a\left\vert a\right\vert }{2}\right)
\end{eqnarray*}として導くことができます。
\end{equation}であるものとします。ただし、\(k>0\)は定数です。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を選んだとき、時点\(a\)から\(b\)までの間の装置の変位は、\begin{equation*}x\left( b\right) -x\left( a\right)
\end{equation*}で得られますが、純変化量定理より、\begin{eqnarray*}
x\left( b\right) -x\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{dx\left( t\right) }{dt}dt\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}k\left\vert t\right\vert dt\quad \because \left( 1\right) \\
&=&k\int_{a}^{b}\left\vert t\right\vert dx \\
&=&k\left[ \frac{t\left\vert t\right\vert }{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&k\left( \frac{b\left\vert b\right\vert -a\left\vert a\right\vert }{2}\right)
\end{eqnarray*}として導くことができます。
演習問題
問題（絶対値関数の積分）
任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\int \left\vert x\right\vert ^{n}dx=\frac{x\left\vert x\right\vert ^{n}}{n+1}+C
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(C\)は積分定数です。
問題（絶対値関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2\left\vert x\right\vert ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれを求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定積分\begin{equation*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をそれぞれを求めてください。
問題（絶対値関数の積分）
任意の\(n\in \mathbb{N} \)および\(a\not=0\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\int \left\vert ax+b\right\vert ^{n}dx=\frac{\left( ax+b\right) \left\vert
ax+b\right\vert ^{n}}{a\left( n+1\right) }+C
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(C\)は積分定数です。
ax+b\right\vert ^{n}}{a\left( n+1\right) }+C
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(C\)は積分定数です。
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