偶関数の定積分
\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ -a,a\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -a,a\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が偶関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ -a,a\right] :f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(\left[ -a,a\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定積分は、\begin{equation*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx=2\int_{0}^{2}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を満たします。
\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ -a,a\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -a,a\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が偶関数であるとともに、\(f\)が\(\left[ -a,a\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\begin{equation*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx=2\int_{0}^{a}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は偶関数であるため、先の命題より、任意の\(a>0\)について、\begin{eqnarray*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx &=&\int_{-a}^{a}x^{2}dx \\
&=&2\int_{0}^{a}x^{2}dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
奇関数の定積分
\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ -a,a\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -a,a\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が奇関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ -a,a\right] :f\left( x\right) =-f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(\left[ -a,a\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定積分は、\begin{equation*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}となります。
\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ -a,a\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -a,a\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が奇関数であるとともに、\(f\)が\(\left[ -a,a\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\begin{equation*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は奇関数であるため、先の命題より、任意の\(a>0\)について、\begin{eqnarray*}\int_{-a}^{a}f\left( x\right) dx &=&\int_{-a}^{a}x^{3}dx \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
中心をずらした偶関数の定積分
定数\(c\in \mathbb{R} \)および\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ c-a,a+c\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ c-a,a+c\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が中心\(c\)に関して偶関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ c-a,a+c\right] :f\left( x\right) =f\left( 2c-x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(\left[ c-a,a+c\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定積分は、\begin{equation*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx=2\int_{c}^{c+a}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を満たします。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(c\)に関して偶関数であるため、先の命題より、任意の\(a>0\)について、\begin{eqnarray*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx &=&\int_{c-a}^{c+a}\left( x-c\right)
^{2}dx \\
&=&2\int_{c}^{c+a}\left( x-c\right) ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
中心をずらした奇関数の定積分
定数\(c\in \mathbb{R} \)および\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ c-a,a+c\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ c-a,a+c\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が中心\(c\)に関して奇関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ c-a,a+c\right] :f\left( x\right) =-f\left( 2c-x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(\left[ c-a,a+c\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定積分は、\begin{equation*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(c\)に関して奇関数であるため、先の命題より、任意の\(a>0\)について、\begin{equation*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}が成り立ちます。
定数\(c\in \mathbb{R} \)および\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)から定義される区間\(\left[ c-a,a+c\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ c-a,a+c\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が中心\(\left( c,d\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関して偶関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ c-a,a+c\right] :f\left( 2c-x\right) =2d-f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(\left[ c-a,a+c\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定積分は、\begin{equation*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx=0
\end{equation*}を満たします。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は中心\(\left( c,d\right) \)に関して奇関数であるため、先の命題より、任意の\(a>0\)について、\begin{eqnarray*}\int_{c-a}^{c+a}f\left( x\right) dx &=&\int_{c-a}^{c+a}\left[ \left(
x-c\right) ^{3}+d\right] dx \\
&=&2ad
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\int_{-2}^{2}\left( x^{5}-3x^{3}+2x^{2}-x+1\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left[ x^{2}\sin \left( x\right)
+\cos \left( x\right) \right] dx
\end{equation*}を計算してください。
\int_{1}^{3}\left( x-2\right) ^{7}dx
\end{equation*}を計算してください。
\int_{0}^{4}\left\{ \left( x-2\right) ^{2}+\cos \left( x-2\right) \right\} dx
\end{equation*}を計算してください。
\end{equation*}を満たすものとします。以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{4}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
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